La hipérbole de Cypert

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Una hipérbola de Kiepert es una hipérbola definida por un triángulo dado . Si este último es un triángulo en posición general, entonces esta hipérbola es la única sección cónica que pasa por sus vértices, ortocentro y baricentro .

Definición vía conjugación isogonal

Una hipérbola de Kiepert es una curva conjugada isogonalmente a una línea recta que pasa por el punto de Lemoine y el centro del círculo circunscrito de un triángulo dado.

La recta que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita y el punto de Lemoine se llama eje de Brocard . Los puntos de Apolonio yacen en él . En otras palabras, una hipérbola de Kiepert es una curva conjugada isogonalmente al eje de Brocard de un triángulo dado.

Definición en términos de triángulos en coordenadas trilineales

Definición en términos de triángulos en coordenadas trilineales [1] :

Si tres triángulos , y construidos sobre los lados del triángulo , son semejantes , isósceles con bases en los lados del triángulo original, y están igualmente ubicados (es decir, todos están construidos por fuera o por dentro), entonces el rectas y se cortan en un punto .

{\ estilo de visualización XBC}

{\ Displaystyle YCA}

{\ estilo de visualización ZAB}

A B C

{\ estilo de visualización AX}

{\ estilo de visualización POR}

{\ estilo de visualización CZ}

norte

Entonces la hipérbola de Kiepert se puede definir como el lugar geométrico de los puntos (ver Fig.).

norte

Si el ángulo común en la base es , entonces los vértices de los tres triángulos tienen las siguientes coordenadas trilineales: $\ theta$

$X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Coordenadas trilineales de un punto N arbitrario que se encuentra en la hipérbola de Kiepert

(\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))

La ecuación de la hipérbola de Kiepert en coordenadas trilineales

El lugar geométrico de los puntos cuando el ángulo cambia en la base de los triángulos entre y es una hipérbola de Kiepert con la ecuación $norte$ $\ theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

donde , , son las coordenadas trilineales de un punto del triángulo. $X$ $y$ $z$ $norte$

Puntos conocidos en la hipérbola de Kiepert

Entre los puntos que se encuentran en la hipérbola de Kiepert, hay puntos tan importantes del triángulo [2] :

Sentido $\ theta$	Punto $norte$
${\ estilo de visualización 0}$	$GRAMO$ , baricentro del triángulo (X2) $A B C$
$\pi/2$ (o ) $-\pi /2$	$O$ , triángulo ortocentro (X4) $A B C$
$\nombre del operador {arctg} [\nombre del operador {tg} (A/2)\nombre del operador {tg} (B/2)\nombre del operador {tg} (C/2)]$ [3]	Centro Spieker (X10)
$\pi /4$	Puntos Vecten (X485)
${\ estilo de visualización - \ pi /4}$	Puntos Vecten (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , el primer punto de Napoleón (X17)
${\ estilo de visualización - \ pi /6}$	$N_2$ , segundo punto Napoleón (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , primer punto de Fermat (X13)
${\ estilo de visualización - \ pi /3}$	$F_{2}$ , segundo punto de Fermat (X14)
$-A$ (si ) (si ) $A<\pi /2$ ${\ estilo de visualización \ pi-A}$ ${\ estilo de visualización A> \ pi /2}$	Vértice $A$
${\ estilo de visualización -B}$ (si ) (si ) ${\ estilo de visualización B<\ pi /2}$ ${\ estilo de visualización \ pi-B}$ ${\ estilo de visualización B> \ pi /2}$	Vértice $B$
${\ estilo de visualización -C}$ (si ) (si ) ${\ estilo de visualización C<\ pi /2}$ ${\ estilo de visualización \ pi-C}$ ${\ estilo de visualización C> \ pi /2}$	Vértice $C$

Lista de puntos que se encuentran en la hipérbola de Kiepert

La hipérbola de Kiepert pasa por los siguientes centros del triángulo X(i) [3] :

para i=2, ( triángulo centroide ),
i=4 ( Ortocentro ),
i=10 ( centro de Spieker ; es decir, el incentro de un triángulo con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo dado ABC [1] ),
i=13 (primer punto de Fermat ), i=14 (segundo punto de Fermat ),
i=17 ( primer punto de Napoleón ), i=18 ( segundo punto de Napoleón ),
i=76 (tercer punto de Brocard ),
i=83 (punto conjugado isogonalmente al punto medio entre los puntos de Brocard [1] ),
i=94, 96,
i=98 ( Punto de tarry = Punto de tarry),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 ( Punto externo de Vecten ), i=486 ( Punto interno de Vecten ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (punto interior del pentágono), i=1140 (punto exterior del pentágono),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i=2671 (primer punto arbelos dorado=primer punto arbelos dorado),
i=2672 (segundo punto arbelos dorado=segundo punto arbelos dorado),
i=2986, 2996

Generalización del teorema de Leicester en la forma del teorema de B. Gibert (2000)

El teorema de B. Gibert (2000) generaliza el teorema del círculo de Leicester , a saber: cualquier círculo cuyo diámetro sea una cuerda de la hipérbola de Kiepert de un triángulo y sea perpendicular a su línea de Euler pasa por los puntos de Fermat [4] [5] .

Historia

Esta hipérbola lleva el nombre del matemático alemán Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert , quien la descubrió (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Propiedades

La hipérbola de Kiepert es equilátera o equilátera (es decir, sus asíntotas son perpendiculares), por tanto, su centro, indicado en la Encyclopedia of Triangle Centers como X (115), se encuentra sobre el círculo de Euler .

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , pág. 188-205.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ B. Gibert (2000): [Mensaje 1270] . Entrada en el foro en línea de Hyacinthos, 2000-08-22. Consultado el 09-10-2014.
↑ Paul Yiu (2010), Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones Archivado el 7 de octubre de 2021 en Wayback Machine . Forum Geometricorum, volumen 10, páginas 175-209. SEÑOR : 2868943

Literatura

Eddy R. H., Fritsch R. . Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa sobre la geometría del triángulo // Math Magazine , 1994, 67 . - Pág. 188-205.