La suma ( suma [2] ) es una de las operaciones matemáticas binarias básicas ( operaciones aritméticas ) de dos argumentos (términos), cuyo resultado es un nuevo número ( suma ), obtenido al aumentar el valor del primer argumento por el valor del segundo argumento. Es decir, a cada par de elementos del conjunto se le asigna un elemento llamado suma y . Esta es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética . Su prioridad en el orden habitual de las operaciones es igual a la prioridad de la resta , pero inferior a la de la exponenciación , extracción de raíces , multiplicación y división [3] . Por escrito, la adición se suele indicar con un signo más : .
La suma solo es posible si ambos argumentos pertenecen al mismo conjunto de elementos (tienen el mismo tipo ). Entonces, en la imagen de la derecha, la entrada significa tres manzanas y dos manzanas juntas, lo que da un total de cinco manzanas. Pero no puede agregar, por ejemplo, 3 manzanas y 2 peras.
Usando generalizaciones sistemáticas, la suma se puede definir para cantidades abstractas como números enteros , números racionales , números reales y números complejos , y para otros objetos abstractos como vectores y matrices .
La suma tiene varias propiedades importantes (por ejemplo, para ) (ver Sum ):
Sumar números pequeños es una de las primeras habilidades que se les enseña a los niños en la escuela primaria.
Se conocen varios dispositivos de suma, desde los antiguos ábacos hasta las computadoras modernas .
La suma se escribe usando el símbolo más "+" entre los términos; esta forma de notación se llama notación infija . El resultado se escribe usando un signo igual . Por ejemplo,
En varias situaciones, la suma está implícita, pero no se utilizan símbolos de suma:
La suma de una serie de números relacionados se puede escribir usando el símbolo Σ, que permite que la iteración se escriba de forma compacta . Por ejemplo,
Los sumandos son números u objetos que se suman [7] .
El signo más "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) es una simplificación de la palabra latina "et", que significa "y" [8] . Por primera vez este símbolo se encuentra en libros, a partir de 1489 [9]
La suma se utiliza para modelar innumerables procesos físicos. Incluso para la simple suma de números naturales, existen muchas interpretaciones diferentes e incluso más formas de representación visual.
Quizás la interpretación más fundamental de la suma es la combinación de conjuntos:
Esta interpretación es fácil de visualizar y el riesgo de ambigüedad es mínimo. Sin embargo, no está claro cómo explicar la suma de números fraccionarios o negativos usando esta interpretación de la suma [10] .
Una posible solución sería referirse a un conjunto de objetos que se pueden separar fácilmente, como pasteles o varillas con segmentos [11] . En lugar de combinar conjuntos de segmentos, las varillas se pueden unir entre sí en los extremos, lo que ilustra un concepto diferente de suma: no son las varillas las que suman, sino sus longitudes.
La segunda interpretación de la suma es expandir la longitud inicial por la cantidad de la longitud agregada:
La suma a + b puede interpretarse como la unión binaria de a y b en sentido algebraico, y también puede interpretarse como la suma de b unos al número a . En la última interpretación, partes de la suma a + b juegan papeles asimétricos, y se considera que la operación a + b aplica la operación unaria + b al número a [13] . El enfoque unario le permite pasar a la resta , porque cada operación de suma unaria tiene una operación de resta unaria inversa y viceversa.
La operación de suma en conjuntos numéricos tiene las siguientes propiedades principales:
La suma es conmutativa : la suma no cambia al cambiar los lugares de los términos (esta propiedad también se conoce como la ley conmutativa de la suma ): Hay otras leyes de la conmutatividad: por ejemplo, hay una ley conmutativa de la multiplicación. Sin embargo, muchas operaciones binarias , como la resta y la división, no son conmutativas.
La suma es asociativa : cuando la suma de tres o más números se realiza secuencialmente, la secuencia de operaciones no importa ( ley asociativa de la suma ):
La suma es distributiva , esta es la propiedad de consistencia de dos operaciones binarias definidas en el mismo conjunto ( ley distributiva ) [14] :
En cuanto a la suma, solo hay un elemento neutro en el conjunto , la suma de un número con (cero o elemento neutro) da un número igual al original:
Esta ley se describió por primera vez en el Tratado revisado de Brahma , que fue escrito por Brahmagupta en 628. Escribió esta ley en forma de tres leyes separadas: para un número a negativo, positivo y cero , y para describir estas leyes usó palabras, y no símbolos algebraicos. Más tarde, los matemáticos indios refinaron los conceptos; alrededor de 840, Mahavira escribió que "el cero se vuelve igual a lo que se le suma", lo que correspondía a la notación 0 + a = a . En el siglo XII, Bhaskara II escribió: “Si nada se suma o nada se resta, entonces la cantidad, positiva o negativa, permanece igual que antes”, lo que corresponde a la notación a + 0 = a [15] .
