Axioma de elección

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El axioma de elección , ing. abreviatura AC (del axioma de elección ) es la siguiente declaración de la teoría de conjuntos :

Para cualquier familia [1] de conjuntos no vacíos, existe una función que asocia a cada conjunto de la familia uno de los elementos de este conjunto [2] . La función se llama función de selección para la familia dada. $X$ $F$ $F$

En lenguaje formal :

\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Si nos limitamos a considerar solo familias finitas de conjuntos, entonces el enunciado del axioma de elección puede probarse sobre la base de otros axiomas de la teoría de conjuntos [2] y no necesita postularse como un axioma separado. También se puede probar para algunas familias infinitas, pero en el caso general de familias infinitas, el axioma de elección no se sigue de otros axiomas y es una afirmación independiente.

Historial y calificaciones

El axioma de elección fue formulado y publicado por Ernst Zermelo en 1904 (aunque fue notado por primera vez por Beppo Levi 2 años antes). El nuevo axioma provocó una acalorada controversia y todavía no todos los matemáticos lo aceptan incondicionalmente [3] . Se expresaron opiniones de que la evidencia obtenida con su participación tiene un "valor cognitivo diferente" que la evidencia que no depende de ella [3] [4] . La aparición del axioma de elección también provocó una discusión sobre lo que significa el concepto de "existencia" en matemáticas, en particular, sobre si se puede considerar que un conjunto existe si no se conoce ninguno de sus elementos [5] .

El rechazo del axioma de elección por parte de algunos matemáticos se justifica, en primer lugar, por el hecho de que sólo afirma la existencia de un conjunto , pero no da forma alguna de definirlo; tal opinión fue expresada, por ejemplo, por Borel y Lebesgue [4] . La opinión opuesta fue sostenida, por ejemplo, por Hilbert , Hausdorff y Frenkel , quienes aceptaron el axioma de elección sin reservas, reconociendo para él el mismo grado de "obviedad" que para otros axiomas de la teoría de conjuntos : el axioma del volumen , el axioma de la existencia de un conjunto vacío , axioma de un par , axioma de sumas , axioma de grado , axioma de infinito . $d$

Además, entre las consecuencias del axioma de elección hay muchas más bien paradójicas que provocan una protesta intuitiva por parte de los matemáticos. Por ejemplo, se hace posible probar la paradoja de doblar la pelota , que difícilmente puede ser considerada "obvia" por todos los investigadores (ver también la cuadratura del círculo de Tarski ). Václav Sierpinski ha realizado un análisis detallado de numerosas demostraciones utilizando el axioma de elección . Sin embargo, sin duda, muchos descubrimientos matemáticos importantes no podrían haberse hecho sin el axioma de elección [6] .

Bertrand Russell comentó sobre el axioma de elección: “Al principio parece obvio; pero cuanto más lo piensas, más extrañas parecen las conclusiones de este axioma; al final, generalmente dejas de entender lo que significa” [7] .

La independencia del axioma de elección del resto de los axiomas de Zermelo-Fraenkel fue demostrada por Paul Cohen [8] [9] .

Formulaciones equivalentes

Hay muchas otras formulaciones equivalentes del axioma de elección.

El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos es no vacío [10] .
Toda función sobreyectiva tiene una función inversa derecha , es decir, su composición es una función idéntica sobre o, en otras palabras, para todos los elementos de . $f\dos puntos A\a B$ $f^{-1}\dos puntos B\a A$ $f\circ f^{{-1}}=\nombre del operador {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\en B$
Lema de Zorn (ver más abajo)
Todo conjunto puede estar bien ordenado (ver más abajo, el teorema de Zermelo ).
Principio máximo de Hausdorff
El teorema de Tarski . Para todoconjunto infinito , existe unabiyección. $A$ $A\to A\times A$

Una función de elección es una función en un conjunto de conjuntos tal que para cada conjunto en , es un elemento de . Usando la noción de una función de elección, el axioma establece: $X$ $s$ $X$ $f$ $s$

Para cualquier familia de conjuntos no vacíos , existe una función de elección definida en $X$ $F$ $X$ .

O más concisamente:

Todo conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección .

La segunda versión del axioma de elección establece:

Para un conjunto arbitrario dado de conjuntos no vacíos separados por pares , hay al menos un conjunto que contiene exactamente un elemento común a cada uno de los conjuntos no vacíos .

Algunos autores usan una versión diferente que afirma efectivamente:

Para cualquier conjunto , su valor booleano menos el subconjunto vacío tiene una función de elección

A

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnada\}

Los autores que usan esta formulación a menudo también hablan de una "función de elección en ", pero estipulan que se refieren a un concepto ligeramente diferente de función de elección. Su alcance es booleano (menos el subconjunto vacío), mientras que en otras partes de este artículo, el alcance de la función de selección es "conjunto de conjuntos". Con esta noción adicional de una función de elección, el axioma de elección puede enunciarse sucintamente de la siguiente manera: $A$

Cada conjunto tiene una función de elección .

Aplicación

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se utilizó incondicionalmente. Por ejemplo, después de definir un conjunto que contiene un conjunto no vacío , un matemático podría decir: " Sea definido para cada uno de ". Sin el axioma de elección, generalmente es imposible probar que existe, pero esto parece haber quedado sin abordar hasta Zermelo . $X$ $F$ $s$ $X$ $F$

No todos los casos requieren el axioma de elección. Para un conjunto finito, el axioma de elección se deriva de otros axiomas de la teoría de conjuntos. En este caso, es lo mismo que decir que si tenemos varias cajas (en número finito), cada una de las cuales contiene una cosa idéntica, entonces podemos elegir exactamente una cosa de cada caja. Está claro que podemos hacer esto: comenzamos con el primer cuadro, elegimos una cosa; vamos a la segunda casilla, elige una cosa; y así sucesivamente Como hay un número finito de cajas, entonces, actuando sobre nuestro procedimiento de selección, llegaremos al final. El resultado es una función de elección explícita: una función que asigna el primer cuadro al primer elemento que hemos elegido, el segundo cuadro al segundo elemento, y así sucesivamente (para una prueba formal para todos los conjuntos finitos , use el principio de matemática inducción .) $X$

En el caso de un conjunto infinito , a veces también es posible eludir el axioma de elección. Por ejemplo, si los elementos son conjuntos de números naturales . Cada conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento más pequeño, por lo que al definir nuestra función de selección podemos decir simplemente que cada conjunto está asociado con el elemento más pequeño del conjunto. Esto nos permite seleccionar un elemento de cada conjunto, por lo que podemos escribir una expresión explícita que nos diga qué valor toma nuestra función de selección. Si es posible definir una función de elección de esta manera, el axioma de elección no es necesario. $X$ $X$

Surgen dificultades si es imposible hacer una elección natural de los elementos de cada conjunto. Si no podemos hacer una elección explícita, entonces ¿por qué estamos seguros de que tal elección se puede hacer en principio? Por ejemplo, sea el conjunto de subconjuntos no vacíos de números reales . Primero, podríamos tratar de actuar como si fuera finito. Si tratamos de seleccionar un elemento de cada conjunto, entonces, dado que es infinito, nuestro procedimiento de selección nunca terminará y, como resultado, nunca obtendremos funciones de selección para todos . Entonces no funciona. A continuación, podemos intentar determinar el elemento más pequeño de cada conjunto. Pero algunos subconjuntos de números reales no contienen el elemento más pequeño. Por ejemplo, dicho subconjunto es un intervalo abierto . Si pertenece a , entonces también pertenece a ella, y menos que . Entonces, elegir el elemento más pequeño tampoco funciona. $X$ $X$ $X$ $X$ $(0,\;1)$ $X$ $(0,\;1)$ $x/2$ $X$

