Campo de destino

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Un campo finito , o un campo de Galois en álgebra general , es un campo que consta de un número finito de elementos ; este número se llama el orden del campo.

El campo final generalmente se denota o (abreviatura de campo de Galois en inglés ) y se denomina campo de orden de Galois , donde es el número de elementos de campo [1] . Salvo isomorfismo , un campo finito está completamente determinado por su orden, que siempre es una potencia de algún número primo , es decir , donde es un número primo y es cualquier número natural . En este caso, será una característica de este campo [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $pags$ $norte$ $pags$

El concepto de campo finito se utiliza en teoría de números [3] , teoría de grupos [3] , geometría algebraica [3] , criptografía [4] .

Definición y propiedades

Un campo finito es un conjunto finito sobre el que se definen operaciones arbitrarias, llamadas suma , multiplicación , resta y división (excepto división por 0) de acuerdo con los axiomas del campo [5] .

El grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico . Es decir, todos los elementos distintos de cero del campo forman un grupo con respecto a la operación de multiplicación (este grupo se denomina grupo multiplicativo del campo y se denota por ). Este grupo es cíclico , es decir, tiene un elemento generador , y todos los demás elementos se obtienen elevando el generador a la potencia [5] . Es decir, existe un elemento generador tal que para cualquiera podemos escribir: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $gramo$ $a\en \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\existe n:g^{n}=a\mod q$ .

El elemento generador también se llama elemento primitivo del campo.El campo contiene elementos primitivos, donde es la función de Euler . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

El campo también tiene una serie de otras propiedades:

Según el pequeño teorema de Fermat , cada elemento del campo satisface la igualdad [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Un campo contiene como subcampo si y solo si es un divisor [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $norte$
Si es un polinomio irreducible de grado , entonces el campo contiene alguna de sus raíces , y el conjunto de todas sus raíces tiene la forma . Así, es el campo de expansión de un polinomio sobre el campo [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $metro$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alfa$ $\{\alfa,\alfa ^{q},\ldots,\alfa ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $F$ $\mathbb {F} _{q}$
Para todo campo finito y número natural, el producto de todos los polinomios irreducibles normalizados cuyo grado divide es En particular, la suma de los grados de tales polinomios es [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $norte$ $\mathbb {F} _{q}$ $norte$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
El número de polinomios normalizados de grado n que son irreducibles sobre un campo está determinado por la fórmula , donde es la función de Möbius . Esta afirmación se deriva de la fórmula después de aplicar la fórmula de inversión de Möbius [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)$

Un campo con un número primo de elementos

Cualquier campo de orden primo puede representarse mediante un anillo de residuos (es decir, cualquier campo de elementos es isomorfo a un anillo de residuos ). El ejemplo más conocido de un campo finito es el campo de clases de residuos módulo un número primo , denotado [10] . Este campo se puede representar de la siguiente manera. Para un número primo , los elementos de campo serán números . La suma y la multiplicación se definen como la suma y la multiplicación de números con reducción de módulo del resultado [11] . Los siguientes son ejemplos de tales campos con dos elementos y tres elementos . ${\ estilo de visualización \ mathbb {F} _ {p}}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $pags$ $\mathbb {Z} /(p)$ $pags$ $\{0,1,...,p-1\}$ $pags$

Relación con los anillos de residuos

Los campos finitos y los anillos de residuos no deben confundirse . Solo cuando el exponente es un número primo , el anillo residual es un campo. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

Para n > 1, el anillo residual no es un campo. Ejemplo. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

En el campo de cualquier elemento es verdadero .

{\ estilo de visualización \ mathbb {F} _ {8}}

x+x=0

En el anillo , calculando , obtenemos 0 solo en dos casos, cuando . Este anillo tiene cero divisores : .

{\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {8}}

x+x

{\ estilo de visualización x = 4, x = 0}

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Caracterización de campos finitos

La característica de cada campo finito es un número primo. Sea un campo finito. Entonces consta de elementos, donde es la característica del campo , y el número natural es el grado del campo sobre su subcampo simple [2] . $F$ $pag^{n}$ $pags$ $F$ $norte$ $F$

Según el teorema de la existencia y unicidad de los campos finitos, para todo número primo y número natural existe un campo finito de elementos, y todo campo finito de elementos es isomorfo al campo de descomposición de un polinomio sobre un campo . Este teorema nos permite hablar de un campo bien definido de un orden dado (es decir, un campo de elementos de Galois ) [13] . $pags$ $norte$ $pag^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Edificio