Sumando con el elemento opuesto da : [16]
Además, la suma no saca el resultado fuera del conjunto de números dado, por lo tanto, se cierran bajo la operación de suma. Estos conjuntos con operaciones y forman anillos ( anillos conmutativos con identidad) [17] . En el lenguaje del álgebra general , las propiedades de adición anteriores dicen que son grupos abelianos con respecto a la operación de adición.
La operación de suma se puede representar como una especie de " caja negra " con dos términos en la entrada y uno en la salida: la suma: [18] [19]
En la solución práctica del problema de la suma de dos números , es necesario reducirlo a una secuencia de operaciones más sencillas: "suma simple" , transferencia, comparación, etc. Para ello se han desarrollado diversos métodos de suma, por ejemplo, para números, fracciones, vectores, etc. Sobre conjuntos numéricos se utiliza el algoritmo de suma bit a bit [20] . En este caso, la adición debe considerarse como un procedimiento (en oposición a una operación).
Un algoritmo ejemplar para el procedimiento de suma bit a bit de dos números [21]Como puede ver, el procedimiento es bastante complicado, consta de una cantidad relativamente grande de pasos y, al agregar números grandes, puede llevar mucho tiempo.
"Suma simple" - en este contexto significa la operación de sumar números de un solo dígito, que se puede reducir fácilmente a incrementar . Es un hiperoperador de incremento :
donde es la secuencia de operaciones incrementales realizadas y los tiempos.
La investigación del desarrollo matemático, que comenzó en la década de 1980, analizó el fenómeno de la habituación : los bebés miran durante más tiempo situaciones que son inesperadas [22] . El experimento de Karen Winn de 1992 usó muñecos de Mickey Mouse , que fueron manipulados de varias maneras detrás de una pantalla Este experimento demostró que los bebés de 5 meses esperan que 1 + 1 sea 2 y se sorprenden cuando 1 + 1 es 1 o 3. Este resultado fue confirmado posteriormente en otros laboratorios utilizando diferentes métodos [23] . Otro experimento en 1992 con niños pequeños mayores, de 18 a 35 meses, utilizó el desarrollo de las habilidades motoras de los niños, permitiéndoles sacar pelotas de ping-pong de la caja; los chicos más jóvenes se las arreglaron bien con una pequeña cantidad de bolas, los mayores aprendieron a contar la suma hasta 5 [24] .
Incluso algunos animales muestran la capacidad de plegarse, especialmente los primates . El experimento de 1995 fue similar al experimento de Winn de 1992, pero se usaron berenjenas en lugar de muñecas . Resultó que los monos rhesus y los titíes edípicos muestran habilidades similares a las de los bebés humanos. Además, un chimpancé , después de aprender a distinguir y comprender el significado de los números arábigos del 0 al 4, pudo calcular la suma de dos números sin ningún entrenamiento [25] . Más tarde, se descubrió que los elefantes asiáticos pueden dominar operaciones aritméticas básicas [26] .
Por regla general, los niños aprenden a contar primero . Cuando se les asigna una tarea que requiere combinar dos objetos y tres objetos, los niños pequeños recurren a la ayuda de objetos específicos, como contar con los dedos o ayudar a dibujar. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de “contar”: cuando se requiere saber cuánto es dos más tres, los niños enumeran los dos números que vienen después del número tres, diciendo: “tres, cuatro, cinco ”. (generalmente doblando los dedos) y, como resultado, obteniendo cinco. Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden aprenderlo fácilmente de sus compañeros o maestros [27] . Muchos niños mismos llegan a esto. Habiendo acumulado algo de experiencia, los niños aprenden a sumar más rápido, utilizando la conmutatividad de la suma, comenzando a enumerar números desde el número más grande de la suma, como en el caso descrito anteriormente, comenzando desde tres y enumerando: "cuatro, cinco ". Eventualmente, los niños comienzan a usar algunos datos sobre la suma (" ejemplos de suma de memoria "), ya sea aprendiendo por experiencia o memorizándolos. Cuando algunos hechos se asientan en la memoria, los niños comienzan a deducir hechos desconocidos de los conocidos. Por ejemplo, un niño que suma seis y siete puede saber que 6 + 6 = 12, y que por lo tanto 6 + 7 es uno más, es decir, 13 [28] . Este tipo de inferencia llega con bastante rapidez, y la mayoría de los estudiantes de primaria confían en una combinación de todo lo que recuerdan y lo que pueden deducir, lo que finalmente les permite sumar con fluidez [29] .
