Cono (topología)

Un cono en topología es un espacio topológico obtenido a partir del espacio original contrayendo un subespacio de su cilindro ( ) a un punto, es decir, un espacio cociente . El cono sobre el espacio se denota por . $X$ $X\veces\{0\}$ $X\veces[0, 1]$ $(X \veces [0, 1])/(X \veces \{0\})$ $X$ $\mathrm CX$

Si es un subconjunto compacto del espacio euclidiano , entonces el cono sobre es homeomorfo a la unión de los segmentos desde a un punto distinguido en el espacio, es decir, la definición de un cono topológico es consistente con la definición de un cono geométrico . Sin embargo, el cono topológico es una construcción más general. $X$ $X$ $X$

Ejemplos

Un cono sobre un punto de la recta real es un intervalo , un cono sobre un intervalo de la recta real es un triángulo relleno (2-simplex), un cono sobre un polígono es una pirámide con base . El cono encima del círculo es el cono clásico (con interior); un cono sobre un círculo es la superficie lateral de un cono clásico: $pags$ $\{p\}\veces[0,1]$ $PAGS$ $PAGS$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorfo a un círculo .

En general, un cono sobre una hiperesfera es homeomorfo a una bola de dimensión cerrada . Un cono sobre un -simple es un -simple. $(n+1)$ $norte$ $(n+1)$

Propiedades

El cono se puede construir como un cilindro de mapeo constante [1] . $\mathrm CX$ $X \a \{0\}$

Todos los conos están conectados por caminos , ya que cualquier punto puede estar conectado a un vértice. Además, cualquier cono es contráctil al vértice con la ayuda de la homotopía dada por la fórmula . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Si es compacto y Hausdorff , entonces el cono se puede representar como el espacio de segmentos de línea que conectan cada punto con un solo punto; si no es compacto o Hausdorff, entonces no lo es, ya que, en general, la topología en el espacio del cociente será más delgada que el conjunto de segmentos de línea que se conectan a un punto. $X$ $\mathrm CX$ $X$ $X$ $\mathrm CX$ $X$

En topología algebraica , los conos se utilizan mucho porque representan espacios como incrustaciones en un espacio contráctil; a este respecto también es importante el siguiente resultado: un espacio es contráctil si y sólo si es una retracción de su cono. $X$

Funtor cónico

El mapeo genera un funtor cónico , un endofuntor sobre la categoría de espacios topológicos . $X\mapsto\mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Arriba} \a \mathbf{Arriba}$ $\mathbf {Arriba}$

Cono reducido

El cono reducido es una construcción sobre un espacio punteado [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\times [0,1] \big) / \big( (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\ derecho\}\veces [0,1]) \grande)

La incrustación natural nos permite considerar cualquier espacio puntiagudo como un subconjunto cerrado de su cono reducido [3] . $x\mapsto(x,1)$

Véase también

Complemento (topología)
Cono de mapeo (topología)
Cono de mapeo (álgebra homológica)
Unirse (topología)

Notas

↑ Spanier, 1971 , pág. 77.
↑ Suiza, 1985 , p. 13
↑ Spanier, 1971 , pág. 469.

Literatura

Allen Hatcher. Topología algebraica. - Moscú: Editorial MTsNMO, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Suiza. Topología algebraica - homotopía y homología. - Moscú: "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, 1985.
E. Spanier. Topología algebraica. - Moscú: Mir, 1971.