El campo para n > 1 se puede construir como un anillo de cocientes , donde es un polinomio irreducible de grado n sobre el campo . Así, para construir un campo a partir de elementos, basta encontrar un polinomio de grado que sea irreducible sobre el campo (tal polinomio siempre existe). Los elementos del campo son las clases de residuos de polinomios de menor grado con coeficientes de módulo el ideal principal generado por el polinomio . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $pag^{n}$ $norte$ $\mathbb {F} _{p}$ $\matemáticas {K}$ $norte$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Un elemento es una raíz de un polinomio , y el campo es generado por este elemento sobre el campo , por lo que la transición de un campo a otro se llama unir la raíz de un polinomio irreducible al campo . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Ejemplos

Campo de dos elementos

El campo consta de dos elementos, pero se puede especificar de diferentes maneras según la elección de los elementos y la definición de operaciones de suma y multiplicación sobre ellos: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Como conjunto de dos números "0" y "1", sobre los cuales las operaciones de suma y multiplicación se definen como suma y multiplicación de números con resultado módulo 2 ( ): ${\ estilo de visualización \ mathbb {F} _ {2} = \ {0,1 \}}$

+	0	una
0	0	una
una	una	0

×	0	una
0	0	0
una	0	una

Con aritmética ordinaria Esta lógica subyace en el sistema binario de las computadoras, (campo ) (computadoras).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Flecha correcta

Como conjunto de dos objetos lógicos "FALSO" (F) y "VERDADERO" (T), sobre los cuales las operaciones de suma y multiplicación se definen como operaciones booleanas "o excluyente" y "y", respectivamente:

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Estos campos son isomorfos entre sí, es decir, en realidad son dos formas diferentes de especificar el mismo campo.

Campo de tres elementos

campo _ Las sumas y multiplicaciones se definen como sumas y multiplicaciones de números módulo 3. Las tablas de operaciones son: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	una	2
0	0	una	2
una	una	2	0
2	2	0	una

×	una	2
0	0	0
una	una	2
2	2	una

Los restos de la división por 3 se forman a partir de tres elementos (donde porque para los restos de la división por 3). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac{1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

El resto de la división por 4 campos no se forman, porque el elemento 2 no tiene inversa.

Un campo de cuatro elementos

El campo se puede representar como un conjunto (donde está la raíz del polinomio sobre el campo , es decir, ). Las tablas de operaciones se ven así: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alfa,\alfa +1\}$ $\alfa$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alfa ^{2}=-\alfa -1=\alfa +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	una	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	una	$\alfa$	$\alfa +1$
una	una	0	$\alfa +1$	$\alfa$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	0	una
$\alfa +1$	$\alfa +1$	$\alfa$	una	0

×	una	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	0	0
una	una	$\alfa$	$\alfa +1$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	una
$\alfa +1$	$\alfa +1$	una	$\alfa$

Un campo de nueve elementos

Para construir el campo basta encontrar un polinomio normalizado de grado 2 que sea irreducible sobre . Estos polinomios son: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

Para , hay un campo deseado (si tomamos otro polinomio en su lugar , obtenemos un nuevo campo isomorfo al anterior). En las siguientes tablas, el símbolo denota la clase de equivalencia de un polinomio en el anillo de factores que satisface la ecuación . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $i$ $X$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $yo^{2}+1=0$

La tabla de sumar se determina en base a la razón : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	una	2	$i$	$yo+1$	$yo+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	una	2	$i$	$yo+1$	$yo+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
una	una	2	0	$yo+1$	$yo+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	una	$yo+2$	$i$	$yo+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$yo+1$	$yo+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	una	2
$yo+1$	$yo+1$	$yo+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	una	2	0
$yo+2$	$yo+2$	$i$	$yo+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	una
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	una	2	$i$	$yo+1$	$yo+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	una	2	0	$yo+1$	$yo+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	una	$yo+2$	$i$	$yo+1$

La tabla de multiplicar en se determina a partir de la razón : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	una	2	$i$	$yo+1$	$yo+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
una	una	2	$i$	$yo+1$	$yo+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	una	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$yo+2$	$yo+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$yo+2$	$2i+2$	una	$yo+1$	$2i+1$
$yo+1$	$yo+1$	$2i+2$	$yo+2$	$2i$	una	$2i+1$	2	$i$
$yo+2$	$yo+2$	$2i+1$	$2i+2$	una	$i$	$yo+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	una	$2i+1$	$yo+1$	2	$2i+2$	$yo+2$
$2i+1$	$2i+1$	$yo+2$	$yo+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	una
$2i+2$	$2i+2$	$yo+1$	$2i+1$	$i$	2	$yo+2$	una	$2i$

El elemento tiene orden 8 y es primitivo. El elemento no es primitivo porque (en otras palabras, el polinomio no es primitivo ) [17] . $yo+1$ $i$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\en \mathbb {F} _{3}[x]$

Grupo de campo multiplicativo de 16 elementos

Cuando un campo se construye usando un polinomio irreducible , los elementos de expansión están dados por los conjuntos de coeficientes del polinomio que resulta el resto cuando se divide por , escrito en orden ascendente de potencias. El grupo multiplicativo es generado por el elemento , que se escribe como (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alpha=x$

Polinomio	La licenciatura $\alfa$	$1,x,x^{2},x^{3}$
una	${\ estilo de visualización \ alfa ^ {0}}$	(1, 0, 0, 0)
$\alfa$	$\alfa$	(0, 1, 0, 0)
$\alfa ^{2}$	$\alfa ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alfa ^{3}$	$\alfa ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alfa ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alfa +\alfa^{2}$	$\alfa ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alfa ^{2}+\alfa ^{3}$	$\alfa ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alfa ^{3}+\alfa +1=\alfa ^{3}+\alfa ^{4}$	$\alfa ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alfa ^{2}=\alfa +1+\alfa ^{2}+\alfa$	$\alfa ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alfa +\alfa^{3}$	$\alfa ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alfa ^{2}+1+\alfa =\alfa ^{2}+\alfa ^{4}$	$\alfa ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alfa +\alfa ^{2}+\alfa ^{3}$	$\alfa ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alfa +\alfa ^{2}+\alfa ^{3}=\alfa ^{2}+\alfa ^{3}+\alfa ^{4}$	$\alfa ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alfa ^{2}+\alfa ^{3}=\alfa +\alfa ^{2}+\alfa ^{3}+\alfa ^{4}$	$\alfa ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alfa ^{3}=\alfa +\alfa ^{3}+\alfa ^{4}$	$\alfa ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alfa +\alfa ^{4}$	$\alfa ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Historia del estudio

Los inicios de la teoría de los campos finitos se remontan a los siglos XVII y XVIII . En este tema trabajaron científicos como Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange y Adrien Marie Legendre , quienes pueden ser considerados los fundadores de la teoría de los campos finitos de orden primo. Sin embargo, de mayor interés es la teoría general de los campos finitos, originada a partir del trabajo de Gauss y Galois [19] . Hasta hace un tiempo, esta teoría se utilizaba únicamente en álgebra y teoría de números, pero posteriormente se encontraron nuevos puntos de contacto con la geometría algebraica , la combinatoria y la teoría de códigos [3] .

La contribución de Galois

En 1830, Evariste Galois , de dieciocho años, publicó un artículo [20] que sentó las bases de la teoría general de los campos finitos. En este artículo, Galois (en conexión con la investigación sobre la teoría de grupos de permutación y ecuaciones algebraicas [21] ) introduce una raíz de comparación imaginaria , donde es un polinomio arbitrario de grado irreducible módulo p . Después de eso, se considera la expresión general , donde son algunos números enteros módulo p . Si asigna todos los valores posibles a estos números, la expresión tomará valores. Además, Galois muestra que estos valores forman un campo y el grupo multiplicativo de este campo es cíclico. Así, este trabajo es la primera piedra en la fundación de la teoría general de los campos finitos. A diferencia de sus predecesores, que consideraban sólo los campos , Galois ya considera los campos , que comenzaron a llamarse campos de Galois en su honor [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $pag^{\nu}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

El primer trabajo en esta dirección fue escrito por Gauss alrededor de 1797, pero durante su vida este estudio nunca fue publicado. Probablemente, este estudio fue ignorado por el editor de sus escritos, por lo que esta obra sólo apareció en una edición póstuma en 1863 [23] .

Mayor desarrollo

En 1893, el matemático Eliakim Moore demostró un teorema sobre la clasificación de campos finitos, afirmando que todo campo finito es un campo de Galois , es decir, todo campo de elementos es isomorfo al campo de residuos clases de polinomios con coeficientes módulo un polinomio irreducible de grado [24] . El primer intento de dar un enfoque axiomático a la teoría de los campos finitos pertenece al mismo año, realizado por Heinrich Weber , quien trató de aunar en su obra los conceptos que surgían en diversas ramas de las matemáticas, entre ellos el concepto de campo finito. [25] . Además, en 1905, Joseph Wedderburn demuestra el pequeño teorema de Wedderburn de que cualquier cuerpo finito es conmutativo, es decir, es un campo. La definición axiomática moderna de un campo (con campos finitos como un caso especial) se debe a Ernst Steinitz y se presenta en su artículo de 1910 [26] . $pag^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $norte$

Aplicaciones

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros en la que las variables también toman valores enteros. Fermat , quien formuló sus teoremas, provocó una gran ola de discusión sobre tales ecuaciones . El Pequeño Teorema de Fermat establece que si es un número primo que no es divisor de otro número , entonces . En la teoría de campos finitos, este teorema es una consecuencia del teorema de Lagrange , aplicado al subgrupo multiplicativo generado por el elemento , ya que todo el grupo de campos multiplicativos está formado por elementos [5] . $pags$ $a$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat se da cuenta de que los únicos números primos que se pueden descomponer en una suma de dos cuadrados son aquellos números primos que dan un resto de 1 cuando se dividen por 4. En particular, señala que

5=1^{2}+2^{2},\cuadrado 13=2^{2}+3^{2},\cuadrado 17=1^{2}+4^{2},\cuadrado 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

En su carta a Marin Mersenne , fechada el 25 de diciembre de 1640, Fermat propone resolver la ecuación [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind estudió esta ecuación en un campo finito , donde toma la forma . Si , entonces la solución es trivial. De lo contrario, puedes dividir ambas partes por y, al introducir un reemplazo, obtener una ecuación de la forma . Multiplicar por da una ecuación . Suponiendo que el generador es un subgrupo multiplicativo de orden 4, se pueden obtener condiciones necesarias y suficientes en p bajo las cuales la ecuación tiene solución. Una demostración más del teorema de Fermat-Euler , realizada por Dedekind, no utiliza el concepto de campos finitos y puede encontrarse en el artículo correspondiente [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $segundo^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $X$

La teoría de los códigos correctivos

Se considera que el año de creación de la teoría de los códigos correctivos es 1948 , en el que se publicó un artículo de Claude Shannon , en el que muestra que la presencia de errores en la transmisión de información por cualquier canal depende, entre otras cosas, de la relación entre la velocidad de transmisión y la capacidad del canal. La tasa de transferencia debe ser mayor que el ancho de banda. Shannon aportó pruebas, pero fueron declaradas inválidas [29] .

Richard Hamming propuso un enfoque constructivo , estableciendo así el vector para el desarrollo de muchos artículos posteriores sobre este tema. En su trabajo, Hamming construyó un código simple que corrige los errores de cierta manera. Hamming consideró los códigos de corrección solo sobre el campo [30] . Pronto códigos similares fueron construidos sobre campos finitos arbitrarios por Golay en 1949 [31] . Sin embargo, la mayor contribución a esta teoría pertenece a Hamming [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Criptografía

Los campos finitos han recibido la aplicación más amplia en criptografía. El artículo de Diffie y Helman sobre criptografía de clave pública, que proponía un protocolo de intercambio de claves [4] , se considera una obra fundamental . En este trabajo se utilizaron campos finitos de cierto tipo. Posteriormente aparecieron una gran variedad de protocolos criptográficos y criptosistemas basados en el uso de campos finitos. Estos incluyen el esquema ElGamal , el estándar de cifrado avanzado [32] , el esquema Schnorr , el algoritmo Chaum (firma ciega) , el criptosistema XTRy muchos otros. Los algoritmos de curva elíptica , que son uno de los principales objetos de estudio de la criptografía moderna, también utilizan campos finitos [33] .

Además, la calidad del cifrado a menudo depende de la capacidad de generar rápidamente grandes números primos. En consecuencia, surge la tarea de construir un algoritmo para descomponer un número en factores primos (determinar la simplicidad de un número en particular). Michael Rabin publicó un estudio en el que propone una prueba de primalidad basada en las propiedades del grupo de campo multiplicativo [34] .

Varios

En 1960, R. K. Bowes y D. K. Roy-Chowdhury publicaron un artículo en el que estudiaban familias de polinomios sobre campos finitos. A. Hockwingham generalizó su teoría, lo que llevó a la creación del código BCH , un caso especial del cual es el conocido código Reed-Solomon , que tiene una aplicación muy amplia. Se utiliza al escribir y leer en controladores RAM , al archivar datos, al escribir información en discos duros ( ECC ), al escribir en discos CD/DVD. Cabe señalar que si se daña una cantidad significativa de información, o si se dañan varios sectores del medio del disco, el código Reed-Solomon le permite recuperar la mayor parte de la información perdida. El código BCH también se utiliza en el sistema de comunicación de algunas sondas de la NASA (como la Voyager ) [35] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , p. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , p. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Análisis discreto. Fundamentos de álgebra superior. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 p.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. sesenta y cinco.
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↑ Vinberg, 2011 , pág. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , pág. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Seguridad de la información. Tutorial. Versión de 22 de noviembre de 2015 . - art. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Manual de campos finitos. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Análisis discreto. Fundamentos de álgebra superior. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 p.
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