En diferentes países, el estudio de los números enteros y la aritmética se inicia a diferentes edades, principalmente la suma se enseña en las instituciones educativas preescolares [30] . Al mismo tiempo, en todo el mundo, al final del primer año de la escuela primaria, los estudiantes aprenden a sumar [31] .
Tabla de sumarA los niños a menudo se les muestra una tabla para sumar pares de números del 1 al 10 para una mejor memorización.[ expresión flotante ] . Conociendo esta tabla, puede realizar cualquier adición.
tabla de sumas decimales+ | 0 | una | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | una | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 |
una | una | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez |
2 | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once |
3 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 |
cuatro | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce |
6 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce | quince |
7 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce | quince | dieciséis |
ocho | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce | quince | dieciséis | 17 |
9 | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce | quince | dieciséis | 17 | Dieciocho |
Para sumar decimales con éxito , debe recordar o poder mostrar rápidamente 100 "hechos (ejemplos) de suma" para números de un solo dígito. Uno puede recordar todos estos hechos al memorizarlos, pero las estrategias para aprender a sumar usando patrones son más informativas y más efectivas para la mayoría de las personas: [32]
A medida que los estudiantes crecen, memorizan más y más hechos y aprenden a deducir rápidamente otros hechos a partir de ellos. Muchos estudiantes no memorizan todos los hechos, pero pueden deducir rápidamente los requeridos [29] .
TransferirEn el algoritmo estándar de suma de varios dígitos[ expresión simplificada ] los dígitos que componen las entradas de los números sumados se ubican uno debajo del otro. Realice la suma de números por separado en cada columna, comenzando desde la derecha. Si la suma de los dígitos en una columna excede 10, el dígito adicional se " transfiere " a la siguiente columna (a la izquierda). Por ejemplo, en total 27 + 59
¹ 27 +59 ———— 867 + 9 = 16 y el número 1 se traslada a la siguiente columna. En un método alternativo, comience a sumar desde el dígito más significativo a la izquierda; en esta estrategia, la transferencia es algo más tosca, pero la cantidad aproximada se obtiene más rápido. Hay muchos otros métodos de transferencia.
Adición de decimalesEl método de suma decimal es una modificación simple de la suma de varios dígitos descrita anteriormente [33] . Al agregar una columna, las fracciones se ordenan de tal manera que las comas[ estilo ] estaban exactamente uno debajo del otro. Si es necesario, se pueden agregar ceros a la derecha e izquierda de la fracción más corta (ver cero final y ceros iniciales ) para que tenga la misma longitud que la fracción más larga. Entonces, la suma se realiza de la misma manera que en el método de sumar números de varios dígitos descrito anteriormente, solo la coma se ubica en la respuesta exactamente donde estaba ubicada para los términos.
Por ejemplo, la suma 45.1 + 4.34 se puede calcular de la siguiente manera:
4 5 , 1 0 + 0 4 , 3 4 ————————————— 4 9 , 4 4 Notación exponencialEn notación exponencial, los números se escriben como , donde es la mantisa , es la característica del número y es la base del sistema numérico. Para sumar dos números que se escriben en forma exponencial se requiere que tengan las mismas características: según la propiedad distributiva.
Por ejemplo:
Un caso especial es la suma de números que difieren en varios órdenes de magnitud , con redondeo constante. Si , entonces los errores de estos números serán incomparables ( ), y cuando se realice la suma, un error mayor absorberá a uno menor. Por lo tanto, la propiedad de asociatividad puede ser violada.
Considere, por ejemplo, la expresión : si ejecutamos primero , luego de redondear el resultado obtenemos , sumando más, tenemos , y si la suma se realiza en un orden diferente, entonces: . Por lo tanto, el redondeo incorrecto puede dar como resultado diferentes valores de la misma expresión.
La suma de números con otras bases es idéntica a la suma en sistema decimal
Como ejemplo, considere la suma en el sistema binario [34] . Sumar dos números binarios de un solo dígito usando carry es bastante simple:
0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 se transfiere (porque 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))La suma de dos '1' es igual a '0', y se debe agregar 1 a la siguiente columna. Esta situación es análoga a lo que sucede en el sistema decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o mayor que el valor de la base (10), los dígitos de la izquierda aumentan:
5 + 5 → 0, lleva 1 (porque 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, lleva 1 (porque 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))Esta operación se conoce como "transferencia" [35] . Cuando el resultado de una suma excede el rango de valores y lugar , es necesario "trasladar" el exceso dividido por la base del sistema (es decir, por 10 en decimal) a la izquierda, sumándolo al valor en el siguiente lugar. Esto se debe al hecho de que el valor en el dígito siguiente es veces mayor (en el sistema numérico -th) que el valor en el dígito actual. Carry en binario funciona de la misma manera que en decimal:
1 1 1 1 1 (transferencia) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 —————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36Este ejemplo suma dos números: 01101 2 (13 10 ) y 10111 2 (23 10 ). La línea superior indica la presencia de un remanente. Empezamos a sumar desde la columna de la derecha: 1 + 1 = 10 2 . Aquí 1 se lleva a la izquierda y 0 se escribe en la línea inferior. Ahora se suman los números de la segunda columna de la derecha: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; Se transfiere 1 y se escribe 0 en la línea inferior. Tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 2 . En este caso, 1 se lleva en la línea inferior. Como resultado, obtenemos 100100 2 (o 36 en decimal).
