Función de valor real

Una función de valor real es una función cuyos valores son números reales . En otras palabras, es una función que asigna un número real a cada elemento del alcance de la función .

Las funciones de valor real de una variable real (comúnmente llamadas funciones reales ) y las funciones de valor real de varias variables reales son el principal objeto de estudio en el análisis matemático y, más específicamente, en la teoría de funciones de una variable real . En particular, muchos espacios de funciones consisten en funciones de valores reales.

Estructura algebraica

Denotemos el conjunto de todas las funciones que asignan el conjunto X a números reales . Dado que es un campo , se puede convertir en un espacio vectorial con álgebra conmutativa con las siguientes operaciones: ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — adición de vectores
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ - elemento nulo
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ - escalar
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ - multiplicación puntual .

Estas operaciones se extienden a funciones parcialmente definidas de X a con la restricción de que las funciones parcialmente definidas y se definen solo si los dominios f y g tienen una intersección no vacía. En este caso, el dominio de definición de estas funciones es la intersección de los dominios de definición f y g . ${\matemáticas R},$ $f + g$ $fg$

Además, dado que es un conjunto ordenado, hay una ordenación parcial : $\matemáticas {R}$

\f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)

en , lo que forma un anillo parcialmente ordenado . ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$

Mensurabilidad

$\sigma$ -El álgebra de conjuntos de Borel es una estructura importante sobre los números reales. Si X tiene un -álgebra y una función f es tal que la imagen inversa f −1 ( B ) de cualquier conjunto de Borel B pertenece a esta -álgebra, entonces se dice que la función f es medible . Las funciones medibles también forman un espacio vectorial con el álgebra descrita anteriormente . $\sigma$ $\sigma$

Además, el conjunto (familia) de funciones de valor real en X puede, de hecho, definirse como un -álgebra en X , como todas las imágenes inversas de los conjuntos de Borel (o solo intervalos , lo cual no es tan esencial). Esta es la forma en que aparecen las -álgebras en la teoría de la probabilidad ( la de Kolmoggorov ), donde las funciones de valor real en el espacio de eventos elementales Ω son variables aleatorias de valor real . $\sigma$ $\sigma$

Continuidad

Los números reales forman un espacio topológico y un espacio métrico completo . Las funciones continuas de valores reales (suponiendo que X es un espacio topológico) son importantes en las teorías de espacios topológicos y espacios métricos . El teorema del valor extremo establece que toda función continua real en un espacio compacto tiene un máximo o un mínimo .

El concepto de un espacio métrico se define en sí mismo con una función de valor real de dos variables, una métrica continua . El espacio de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorch es de particular importancia. Los límites de las secuencias también se pueden ver como funciones continuas de valor real en un espacio topológico especial.

Las funciones continuas forman también un espacio vectorial con el álgebra anterior , y son una subclase de las funciones medibles , ya que todo espacio topológico tiene un álgebra formada por conjuntos abiertos (o cerrados). $\sigma$

Suavidad

Los números reales se utilizan como codominio para definir funciones suaves. El dominio de una función suave real puede ser: un espacio de coordenadas real (que da funciones de varias variables reales ), un espacio vectorial topológico , [1] su subconjunto abierto , o una variedad suave .

Los espacios de funciones suaves también son espacios vectoriales con las álgebras descritas anteriormente , y son subclases de funciones continuas .

En la teoría de la medida

La medida de un conjunto es un funcional de valor real no negativo en el -álgebra de subconjuntos [2] . los espacios en conjuntos de medidas se definen a partir de las funciones medibles de valor real mencionadas anteriormente , aunque son, de hecho, espacios cocientes . Más precisamente: teniendo en cuenta que una función que satisface las condiciones de sumabilidad apropiadas define un elemento del espacio . En sentido contrario: para cualquier función y punto que no sea un átomo , el valor de f ( x ) es indefinido . Sin embargo, los espacios de valor real todavía tienen algunas de las estructuras descritas anteriormente . Cada uno de los espacios es un espacio vectorial, tiene un orden parcial y hay una multiplicación puntual de "funciones" que cambia p , a saber: $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {L} ^ {p}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {L} ^ {p}}$ $f\in \mathrm {L} (X)$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {L} ^ {p}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {L} ^ {p}}$

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.

Por ejemplo, el producto punteado de dos funciones L 2 pertenece a L 1 .

Otras aplicaciones

Otros contextos donde se utilizan funciones de valor real y sus propiedades: funciones monótonas (en conjuntos ordenados ), funciones convexas (en espacios vectoriales y afines ), funciones armónicas y subarmónicas (en variedades de Riemann ), funciones analíticas (generalmente de uno o más variables), funciones algebraicas (sobre variedades algebraicas reales ), y polinomios (en una o más variables).

Véase también

Teoría de funciones de variable real
Ecuaciones diferenciales parciales : un campo en el que a menudo se usan funciones con valores reales
Norma (matemáticas)
Escalar

Notas

↑ Hay otra definición de derivada en el caso general, pero para dimensiones finitas conduce a una definición equivalente de clases de funciones suaves.
↑ De hecho, la medida puede tener valores en : ver Recta numérica extendida . ${\ estilo de visualización [0, + \ infinito]}$

Literatura

Apostol, Tom M. Análisis matemático. — 2do. - Addison-Wesley, 1974. - ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerardo Folland. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones. - Segunda edicion. - John Wiley & Sons, Inc., 1999. - ISBN 0-471-31716-0 .
Walter Rudin. Principios de Análisis Matemático. — 3er. - Nueva York: McGraw-Hill, 1976. - ISBN 978-0-07-054235-8 .
- Rudin U. Fundamentos del análisis matemático / Traducido por VP Khavin. - el segundo. - Moscú: Mir, 1976.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Real Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .