Vector shapley

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El vector de Shapley es el principio de distribución óptima de pagos entre jugadores en problemas de la teoría de juegos cooperativos . Es una distribución en la que el pago de cada jugador es igual a su contribución promedio al bienestar de la coalición total bajo cierto mecanismo de su formación. Nombrado en honor al economista y matemático estadounidense Lloyd Shapley .

Formal definición

Para un juego cooperativo, considere ordenar el conjunto de jugadores . Indicar por el subconjunto que contiene los primeros jugadores en el orden dado. La aportación del enésimo jugador es el valor , donde es la función característica del juego cooperativo. $norte$ $K_{yo}$ $i$ $i$ $v(K_{i})-v(K_{i-1})$ $v$

El vector de Shapley de un juego cooperativo es una distribución de pagos en la que cada jugador recibe la expectativa matemática de su contribución a las coaliciones correspondientes , con una ocurrencia equiprobable de órdenes: $K_{yo}$

\Phi (v)={\frac {1}{n!)}}\sum _{\tau \in T}x_{\tau },

donde es el número de jugadores, es el conjunto de órdenes del conjunto de jugadores , es la distribución de pagos en la que el jugador que permanece en la orden recibe su contribución a la coalición ( punto de Weber ). $norte$ $T$ ${\ Displaystyle N, \ x_ {\ tau}}$ $i$ $\tau$ $K_{yo}$

Una fórmula más común para calcular el vector de Shapley, que no requiere encontrar puntos de Weber, es: $¡norte!$

\Phi (v)_{i}=\sum _{i\in K}{\frac {(k-1)!(nk)!}{n!)}}\left(v(K) - v(K\setminus i)\right),

donde es el número de jugadores, es el número de miembros de la coalición . $norte$ $k$ $k$

Axiomática del vector de Shapley

El vector de Shapley satisface las siguientes propiedades :

1. Linealidad. El mapeo es un operador lineal , es decir, para cualesquiera dos juegos con funciones características y ${\ estilo de visualización \ Phi (v)}$ $v$ $w$

\Phi (v+w)=\Phi (v)+\Phi (w);

y para cualquier juego con una función característica y para cualquier $v$ $\alfa$

\Phi (\alpha v)=\alpha \Phi (v).

2. Simetría. Las ganancias recibidas por el jugador no dependen de su número. Esto significa que si un juego se obtiene de un juego permutando a los jugadores, entonces su vector de Shapley es un vector con elementos permutados en consecuencia. $w$ $v$ ${\ estilo de visualización \ Phi (w)}$ ${\ estilo de visualización \ Phi (v)}$

3. El axioma de la teta. Un tonto en la teoría de los juegos cooperativos es un jugador inútil que no contribuye a ninguna coalición, es decir, un jugador tal que para cualquier coalición que contenga , es cierto: . $i$ $k$ $i$ $v(K)-v(K\setminus i)=0$

El axioma del muñeco es que si el jugador es un muñeco, entonces . $i$ $\Phi (v)_{i}=0$

4. Eficiencia. El vector de Shapley permite distribuir completamente la riqueza disponible para la coalición total, es decir, la suma de los componentes del vector es igual a . ${\ estilo de visualización \ Phi (v)}$ ${\ estilo de visualización v (N)}$

El teorema de Shapley. Para cualquier juego cooperativo , existe una distribución de pagos única que satisface los axiomas 1 a 4, dada por la fórmula anterior. $v$

Literatura

Vasin A. A., Morozov V. V. Teoría de juegos y modelos de economía matemática - M.: MGU, 2005, 272 p.
Vorobyov N. N. Teoría de juegos para economistas cibernéticos - M .: Nauka, 1985
Mazalov VV Teoría y aplicaciones de juegos matemáticos - Lan Publishing House, 2010, 446 p.
Petrosyan L. A., Zenkevich N. A., Shevkoplyas E. V. Teoría de juegos - San Petersburgo: BHV-Petersburg, 2012, 432 p.
Pechersky S. L., Yanovskaya E. B. Juegos cooperativos: soluciones y axiomas - Editorial de la Universidad Europea de San Petersburgo, 2004, 459 p.

Véase también

Teoría de juego
Conceptos básicos	Conocimiento mutuo y común Jugador Jerarquía de creencias Amplificación irracional Estrategia ( dominancia ) inducción inversa
tipos de juegos	Simultáneo , secuencial y repetitivo No cooperativo y cooperativo Con información completa , incompleta , perfecta e imperfecta En forma normal y extendida Antagonista Diferencial estocástico Batalla de los sexos Cacería de venados
Conceptos de solución	Dominio del riesgo Equilibrio correlacionado El equilibrio de una mano temblorosa equilibrio de Nash Equilibrio perfecto en subjuegos racionalizabilidad Equilibrio secuencial fuerte equilibrio Saldo propio Estrategia evolutivamente estable Epsilon-equilibrio Eficiencia de Pareto Núcleo
Ejemplos de juegos	El dilema del prisionero La faena del bar "El Farol" Modelo Bertrand modelo de Cournot modelo stackelberg Orlyanka La tragedia de los recursos compartidos halcones y palomas
Teoría de juegos epistémicos Diseño del mecanismo División justa