Las computadoras analógicas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que su mecanismo de suma depende del tipo de términos. Un sumador mecánico puede representar dos términos como posiciones de bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden sumar usando una palanca de promedio . Si los términos se presentan en forma de velocidades de rotación de dos ejes , se pueden sumar utilizando un diferencial . Un sumador hidráulico puede sumar las presiones en las dos cámaras, utilizando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en el conjunto del pistón . La aplicación informática analógica más típica es la suma de dos voltajes (relativo a tierra ); esto se puede implementar aproximadamente con un circuito de resistencia , y una versión avanzada usa un amplificador operacional [36] .
La operación de suma es básica en una computadora personal . El desempeño de la operación de suma, y en particular las limitaciones asociadas con el mecanismo de transferencia , afectan el desempeño general de la computadora.
El ábaco , también llamado tablero de conteo, es un dispositivo de cálculo que se usó muchos siglos antes de la adopción del sistema numérico moderno y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y empleados en Asia , África y otros continentes; se supone que el ábaco se creó a más tardar entre el 2700 y el 2300 a. e., luego fue utilizado por los sumerios [37] .
Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642 [38] [39] ; fue la primera máquina sumadora operativa . En esta calculadora, el mecanismo de transferencia se realizó por gravedad. Fue la única calculadora operativa del siglo XVII [40] y la primera computadora digital automática. La máquina de sumar de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transferencia, que solo permitía que las ruedas giraran en una dirección y, por lo tanto, se apilaran. Para restar, el usuario tenía que usar un segundo conjunto de dígitos para representar el resultado, y métodos de suma , que incluían el mismo número de pasos que la suma. Giovanni Poleni continuó el trabajo de Pascal al construir la segunda calculadora mecánica funcional en 1709. El cuadrante de esta calculadora estaba hecho de madera y, una vez instalada, podía multiplicar dos números automáticamente.
Los sumadores realizan sumas de enteros en computadoras digitales electrónicas, generalmente usando aritmética binaria . La estructura más simple utiliza un sumador de acarreo de onda (el acarreo del sumador anterior en la cadena de sumadores es el acarreo del siguiente sumador), lo que permite la suma de números de varios bits. El sumador skip-carry proporciona una ligera mejora , que funciona de manera similar a la intuición humana; no hace todos los acarreos en la suma 999 + 1, pasa por alto el grupo de nueves y salta directamente a la respuesta [41] .
En la práctica, la suma se puede realizar a través de la suma módulo dos y la operación AND en combinación con otras operaciones bit a bit, como se muestra a continuación. Ambas operaciones son fáciles de implementar en cadenas de sumadores que, a su vez, se pueden combinar en operaciones lógicas más complejas . En las computadoras digitales modernas, la suma de números enteros, así como otras instrucciones aritméticas de números enteros, se encuentran entre las operaciones más rápidas, pero al mismo tiempo tienen un gran impacto en el rendimiento general de la computadora, ya que las operaciones con números enteros representan una proporción significativa de todos. calculos La suma de enteros se usa, por ejemplo, en tareas como la generación de direcciones durante el acceso a la memoria y la obtención de instrucciones durante un cierto orden de ejecución . Para aumentar la velocidad, las computadoras modernas calculan valores en dígitos en paralelo ; estos esquemas se denominan muestreo de acarreo, anticipación de acarreo y pseudotransferencia en un sumador de Ling . En la mayoría de los casos, la implementación de la suma en una computadora es un híbrido de las últimas tres construcciones [42] [43] . A diferencia de la suma en papel, la suma por computadora a menudo cambia los términos. En un ábaco antiguo y un tablero de suma, durante la operación de suma, ambos términos fueron destruidos, quedando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue tan grande que en los primeros textos latinos se decía a menudo que en el proceso de sumar "número a número" ambos números desaparecían [44] . Volviendo al presente, notamos que la instrucción ADD del microprocesador reemplaza el valor del primer término con la suma, el segundo término permanece sin cambios [45] . En un lenguaje de programación de alto nivel, evaluar a + b no cambia ni a ni b ; si la tarea es escribir la suma de a , entonces esto debe establecerse explícitamente, generalmente con la expresión a = a + b . En algunos lenguajes de programación como C o C++ esto se abrevia a a += b .
// Algoritmo iterativo int add ( int x , int y ){ acarreo int = 0 ; while ( y != 0 ){ carry = AND ( x , y ); // AND lógico x = XOR ( x , y ); // XOR lógico y = llevar << 1 ; // desplazamiento de bits a la izquierda acarreo por uno } return x ; } // Algoritmo recursivo int add ( int x , int y ){ devuelve x si ( y == 0 ) sino agrega ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }En una computadora, si el resultado de una suma es demasiado grande para almacenar, se produce un desbordamiento aritmético , lo que da como resultado una respuesta incorrecta o una excepción durante la ejecución del programa. El desbordamiento aritmético inesperado es una causa bastante común de errores de programación . Dichos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de detectar y diagnosticar porque solo pueden ocurrir con conjuntos de datos de entrada muy grandes que no se usan con frecuencia en las pruebas [46] . La adición de números reales en las computadoras modernas, como todos los cálculos de punto flotante , se implementan en hardware en un módulo especial llamado coprocesador matemático (el nombre es condicional, ya que en las computadoras modernas está integrado físicamente en el procesador central ). La adición de punto flotante también puede desbordarse, pero siempre generará una excepción y no pasará desapercibida.
Otra característica importante de los cálculos de computadora de coma flotante es la precisión limitada de representar un número real , en relación con la cual los cálculos de coma flotante en una computadora generalmente se realizan aproximadamente, y la operación de redondeo se aplica a los resultados de los cálculos (incluidos los intermedios) . El redondeo, por regla general, se aplica incluso a aquellos números que están representados en el sistema numérico decimal por una fracción finita, es decir, exactamente (ya que las computadoras más comunes usan el sistema numérico binario ). En este sentido, cuando se suman números de coma flotante en una computadora, la suma, por regla general, depende del orden de suma de los términos, a veces de manera significativa si los órdenes de los términos difieren significativamente. Dada esta circunstancia, cuando se escriben programas que utilizan la suma de un gran número de términos, se debe recurrir a medidas especiales encaminadas a reducir el error. Uno de los métodos más efectivos para reducir el error de suma es el algoritmo de Kahan .
Para representar las propiedades básicas de la suma, primero debe decidir el contexto. La adición se definió originalmente para los números naturales . La suma se define para conjuntos cada vez más grandes, incluidos los números naturales: enteros , números racionales y números reales [47] . (En educación matemática [48], la suma de fracciones positivas va antes de la suma de números negativos [49] .)
Usemos la definición de números naturales como clases de equivalencia de conjuntos finitos. Denotemos las clases de equivalencia de conjuntos finitos generados por biyecciones con la ayuda de paréntesis: . Entonces la operación aritmética "suma" se define de la siguiente manera:
donde es la unión disjunta de los conjuntos . Esta operación sobre las clases se introduce correctamente, es decir, no depende de la elección de los elementos de clase y coincide con la definición inductiva.
Un mapeo uno a uno de un conjunto finito en un segmento puede entenderse como una enumeración de los elementos del conjunto . Este proceso de numeración se llama " contar " [50] [ ver enlace (ya son 506 días) ] . Así, la "cuenta" es el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto y un segmento de la serie natural de los números [51] .
Para sumar números naturales en la notación posicional de números, se utiliza un algoritmo de suma bit a bit. Dados dos números naturales y tales que:
donde: ;
- el número de dígitos en el número ; - número de serie de la categoría (posición), ; - base del sistema numérico; un conjunto de caracteres numéricos (dígitos), un sistema numérico específico: , , ;después:
sumando poco a poco obtenemos:
Por lo tanto, la operación de suma se reduce al procedimiento de suma simple secuencial de números de un solo dígito , con la formación de una unidad de transferencia, si es necesario, que se realiza por el método tabular o incrementando (contando).
Las operaciones aritméticas sobre números en cualquier sistema numérico posicional se realizan de acuerdo con las mismas reglas que en el sistema decimal , ya que todas se basan en las reglas para realizar operaciones sobre los polinomios correspondientes [52] . En este caso, debe usar la tabla de suma correspondiente a la base dada del sistema numérico.
Un ejemplo de cómo sumar números naturales en sistemas numéricos binarios, decimales y hexadecimales, por conveniencia, los números se escriben uno debajo del otro de acuerdo con los dígitos, la unidad de carga se escribe arriba, los dígitos que faltan se rellenan con ceros:
Otra definición famosa es recursivamente:
Hay varias versiones de esta definición en la literatura. En el teorema de recursión[ término desconocido ] en un poset N 2 se utiliza exactamente la definición dada anteriormente. [54] . Por otro lado, algunas fuentes prefieren usar el Teorema de Recursión restringido, que solo se aplica al conjunto de números naturales. Algunos sugieren "arreglar" temporalmente a recurriendo a b para definir la función " a +", e insertando estas operaciones unarias para todo a para formar una operación binaria completa [55] .
Esta definición recursiva de la suma la dio Dedekind ya en 1854 y la amplió en las décadas siguientes [56] . Usando inducción matemática, Dedekind demostró las propiedades de asociatividad y conmutatividad.
El conjunto de los enteros es una extensión del conjunto de los números naturales , que se obtiene sumando números negativos [57] de la forma . El conjunto de números enteros se denota . Las operaciones aritméticas sobre números enteros se definen como una continuación continua de las correspondientes operaciones sobre números naturales. La diferencia con los números naturales es que los números negativos en la recta numérica están dirigidos en la dirección opuesta, esto cambia un poco el procedimiento de suma. Es necesario tener en cuenta la dirección mutua de los números, aquí son posibles varios casos:
Otra construcción del conjunto de números enteros se basa en los grupos de Grothendieck . La idea principal es que todo número entero se puede representar (en más de una forma) como la diferencia de dos números naturales, por lo que podemos definir un número entero como la diferencia de dos números naturales. Entonces la suma se define como sigue:
El conjunto de números racionales se denota (del cociente inglés "privado") y se puede escribir de esta forma:
Para sumar números racionales en forma de fracciones ordinarias (o simples) de la forma: , deben convertirse (llevarse) a un denominador común (idéntico) . Por ejemplo, tome el producto de los denominadores, mientras que los numeradores se multiplican por los denominadores correspondientes. Luego suma los numeradores resultantes y el producto de los denominadores se volverá común.
Si se dan dos números racionales y tales que: (fracciones irreducibles), entonces:
[60]O puede encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Procedimiento:
Después de eso, los denominadores de ambas fracciones son iguales (iguales ). En varios casos simples, esto simplifica los cálculos, pero en el caso de números grandes, los cálculos se vuelven mucho más complicados. Se puede tomar como cualquier otro múltiplo común.
Ejemplo de adición:
Si los denominadores de ambas fracciones son iguales, entonces:
Si los denominadores son múltiplos de cualquier número, entonces convertimos solo una fracción:
La operación aritmética "suma" sobre números racionales se refiere a operaciones cerradas. La conmutatividad y asociatividad de la suma de números racionales es una consecuencia de las leyes de la aritmética entera [61] . Para una definición más rigurosa y general, ver el artículo campo de fracciones .
Las cantidades físicas se suman de manera similar: se expresan en términos de unidades de medida comunes [62] . Por ejemplo, para sumar 50 mililitros y 1,5 litros, debe convertir mililitros a litros y llevar las fracciones a un denominador común:
litros.
Las operaciones aritméticas sobre números reales , representables como fracciones decimales infinitas, se definen como una continuación continua [63] de las correspondientes operaciones sobre números racionales.
Dados dos números reales que se pueden representar como infinitos decimales :
,definidas respectivamente por las sucesiones fundamentales de números racionales (que satisfacen la condición de Cauchy ), denotadas como: y , entonces su suma es el número definido por la suma de las sucesiones y :
;
número real , satisface la siguiente condición:
.
Así, la suma de dos números reales y es un número real tal que está contenido entre todas las sumas de la forma por un lado y todas las sumas de la forma por otro lado [64] .
En la práctica, para sumar dos números y , es necesario reemplazarlos con la precisión requerida por números racionales aproximados y . Para el valor aproximado de la suma de números, tome la suma de los números racionales especificados . Al mismo tiempo, no importa de qué lado (por deficiencia o por exceso) se aproximan los números racionales tomados y . La suma se realiza de acuerdo con el algoritmo de suma bit a bit.
Al sumar números aproximados, se suman sus errores absolutos , el error absoluto de un número se toma igual a la mitad de la última cifra de este número. El error relativo de la suma está entre los valores mayor y menor de los errores relativos de los términos; en la práctica, se toma el valor más grande . El resultado obtenido se redondea al primer dígito significativo correcto, el dígito significativo del número aproximado es correcto si el error absoluto del número no excede la mitad de la unidad del dígito correspondiente a este dígito.
Ejemplo de suma , hasta 3 decimales:
Sobre el conjunto de los números reales, la gráfica de la función de suma tiene la forma de un plano que pasa por el origen de coordenadas e inclinado respecto a los ejes en 45° de grados angulares . Como , entonces para estos conjuntos los valores de la función de suma pertenecerán a este plano. [sesenta y cinco]
Los números complejos se suman entre sí sumando las partes real e imaginaria [66] . Esto significa que:
Donde:, es una unidad imaginaria Usando la representación de números complejos como puntos en el plano complejo , podemos dar a la suma de números complejos la siguiente interpretación geométrica : la suma de números complejos y , representada por puntos en el plano complejo, es punto Co Se obtiene construyendo un paralelogramo cuyos tres vértices están situados en los puntos O , A y B . O podemos decir que C es un punto tal que los triángulos OAB y CBA son congruentes .
De manera similar para números hipercomplejos (números complejos de n-ésima dimensión): [67]
Al sumar números pertenecientes a diferentes conjuntos, es necesario (si es posible) representar un conjunto con menos potencia como un subconjunto de un conjunto con más potencia, o encontrar el "conjunto menos común". Por ejemplo, si necesita sumar un número natural con racional , entonces, usando el hecho de que los números naturales son un subconjunto de los racionales, representamos el número como racional y sumamos dos números racionales . De manera similar, usando el hecho de que: , puedes sumar números de diferentes conjuntos entre sí. Volviendo al ejemplo de la manzana, usemos el hecho de que el conjunto de manzanas y el conjunto de peras son subconjuntos del conjunto de frutas: , y así podemos sumar 3 manzanas y 2 peras, representándolos como subconjuntos del conjunto de frutas: fruta_manzana fruta_peras fruta.
Hay muchas operaciones binarias que pueden considerarse como generalizaciones de la suma de números reales. Tales operaciones generalizadas son el principal tema de estudio del álgebra general , también ocurren en la teoría de conjuntos y la teoría de categorías .
Un espacio vectorial es una estructura algebraica en la que se pueden sumar dos vectores cualesquiera y cualquier vector se puede multiplicar por un número. Un ejemplo simple de un espacio vectorial es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; un par ordenado es un vector que comienza en un punto del plano euclidiano y termina en un punto (y todo codireccional a él). La suma de dos vectores se obtiene sumando sus respectivas coordenadas: . Esta operación de suma es fundamental para la mecánica clásica , en la que los vectores se tratan como análogos de las fuerzas .
Suma de matricesLa suma de matrices se define para dos matrices del mismo tamaño. La suma de dos matrices A y B de m × n (pronunciadas “m por n”) , escrita como A + B , es una matriz de m × n que se obtiene sumando los elementos correspondientes [68] [69] :
Por ejemplo:
Aritmética del restoEl conjunto de residuos de la división por 12 consta de doce elementos; este conjunto hereda la operación de suma de enteros. El conjunto de residuos módulo 2 tiene sólo dos elementos; la operación de adición que hereda se conoce en lógica proposicional como la operación " exclusiva o ". En geometría, la suma de dos medidas angulares a menudo se define como la suma de números reales módulo 2π. Tal definición corresponde a la operación de suma sobre un círculo , que a su vez se generaliza a la operación de suma sobre un toro multidimensional .
Adición generalEn la teoría general del álgebra abstracta, la operación de "suma" puede llamarse cualquier operación asociativa y conmutativa . Los principales sistemas algebraicos con tales operaciones de suma incluyen monoides conmutativos y grupos abelianos .
Una generalización de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y números cardinales en la teoría de conjuntos. Estas operaciones son dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al caso transfinito . A diferencia de la mayoría de los tipos de operaciones de suma, la suma ordinal no es conmutativa. La suma de números cardinales, sin embargo, es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disyuntiva .
En la teoría de categorías, la unión disyuntiva se trata como un caso especial de la operación de coproducto , y los coproductos generales son quizás la más abstracta de todas las generalizaciones de la operación de suma. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma cuña , se nombran para indicar su relación con la operación de suma.
La suma, así como la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se utiliza en la aritmética elemental.
La resta puede verse como un caso especial de la operación de suma, es decir, como la suma del número opuesto . La resta en sí misma es una especie de operación inversa a la suma, es decir, sumar x y restar x son funciones mutuamente inversas .
Sobre un conjunto de números sobre los que se define la operación de suma, no siempre es posible definir la operación de resta; un ejemplo sencillo es el conjunto de los números naturales. Por otra parte, la operación de resta determina únicamente la operación de suma y la unidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo se puede definir como un conjunto que se cierra bajo la operación de resta [70] .
La multiplicación puede entenderse como una suma repetida varias veces . Si un término x aparece en una suma n veces, entonces esta suma es igual al producto de n y x . Si n no es un número natural , el producto aún puede tener sentido; por ejemplo, multiplicar por -1 da el número opuesto .
La suma y la multiplicación de números reales o complejos se pueden intercambiar usando la función exponencial :
mi un + segundo = mi un mi segundo [71] .Esta identidad permite la multiplicación mediante tablas de logaritmos y la suma manual; también permite la multiplicación usando la regla de cálculo . Esta fórmula también es una buena aproximación de primer orden en el amplio contexto de los grupos de Lie , donde relaciona la multiplicación de elementos infinitesimales de un grupo de Lie con la suma de vectores en el álgebra de Lie correspondiente [72] .
La multiplicación tiene aún más generalizaciones que la suma [73] . En general, las operaciones de multiplicación son siempre distributivas con respecto a la suma. Este requisito está consagrado en la definición de un anillo . En algunos casos, como los números enteros, la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma y la existencia de una identidad multiplicativa es suficiente para definir de manera única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también caracteriza a la suma; expandiendo los paréntesis en el producto (1 + 1)( a + b ) de dos maneras, concluimos que la suma debe ser conmutativa. Por esta razón, la suma en un anillo es siempre conmutativa [74] .
La división es una operación aritmética lejanamente relacionada con la suma. Dado que a / b = a ( b −1 ), la división es distributiva por la derecha con respecto a la suma: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Sin embargo, la división no se deja distributiva con respecto a la suma; 1/ (2 + 2) no es igual a 1/2 + 1/2.
La operación máxima “max ( a , b )” es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y b tienen diferente orden , entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en aplicaciones de las matemáticas, como el truncamiento de la serie de Taylor . Sin embargo, esta operación genera constantes dificultades en el análisis numérico ya que la operación de maximizar no es reversible. Si b es mucho mayor que a , entonces el cálculo habitual ( a + b ) − b puede conducir a la acumulación de un error de redondeo inaceptable , posiblemente obteniendo un resultado cero. Véase también subdesbordamiento .
Esta aproximación se vuelve exacta al pasar al límite infinito[ especificar ] ; si alguno de los números a y b es un número cardinal , entonces su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos [77] . En consecuencia, la operación de resta no está definida para conjuntos de cardinalidad infinita [78] .
Encontrar el máximo es una operación conmutativa y asociativa, al igual que la suma. Además, dado que la suma conserva el orden de los números reales, la suma es distributiva con respecto a la función de maximización de la misma manera que la multiplicación lo es con respecto a la suma:
a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).Por estas razones, en geometría tropical , la multiplicación se reemplaza por la suma, y la suma se reemplaza por la búsqueda del máximo. En este contexto, la suma se llama "multiplicación tropical", encontrar el máximo se llama "suma tropical", y la "unidad aditiva" tropical se llama infinito negativo [79] . Algunos autores prefieren reemplazar la suma por la minimización; en este caso, la unidad aditiva es infinito positivo [80] .
Combinando estas observaciones, la suma tropical se aproxima a la suma ordinaria usando el logaritmo:
log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),que se vuelve más preciso a medida que aumenta la base del logaritmo [81] . La aproximación puede volverse exacta si destacamos la constante h , nombrada por analogía con la constante de Planck en mecánica cuántica [82] , y tomamos el "límite clásico" , en el que h tiende a cero:
En este sentido, la operación de encontrar el máximo es una descuantificación de la suma [83] .
Incrementar, o aplicar la función de seguimiento, es sumar 1 a un número.
La suma es la suma de un número arbitrariamente grande de números, generalmente más de dos. Casos particulares de este concepto son la suma de un número (el resultado de tal suma es igual al número mismo), así como la suma vacía igual a cero [84] . La suma infinita es un procedimiento no trivial conocido como encontrar la suma de una serie [85] .
Sumar una función de identidad sobre un conjunto finito da el mismo resultado que contar el número de elementos de este conjunto.
La integración es una especie de "suma" sobre un continuo , o más precisamente y en general, sobre una variedad uniforme . La integración sobre un conjunto de dimensión cero se reduce a la sumatoria.
Las combinaciones lineales combinan la multiplicación y la suma; estas son sumas en las que cada término tiene un factor, generalmente un número real o complejo . Las combinaciones lineales son especialmente útiles en situaciones en las que la simple suma violaría alguna regla de normalización, como la combinación de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica .
La convolución se utiliza para sumar dos variables aleatorias independientes dadas funciones de distribución . La definición estándar de convolución usa integración, resta y multiplicación. En general, es apropiado pensar en la convolución como "suma de dominio" y la suma de vectores como "suma de rango".
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