Categoría de espacios topológicos

La categoría de espacios topológicos es una categoría cuyos objetos son espacios topológicos , y los morfismos son mapeos continuos , principal objeto de estudio de la topología de categorías . La notación estándar es . Es una categoría específica , por lo que sus objetos pueden entenderse como conjuntos con estructura adicional. $\mathbf {Arriba}$

Un funtor de olvido natural que asocia un espacio topológico con su conjunto de soporte: . Este funtor tiene un adjunto izquierdo , que proporciona al conjunto la topología discreta , y un adjunto derecho , que proporciona al conjunto la topología antidiscreta . Además, dado que cualquier función entre espacios discretos o antidiscretos es continua, ambos funtores definen una incrustación completa de la categoría de conjuntos en . $U\colon \mathbf {Arriba} \to \mathbf {Conjunto}$ $D\colon \mathbf {Establecer} \to \mathbf {Arriba}$ $I\dos puntos \mathbf {Conjunto} \to \mathbf {Arriba}$ $\mathbf {Arriba}$

Es completo y cocompleto , es decir, en él existen todos los pequeños límites y colímites . Functor olvidadizo: eleva los límites de forma única y además los mantiene. Por lo tanto, para obtener límites (colimits) en él es suficiente suministrar los límites (colimits) en con la topología necesaria : si es un diagrama en y es un diagrama límite en , entonces el límite correspondiente (colimit) en se puede obtener suministrando la topología inicial ( topología finita ). $U\colon \mathbf {Arriba} \to \mathbf {Conjunto}$ $\mathbf {Arriba}$ ${\mathbf {Conjunto}}$ $F$ $\mathbf {Arriba}$ ${\ estilo de visualización (L, \ varphi)}$ ${\ estilo de visualización UF}$ ${\mathbf {Conjunto}}$ $F$ $\mathbf {Arriba}$ ${\ estilo de visualización (L, \ varphi)}$

Los monomorfismos en son mapeos inyectivos continuos ; los epimorfismos son aplicaciones sobreyectivas continuas y los isomorfismos son homeomorfismos . No hay morfismos cero en , en particular esta categoría no es preaditiva . $\mathbf {Arriba}$ $\mathbf {Arriba}$

No es cerrado cartesiano , porque no todos sus objetos tienen exponenciales .

Literatura

Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (alemán) . - 1968. - (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
Topología categórica 1971-1981 (H. Herrlich) // Topología general y sus relaciones con el análisis moderno y el álgebra 5 (inglés) . - Heldermann Verlag, 1983. - P. 279-383.
Topología categórica: sus orígenes, como lo demuestra el desarrollo de la teoría de las reflexiones y correflexiones topológicas antes de 1971; Topología categórica 1971-1981 (H. Herrlich, GE Strecker) // Manual de historia de la topología general / eds. CEAull, R. Lowen. — Academia Kluwer. Publ., 1997. - T. 1. - S. 255-341.
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Categorías abstractas y concretas . — John Wiley & Sons. - ISBN 0-471-60922-6 .
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