La razón que nos permite elegir el elemento más pequeño de un subconjunto de números naturales es el hecho de que los números naturales tienen la propiedad de estar bien ordenados. Cada subconjunto de números naturales tiene un único elemento más pequeño debido al ordenamiento natural. Tal vez, si fuéramos más inteligentes, podríamos decir: “Quizás, si el orden habitual de los números reales no nos permite encontrar un número especial (el más pequeño) en cada subconjunto, podríamos introducir otro orden que diera la propiedad de bien- ordenando Entonces nuestra función podrá elegir el elemento más pequeño de cada conjunto debido a nuestro orden inusual. El problema surge entonces en esta construcción de un buen orden, que requiere la presencia del axioma de elección para su solución. En otras palabras, todo conjunto puede estar bien ordenado si y solo si el axioma de elección es verdadero.

Las pruebas que requieren el axioma de elección siempre son no constructivas: incluso si la prueba crea un objeto, es imposible decir qué es exactamente ese objeto. Por lo tanto, aunque el axioma de elección nos permite ordenar completamente el conjunto de los números reales, esto no nos da visibilidad y constructivismo en general. Esta es una de las razones por las que a algunos matemáticos no les gusta el axioma de elección (ver también Crisis en los fundamentos de las matemáticas ). Por ejemplo, el constructivismo requiere que sea posible construir todo lo que existe. Rechazan el axioma de elección porque establece la existencia de un objeto sin una descripción clara del mismo. Por otro lado, si se usa el axioma de elección para probar la existencia, esto no significa que no podamos completar la construcción de otra manera.

El principio del buen orden (teorema de Zermelo)

Una formulación muy común y conveniente utiliza la noción de un conjunto bien ordenado . Necesitaremos algunas definiciones y comenzaremos con una definición estricta de orden lineal, expresando una idea familiar en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recuerde que se denota un par ordenado de elementos , y que el producto cartesiano de conjuntos consta de todos los pares ordenados posibles , donde . $(x,\;y)$ $X\veces Y$ $(x,\;y)$ $x\en X,\;y\en Y$

Un orden lineal en un conjunto es un subconjunto de un producto cartesiano que tiene las siguientes propiedades: $A$ $R\subconjunto A\times A$

Completo: . $\para todo x,\;y\en A\;((x,\;y)\en R\lor (y,\;x)\en R)$
Antisimétrico: . $\para todo x,\;y\en A\;((x,\;y)\en R\cuña (y,\;x)\en R\to y=x)$
Transitiva: . $\para todo x,\;y,\;z\en A\;((x,\;y)\en R\cuña (y,\;z)\en R\to (x,\;z)\en R)$

Un orden completo en un conjunto es un orden lineal tal que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo. $A$ $X\subconjunto A$

El principio del orden total es que cualquier conjunto puede estar bien ordenado .

Por ejemplo, el conjunto de números naturales puede estar bien ordenado por la relación habitual "menor que o igual a". Con la misma relación, el conjunto de los números enteros no tiene elemento más pequeño. En este caso, podemos juntar los enteros en una secuencia y decir que los términos inferiores son menores que los superiores. Obviamente, tal relación será un orden completo sobre números enteros. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots ,\;-n,\;n,\;\ldots )$

Es mucho menos obvio que los números reales que forman un conjunto incontable puedan estar bien ordenados.

Lema de Zorn

Si en un conjunto parcialmente ordenado cualquier cadena (es decir, un subconjunto ordenado linealmente ) tiene un límite superior, entonces el conjunto completo tiene al menos un elemento máximo.

