Pozo cuántico con paredes infinitas

Pozo cuántico con paredes infinitas (Pozo de potencial rectangular infinito) : una región del espacio con un tamaño del orden de la longitud de onda de De Broglie de la partícula en cuestión (al menos en una dirección), fuera de la cual la energía potencial es infinita. A veces, esta área se llama "caja" ( ing. partícula en una caja ). $tu$

Para demostrar las principales características del comportamiento de una partícula en un pozo, son convenientes tales perfiles de energía potencial en los que el movimiento se produce de forma independiente a lo largo de tres coordenadas cartesianas y se separan las variables en la ecuación de Schrödinger . A menudo, un área rectangular se analiza en todas las dimensiones ("caja" rectangular), y se supone que la energía potencial en ella es cero.

Se pueden considerar sistemas con limitación del movimiento de partículas a lo largo de una coordenada ( pozo mismo ), a lo largo de dos coordenadas ( alambre cuántico ), o a lo largo de tres coordenadas ( punto cuántico ). Cuando se limita a lo largo de una coordenada, la "caja" es una capa plana-paralela, y la inversión infinita se refleja matemáticamente en las condiciones de contorno, suponiendo que las funciones de onda son iguales a cero en los extremos del segmento correspondiente. Cuando está limitado por varias coordenadas, las condiciones de contorno de Dirichlet se establecen en los límites. $tu$

Pozo de potencial unidimensional con paredes infinitas

El potencial de un pozo de potencial unidimensional con paredes infinitas tiene la forma

U(x)={\begin{cases}0,&x\in (-{\frac {a}{2)),{\frac {a}{2))),\\\infty ,&x \notin (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}})\end{casos}}

La ecuación de Schrödinger estacionaria en el intervalo $\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\right)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi (x).

Dada la notación , tomará la forma: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar^{2))))$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0.

Es conveniente representar la solución general como un tramo lineal de funciones pares e impares:

\Psi (x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.

Los valores límite tienen la forma:

\Psi \left(-{\frac {a}{2}}\right)=\Psi \left({\frac {a}{2}}\right)=0.

Conducen a un sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

{\begin{casos}C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}+C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\\C ^{+}\cos {\frac {ka}{2}}-C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\end{casos}}

que tiene soluciones no triviales siempre que su determinante sea igual a cero :

-2\cos {\frac {ka}{2}}\sin {\frac {ka}{2}}=0,

que después de transformaciones trigonométricas toma la forma:

{\ estilo de visualización \ sinka = 0.}

Las raíces de esta ecuación son

k_{n}={\frac {\pi n}{a)),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.

Sustituyendo en el sistema tenemos:

C_{n}^{-}=0,\qquad n=2n_{0}+1,\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

C_{n}^{+}=0,\qquad n=2n_{0},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

Por lo tanto, las soluciones se dividen en dos series: soluciones pares e impares:

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x {a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}}, \qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

El hecho de que las soluciones se dividan en pares e impares se debe a que el potencial mismo es una función par. teniendo en cuenta la normalización

\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left(\Psi _{n_{0}}^{\pm }( x)\right)^{2}dx=1,

obtenemos la forma explícita de los factores de normalización:

C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={\sqrt {\frac {2}{a}}}.

Como resultado, obtenemos las funciones propias del hamiltoniano :

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a }},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

con el espectro de energía correspondiente:

E_{n_{0}}^{+}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2} }}

E_{n_{0}}^{-}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}

Literatura

Bohm D. Teoría cuántica. - Ciencia, Edición principal de literatura física y matemática, 1965.
Flygge Z. Problemas de mecánica cuántica. - Editorial LKI, 2008. - T. 1.

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio