Curtosis (trigonometría esférica)

La curtosis de un triángulo esférico , o exceso esférico , es un valor en trigonometría esférica , que muestra cuánto excede la suma de los ángulos de un triángulo esférico al ángulo expandido .

Definición

Denotar por A, B, C las medidas en radianes de los ángulos del triángulo esférico. Entonces curtosis

{\ estilo de visualización \ varepsilon = A + B + C- \ pi}

Dado que en cualquier triángulo esférico, a diferencia de un triángulo en un plano, la suma de los ángulos siempre es mayor que π, la curtosis siempre es positiva. Desde arriba, está limitado por el número 2π, es decir, siempre es menor que este número [1] :15 .
Para calcular la curtosis de un triángulo esférico de lados a, b, c, se utiliza la fórmula de Luillier [1] :94 :

\operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {pa} {2}}\nombre del operador {tg} {\frac {pb}{2}}\nombre del operador {tg} {\frac {pc}{2)))),p={\frac {a+b+c}{ 2}}

Para calcular la curtosis de un triángulo esférico a lo largo de los lados a, b y el ángulo C entre ellos, se utiliza la fórmula [1] :95 :

\operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b} {2}}+\cos C}{\sen C}}

La curtosis de un triángulo esférico se usa al calcular su área, porque (aquí está el radio de la esfera en la que se encuentra el triángulo esférico, y la curtosis se expresa en radianes) [1] :99 . $S=R^{2}\varepsilon$ $R$
El ángulo sólido de un ángulo triédrico se expresa mediante el teorema de Lhuillier en términos de sus ángulos planos en el vértice, como: $\theta _{a}, \ theta _{b}, \ theta _{c}$

\Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \ izquierda({\frac {\theta_{s}-\theta_{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta_{s}-\theta_{ b}}{2}}\right)\nombre del operador {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)))

, donde es el semiperímetro.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

En términos de ángulos diédricos , un ángulo sólido se expresa como:

\alfa,\beta,\gamma

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi

↑ 1 2 3 4 Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

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