Más formalmente:

Sea un conjunto parcialmente ordenado , es decir, la relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

Un subconjunto se llama linealmente ordenado si . Un elemento se llama límite superior si . $S\subconjunto P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $tu\en P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Suponga que cualquier subconjunto del conjunto ordenado linealmente tiene un límite superior. Entonces , es decir, es el elemento máximo de . $PAGS$ $\existe m\en P\;\existe x\en P\;x>m$ $metro$

Principio del máximo de Hausdorff

Alternativas

Si restringimos la aplicación del axioma de elección a familias de conjuntos finitos y contables, obtenemos el " axioma de elección contable ". Es suficiente para fundamentar la mayoría de los teoremas de análisis y no crea las paradojas mencionadas anteriormente. Sin embargo, no es suficiente para fundamentar muchas disposiciones de la teoría de conjuntos. Otra opción algo más fuerte es el axioma de elección dependiente , pero no es adecuado para las necesidades de la teoría de conjuntos.

En 1962, los matemáticos polacos Jan Mychelski y Hugo Steinhaus propusieron el llamado “ Axioma de Determinación ” en lugar del axioma de elección [11] . A diferencia del axioma de elección, que tiene una formulación intuitiva y consecuencias contraintuitivas , el axioma del determinismo, por el contrario, tiene una formulación no obvia, pero sus consecuencias son mucho más consistentes con la intuición . Del axioma de determinismo se sigue el axioma de elección contable, pero no el axioma de elección completo [9] .

Las consecuencias del axioma de determinación en varias situaciones contradicen las consecuencias del axioma de elección; por ejemplo, del axioma de determinación se sigue que todos los conjuntos de números reales son medibles según Lebesgue , mientras que el axioma de elección implica la existencia de un conjunto de números reales que no es medible según Lebesgue. Utilizando el axioma de determinismo, se puede demostrar rigurosamente que no existen potencias intermedias entre la potencia contable y la potencia del continuo , mientras que esta afirmación es independiente del axioma de elección [12] .

Véase también

Axiomática de la teoría de conjuntos

Notas

↑ Una familia en matemáticas es un conjunto de conjuntos.
↑ 1 2 Axioma de elección // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoría de conjuntos / Traducido del inglés por M. I. Editado brevemente por A. D. Taimanov. - M. : Mir, 1970. - S. 61 . — 416 pág.
↑ 12 John L. Bell . El axioma de elección . Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 17 de marzo de 2020. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2020. (indefinido)
↑ Manojo, Bryan. Falacias y paradojas matemáticas. Capítulo "Un axioma de elección" . - Publicaciones de Dover, 1997. - 240 p. - (Libros de Dover sobre Matemáticas). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Elementos: Límites de Probabilidad . Consultado el 12 de septiembre de 2009. Archivado desde el original el 11 de enero de 2012. (indefinido)
↑ Vilenkin N. Ya. Historias sobre decorados. - 3ra ed. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 p. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo. - Moscú: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Introducción a la teoría axiomática de conjuntos. Tutorial. - Petrozavodsk, 2000. - 104 p. — § 2.4.
↑ Evgeny Vechtomov. Matemáticas: Estructuras Matemáticas Básicas 2ª ed. Guía de estudio para estudios académicos de pregrado . - Litros, 2018. - P. 26. - 297 p. Archivado el 18 de agosto de 2018 en Wayback Machine .
↑ Mycielski, enero; Steinhaus, H. (1962). Un axioma matemático que contradice el axioma de elección. Boletín de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey VG, 1984 , p. 4, 37.

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general . — M .: Nauka, 1977. — 368 p. (enlace inaccesible) - Capítulo 3, § 4.
Kanovey VG El axioma de elección y el axioma de determinismo. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Problemas de la ciencia y del progreso técnico).
Medvedev F. A. Historia temprana del axioma de elección . — M .: Nauka, 1982. — 304 p. Archivado el 28 de octubre de 2015 en Wayback Machine .
Medvedev F. A. El axioma de elección y análisis matemático // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1980. - Nº 25 . — Art. 167-188 .
Libro de referencia sobre lógica matemática. Parte II. Teoría de conjuntos = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.