Conversión canónica

En la mecánica hamiltoniana , una transformación canónica (también una transformación de contacto ) es una transformación de variables canónicas que no cambia la forma general de las ecuaciones hamiltonianas para cualquier hamiltoniano. Las transformaciones canónicas también se pueden introducir en el caso cuántico, ya que no cambian la forma de las ecuaciones de Heisenberg . Hacen posible reducir un problema con un hamiltoniano determinado a un problema con un hamiltoniano más simple tanto en el caso clásico como en el cuántico. Las transformaciones canónicas forman el grupo .

Definición

Transformaciones

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

j=1,\ldots,s,

, donde es el número de grados de libertad ,

s

{\frac {\parcial (Q_{1},\ldots, Q_{s};P_{1},\ldots,P_{s})}{\parcial (q_{1},\ldots,q_ {s};q_{1},\ldots,q_{s})}}\neq 0,

se dice que es canónica si esta transformación traduce las ecuaciones hamiltonianas con la función hamiltoniana : $H$

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\parcial H}{\parcial q_{i}}},

{\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\parcial H}{\parcial p_{i}}},

en las ecuaciones de Hamilton con la función de Hamilton : ${\ matemáticas {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\parcial {\mathcal {H}}}{\parcial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\parcial {\mathcal {H}}}{\parcial P_{i}}}.

Las variables y se denominan nuevas coordenadas y cantidad de movimiento, respectivamente, mientras que y se denominan antiguas coordenadas y cantidad de movimiento. $Q_{yo}$ $Pi}$ $q_{yo}$ $Pi}$

Generando funciones

De la invariancia de la integral de Poincaré-Cartan y del teorema de Lee Hua-chung sobre su unicidad, se puede obtener:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

donde la constante se llama valencia de la transformación canónica, es la diferencial total de alguna función (se supone que y también se expresan en términos de las antiguas variables). Se llama la función generadora de la transformación canónica. Las transformaciones canónicas son uno a uno determinadas por la función generadora y la valencia. $c\neq 0$ $DF$ $F(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t)$ $Pi}$ $Q_{yo}$

Transformaciones canónicas por las que se denominan univalentes . Dado que, para una función generadora dada, las diversas cambian las expresiones para las nuevas coordenadas a través de las antiguas, y también para el hamiltoniano solo por una constante, a menudo solo se consideran transformaciones canónicas univalentes. ${\ estilo de visualización c = 1}$ $C$

La función generadora a menudo se puede expresar no en términos de las antiguas coordenadas y momentos, sino en términos de dos de las cuatro variables , y la elección es independiente para cada una . Resulta conveniente expresarlo de tal forma que para cada una de las variables sea nueva y la otra sea antigua. Hay un lema que dice que esto siempre se puede hacer. La diferencial de una función tiene una forma explícita de diferencial total cuando se expresa en términos de coordenadas antiguas y nuevas . Cuando se utilizan otros pares de coordenadas, es conveniente pasar a funciones cuya diferencial tendrá una forma explícita de la diferencial total para las variables correspondientes. Para hacer esto, necesitas hacer transformaciones de Legendre de la función original . Las funciones resultantes se denominan funciones generadoras de la transformación canónica en las coordenadas correspondientes. En el caso de que la elección de las coordenadas sea la misma para todos , hay cuatro opciones para elegir variables, las funciones correspondientes generalmente se indican con números: ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i))$ $i=1,\cdots,s$ $i$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $i$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

donde, por simplicidad, se introducen los vectores de las antiguas coordenadas y momentos , , y de manera similar para las nuevas coordenadas y momentos. Estas funciones generadoras se denominan funciones generadoras de tipo 1, 2, 3 o 4, respectivamente. $q=(q_{1},\cdots,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots,p_{2})$

Función generadora del 1er tipo

Sea una función arbitraria no degenerada de coordenadas antiguas, coordenadas nuevas y tiempo: ${\ Displaystyle F_ {1} (q, Q, t)}$

\det \left({\frac {\parcial ^{2}F_{1}}{\parcial q\,\parcial Q}}\right)\neq 0,

además, se da un cierto número , entonces el par define una transformación canónica según la regla $c\neq 0$ ${\ estilo de visualización (F_ {1}, c)}$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\parcial F_{1}}{\parcial q)),

P=-{\frac {\parcial F_{1}}{\parcial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\parcial F_{1}}{\parcial t}}.

Conexión con la función generadora original:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

La transformación canónica se puede obtener con una función como esta si el jacobiano es distinto de cero :

\det \left({\frac {\parcial Q}{\parcial p))\right)\neq 0.

Las transformaciones canónicas complementadas con esta condición se denominan libres .

Función generadora de segundo tipo

Sea una función arbitraria no degenerada de coordenadas antiguas, impulsos nuevos y tiempo: ${\ Displaystyle F_ {2} (q, P, t)}$

\det \left({\frac {\parcial ^{2}F_{2}}{\parcial q\,\parcial P}}\right)\neq 0.

además, se da un cierto número , entonces el par define una transformación canónica según la regla $c\neq 0$ ${\ estilo de visualización (F_ {2}, c)}$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\parcial F_{2}}{\parcial q)),

Q={\frac {\parcial F_{2}}{\parcial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\parcial F_{2}}{\parcial t}}.

Conexión con la función generadora original:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

La transformación canónica se puede obtener con una función como esta si el jacobiano es distinto de cero :

\det \left({\frac {\parcial P}{\parcial p))\right)\neq 0.

Función generadora del 3er tipo

Sea una función arbitraria no degenerada de momentos antiguos, coordenadas nuevas y tiempo: ${\ Displaystyle F_ {3} (p, Q, t)}$

\det \left({\frac {\parcial ^{2}F_{3}}{\parcial p\,\parcial Q}}\right)\neq 0.

además, se da un cierto número , entonces el par define una transformación canónica según la regla $c\neq 0$ ${\ estilo de visualización (F_ {3}, c)}$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial F_{3}}{\parcial p)),

P=-{\frac {\parcial F_{3}}{\parcial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\parcial F_{3}}{\parcial t}}.

Conexión con la función generadora original:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

La transformación canónica se puede obtener con una función como esta si el jacobiano es distinto de cero :

\det \left({\frac {\parcial Q}{\parcial q))\right)\neq 0.

Función generadora del cuarto tipo

Sea una función arbitraria no degenerada de viejos impulsos, nuevos impulsos y tiempo: ${\ Displaystyle F_ {4} (p, P, t)}$

\det \left({\frac {\parcial ^{2}F_{4}}{\parcial p\,\parcial P}}\right)\neq 0.

además, se da un cierto número , entonces el par define una transformación canónica según la regla $c\neq 0$ ${\ estilo de visualización (F_ {4}, c)}$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\parcial F_{4}}{\parcial p)),

Q={\frac {\parcial F_{4)){\parcial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\parcial F_{4}}{\parcial t}}.

Conexión con la función generadora original:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

La transformación canónica se puede obtener con una función como esta si el jacobiano es distinto de cero :

\det \left({\frac {\parcial P}{\parcial q}}\right)\neq 0.

Ejemplos

1. Transformación de identidad

{\ estilo de visualización Q = q,}

{\ estilo de visualización P = p,}

{\mathcal {H}}=H

se puede obtener de:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Si establece

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,

entonces la transformación resultante se verá así:

{\ estilo de visualización Q = \ alfa p,}

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Así, la división de variables canónicas en coordenadas y momentos es condicional desde un punto de vista matemático.

3. Transformar la inversión

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

se puede obtener de:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Transformaciones de puntos (transformaciones en las que las nuevas coordenadas se expresan solo en términos de las coordenadas y el tiempo anteriores, pero no los impulsos anteriores).

Siempre se pueden configurar con:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

después

Q=\varphi(q,t).

En particular, si

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

donde es una matriz ortogonal : $A,$

A^{T}A=E,

después

Q=Aq,

P=A^{T}p.

La función también conduce a transformaciones puntuales:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

después

{\ estilo de visualización q = - \ phi (Q, t).}

En particular, la función

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

establece la transición de coordenadas cartesianas a cilíndricas .

5. Transformaciones lineales de variables del sistema con un grado de libertad: $(p, q)$

{\ estilo de visualización Q = \ alfa q + \ beta p}

P=\gamma q+\delta p

es una transformación canónica univalente para

{\ estilo de visualización \ alfa \ delta - \ beta \ gamma = 1,}

función generadora:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Tales transformaciones forman un grupo lineal especial . $SL(2,\mathbb {R} )$

La acción como función generadora

Acción expresada en función de las coordenadas y momentos del punto final

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

define una transformación canónica del sistema hamiltoniano.

Corchetes de Poisson y Lagrange

Una condición necesaria y suficiente para que las transformaciones sean canónicas se puede escribir usando corchetes de Poisson :

\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

Además, una condición necesaria y suficiente para la canonicidad de la transformación es el cumplimiento de funciones arbitrarias y las condiciones: ${\ estilo de visualización f (Q, P, t)}$ ${\ Displaystyle g (Q, P, t)}$

\lbrace f,g\rbrace_{pq}=c\lbrace_f,g\rbrace_{PQ},

donde y son los corchetes de Poisson en las coordenadas antiguas y nuevas, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ lbrace \ cdot, \ cdot \ rbrace _ {pq}}$ ${\ estilo de visualización \ lbrace \ cdot, \ cdot \ rbrace _ {PQ}}$

En el caso de transformaciones canónicas univalentes:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

y se dice que los corchetes de Poisson son invariantes bajo tales transformaciones. A veces, las transformaciones canónicas se definen de esta manera (en este caso, solo las transformaciones univalentes se consideran transformaciones canónicas).

De manera similar, una condición necesaria y suficiente para la canonicidad de las transformaciones se puede escribir usando corchetes de Lagrange :

{\ estilo de visualización [p_{i},p_{k}]=0,}

{\ estilo de visualización [q_{i},q_{k}]=0,}

{\ estilo de visualización [q_ {i}, p_ {k}] = c \ delta _ {ik}.}

Literatura

Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
El libro en la biblioteca electrónica del Mekhmat de la Universidad Estatal de Moscú
Landau L. D., Lifshitz EM §46. Transformaciones canónicas. Capítulo VII. Ecuaciones canónicas. // Mecánica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 p. - 3000 copias. - ISBN 5-9221-0055-6 . El libro en la biblioteca electrónica del Mekhmat de la Universidad Estatal de Moscú
Gantmakher F. R. Conferencias sobre mecánica analítica. 3ra ed. - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II Curso de Mecánica Teórica para Físicos. 4ª ed. - San Petersburgo. : Lan, 2009. - 576 p. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .