Curvatura de las variedades de Riemann

La curvatura de las variedades riemannianas caracteriza numéricamente la diferencia entre la métrica riemanniana de una variedad y la euclidiana en un punto dado.

En el caso de una superficie, la curvatura en un punto está completamente descrita por la curvatura gaussiana .

En las dimensiones 3 y superiores, la curvatura no se puede caracterizar completamente por un solo número en un punto dado, sino que se define como un tensor .

Formas de expresar la curvatura

Tensor de curvatura

La curvatura de una variedad de Riemann se puede describir de varias formas. El más estándar es el tensor de curvatura, dado en términos de la conexión Levi-Civita (o diferenciación covariante ) y el corchete de Lie con la siguiente fórmula: $\nabla$ $[\cdot ,\cdot]$

R(u,\;v)w=\nabla_{u}\nabla_{v}w-\nabla_{v}\nabla_{u}w-\nabla_{[u,\; v]}w.

El tensor de curvatura es una transformación lineal del espacio tangente a la variedad en el punto elegido. $R(u,\;v)$

Si y , es decir, son vectores coordenados, entonces , y por tanto la fórmula se simplifica: $u=\parcial /\parcial x_{i}$ $v=\parcial /\parcial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla_{u}\nabla_{v}w-\nabla_{v}\nabla_{u}w,

es decir, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de las derivadas covariantes con respecto a los vectores.

La transformación lineal también se llama transformación de curvatura . $w\mapsto R(u,\;v)w$

nótese bien Hay varios libros donde el tensor de curvatura se define con el signo opuesto.

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura tiene las siguientes simetrías:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Ricci encontró la última identidad , pero a menudo se la conoce como la primera identidad de Bianchi porque es similar a la identidad de Bianchi que se describe a continuación .

Estas tres identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, si algún tensor satisface estas identidades, entonces se puede encontrar una variedad de Riemann con tal tensor de curvatura en algún punto. Cálculos simples muestran que tal tensor tiene componentes independientes. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Otra identidad útil se deriva de estas tres:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

La identidad de Bianchi (a menudo llamada la segunda identidad de Bianchi ) contiene derivadas covariantes:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Junto con las simetrías básicas, esta identidad da una lista completa de simetrías de tensores . Además, si un par de tensores tetravalentes y pentavalentes satisfacen todas estas identidades, entonces se puede encontrar una variedad de Riemann mediante el tensor de curvatura y su derivada covariante en algún punto. Kowalski y Berger demostraron la generalización a derivadas superiores. [una] ${\ estilo de visualización \ nabla R}$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización R = A}$ ${\ estilo de visualización \ nabla R = B}$

Curvatura seccional

La curvatura seccional es otra descripción equivalente de la curvatura de las variedades de Riemann con una descripción más geométrica.

La curvatura de la sección es una función de , que depende de la dirección de la sección en un punto (es decir, un plano bidimensional en el espacio tangente en ). Es igual a la curvatura gaussiana de la superficie formada por el mapeo exponencial, medida en el punto . ${\ estilo de visualización K (\ sigma)}$ $\sigma$ $pags$ $pags$ $pags$

Si son dos vectores linealmente independientes en , entonces ${\ estilo de visualización v, \; u}$ $\sigma$

K(\sigma)=K(u,\;v)/|u\cuña v|^{2},

dónde

K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .

La siguiente fórmula muestra que la curvatura de la sección describe completamente el tensor de curvatura:

6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =

[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-

[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].

O en una forma más simple, usando derivadas parciales :

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial s\t parcial}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.

Forma de curvatura

La forma de conexión define una forma alternativa de describir la curvatura. Esta representación se usa principalmente para paquetes vectoriales generales y para paquetes principales, pero funciona bien para un paquete tangente con una conexión Levi-Civita .

La curvatura en una variedad riemanniana -dimensional está dada por una matriz -antisimétrica de 2 formas (o equivalentemente, una forma 2 con valores en , es decir, en un álgebra de Lie de un grupo ortogonal que es el grupo de estructura de la haz tangente de la variedad de Riemann). $norte$ $n\veces n$ ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i))$ $\operatorname {entonces} (n)$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {O} (n)}$

Sea un marco ortonormal local. La forma de conexión está determinada por la matriz antisimétrica de 1-formas , la siguiente identidad $e_{yo}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i))$

\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .

Entonces la forma de la curvatura se define como ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i))$

\Omega =d\omega +\omega \cuña \omega .

La siguiente ecuación describe la relación entre la forma de la curvatura y el tensor de curvatura:

R(u,\;v)w=\Omega (u\cuña v)w.

Este enfoque incluye automáticamente todas las simetrías del tensor de curvatura excepto la primera identidad de Bianchi , que se convierte en

\Omega \cuña \theta =0.

donde está el -vector de 1-formas definido como . ${\ estilo de visualización \ theta = \ theta ^{i}}$ $norte$ $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle$

La segunda identidad de Bianchi toma la forma

D\Omega =0.

$D$ denota la derivada covariante externa.

La forma de curvatura se generaliza a un paquete principal con un grupo de estructura de Lie de la siguiente manera: $mi$ $GRAMO$

\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],

donde está la forma de conexión y es la tangente Lie álgebra del grupo $\omega$ $mi$ $\matemáticas g$ $GRAMO$

La forma de curvatura desaparece si y solo si la conexión es localmente plana.

Operador de curvatura

A veces es conveniente pensar en la curvatura como un operador en bivectores tangentes (elementos ), que se definen únicamente por la siguiente identidad: $q$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {2} (T)}$

\langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .

Esto es posible debido a las simetrías del tensor de curvatura (a saber, la antisimetría del primer y último par de índices y la simetría de bloque de estos pares).

Otras curvaturas

En general, los siguientes tensores y funciones no describen completamente el tensor de curvatura, pero juegan un papel importante.

Curvatura escalar

La curvatura escalar es una función en una variedad de Riemann, generalmente denotada como . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Sc}}$

Esta es la traza completa del tensor de curvatura. Para una base ortonormal en el espacio tangente en tenemos $\{e_{i}\}$ $pags$

\operatorname {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\ suma _ {i}\langle \operatorname {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,

donde denota el tensor de Ricci . El resultado no depende de la elección de una base ortonormal. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ric}}$

A partir de la dimensión 3, la curvatura escalar no describe completamente el tensor de curvatura.

Curvatura de Ricci

La curvatura de Ricci es un operador lineal en el espacio tangente en un punto, generalmente denotado . Para una base ortonormal en el espacio tangente en un punto , se define como ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ric}}$ $\{e_{i}\}$ $pags$

\operatorname {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.

El resultado no depende de la elección de una base ortonormal. En dimensiones cuatro o más, la curvatura de Ricci no describe completamente el tensor de curvatura.

En el artículo sobre los símbolos de Christoffel se dan expresiones explícitas para el tensor de Ricci en términos de conexiones Levi-Civita .

Tensor de Weyl

El tensor de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de curvatura, más una extra: la traza (igual que la curvatura de Ricci) es 0. $W$

En las dimensiones 2 y 3, el tensor de Weyl es cero, pero si la dimensión es > 3, entonces puede ser diferente de cero.

El tensor de curvatura se puede descomponer en partes: una dependerá de la curvatura de Ricci, la otra del tensor de Weyl.
Un cambio conforme de la métrica no cambia el tensor de Weil.
Para una variedad de curvatura constante, el tensor de Weyl es cero.
- Además, , si y solo si la métrica es euclidiana localmente conforme . ${\ estilo de visualización W = 0}$

Descomposición de Ricci

Juntos, el tensor de Ricci y el tensor de Weyl definen completamente el tensor de curvatura.

Cálculo de curvatura

Para calcular la curvatura de hipersuperficies y subvariedades, consulte la segunda forma fundamental ,
Para calcular la curvatura en coordenadas, consulte derivadas covariantes .
Para el cálculo de la curvatura por el método de referencia móvil, consulte Forma de curvatura .
La ecuación de Jacobi puede ser útil si se conoce el comportamiento de las geodésicas .

Notas

↑ Kowalski, Oldrich; Belger, Martin Métricas de Riemann con el tensor de curvatura prescrito y todas sus derivadas covariantes en un punto. Matemáticas. Nachr. 168 (1994), 209–225.

Enlaces

Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentos de geometría diferencial / transl. De inglés. L. V. Sabinina . - M. : Ciencia. Edición principal de literatura física y matemática , 1981. - T. 1. - 344 p.