Curva de segundo orden

Curva de segundo orden : el lugar geométrico de los puntos del plano, cuyas coordenadas rectangulares satisfacen la ecuación de la forma.

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

en el que al menos uno de los coeficientes es diferente de cero. Así, una curva de segundo orden es un caso especial de una curva algebraica . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Historia

Las curvas de segundo orden fueron estudiadas por primera vez por Menechmus , un estudiante de Eudoxus [1] [2] . Su trabajo fue el siguiente: si tomas dos líneas que se cruzan y las giras alrededor de la bisectriz del ángulo formado por ellas, obtienes una superficie cónica . Si intersecamos esta superficie con un plano , se obtienen varias formas geométricas en la sección, a saber, elipse , círculo , parábola , hipérbola y varias figuras degeneradas (ver más abajo).

Sin embargo, este conocimiento científico encontró aplicación solo en el siglo XVII, cuando se supo que los planetas se mueven a lo largo de trayectorias elípticas, y un proyectil de cañón vuela a lo largo de una parabólica. Incluso más tarde se supo que si le das al cuerpo la primera velocidad espacial , entonces se moverá en un círculo alrededor de la Tierra, con un aumento en esta velocidad, a lo largo de una elipse , cuando se alcanza la segunda velocidad espacial , a lo largo de una parábola . ya una velocidad mayor que la segunda velocidad espacial, a lo largo de una hipérbole .

Invariantes

La forma de la curva depende de cuatro invariantes :

invariantes bajo rotación y desplazamiento del sistema de coordenadas :
- $I_{3}={\begin{vmatriz}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatriz}}$ (también conocido como ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (también conocido como ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (también conocido como ) $yo$
invariante con respecto a la rotación del sistema de coordenadas (semi-invariante):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatriz}}$ (también conocido como ) $B$

La expresión que se encuentra a veces "curva invariante" es inexacta. Si multiplicamos la ecuación por un número k distinto de cero, obtenemos una ecuación que define la misma curva. En este caso, los valores de las invariantes cambiarán. etc. $\Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}$

Clasificación de curvas de segundo orden con respecto a los valores de invariantes

Curva	La ecuacion	invariantes
Elipse	${\ fracción {x^{2}}{a^{2}}}+{\ fracción {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	${\ estilo de visualización I_ {2}> 0}$	$yo_{1}yo_{3}<0$
Punto (un par de líneas de intersección imaginarias)	${\frac{x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			${\ estilo de visualización I_ {3} = 0}$
elipse imaginaria	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$Yo_{1}Yo_{3}>0$
Hipérbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Un par de líneas que se cruzan	${\frac{x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	${\ estilo de visualización I_ {3} = 0}$
Parábola	$y^{2}=2px$	${\ estilo de visualización I_ {2} = 0}$		$I_{3}\neq 0$
par de lineas paralelas	${\ estilo de visualización x^{2}-d^{2}=0}$			${\ estilo de visualización I_ {3} = 0}$	$K_{1}<0$
Directo	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Par de rectas paralelas imaginarias	${\ estilo de visualización x^{2}+d^{2}=0}$				$K_{1}>0$

Curvas no degeneradas

Una curva de segundo orden se denomina no degenerada si pueden darse las siguientes opciones: $\Delta\ne0.$

Una curva no degenerada de segundo orden se llama central si $D\no=0$
- elipse - siempre y ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - un caso especial de una elipse - un círculo - siempre que o $yo ^ 2 = 4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- elipse imaginaria (ni un solo punto real) - siempre y cuando $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hipérbole - proporcionado $D<0;$
Una curva no degenerada de segundo orden se llama no central si $D=0$
- parábola - sujeta a $D=0.$

Curvas degeneradas

Una curva de segundo orden se llama degenerada si . Pueden surgir las siguientes opciones: $\Delta=0$

punto real en la intersección de dos líneas imaginarias ( elipse degenerada ) - siempre $D>0;$
un par de líneas reales que se cruzan ( hipérbola degenerada ) - siempre que $D<0;$
parábola degenerada - siempre $D=0:$
- un par de líneas paralelas reales - bajo la condición $B<0;$
- una línea real (dos líneas paralelas fusionadas ) - siempre $B=0;$
- un par de líneas paralelas imaginarias (no un solo punto real) - siempre que $B>0.$

Forma cuadrática característica y ecuación característica

Muchas propiedades importantes de las curvas de segundo orden se pueden estudiar usando la forma cuadrática característica correspondiente a la ecuación de la curva

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Así, por ejemplo, una curva no degenerada resulta ser una elipse real , una elipse imaginaria , una hipérbola o una parábola , según se trate de una forma cuadrática definida positiva, definida negativa, indefinida o semidefinida, lo cual se establece por las raíces de la ecuación característica: $\izquierda(\Delta\ne0\derecha)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Las raíces de esta ecuación son los valores propios de la matriz simétrica real

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

y, en consecuencia, son siempre reales [3] .

Diámetros y centro de una curva de segundo orden

El diámetro de una curva de segundo orden es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas de esta curva. El diámetro así obtenido se llama conjugado de estas cuerdas o su dirección. El diámetro conjugado a las cuerdas que forman un ángulo con la dirección positiva del eje Ox está determinado por la ecuación: $\ theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sen\theta = 0.$

Si se cumple la condición, entonces todos los diámetros de la curva se cruzan en un punto: el centro , y la curva en sí se llama central . De lo contrario ( ), todos los diámetros de la curva son paralelos o iguales. $D\ne0,$ $D=0$

Las coordenadas del centro están determinadas por el sistema de ecuaciones: $\izquierda(x_0,\;y_0\derecha)$

$\begin{casos} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{casos}$

Resolviendo este sistema con respecto a y obtenemos: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatriz} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatriz} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Si la curva es central, entonces mover el origen a su centro trae la ecuación a la forma

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ barra x = x - x_0,\;\;\;\barra y = y - y_0,$

donde son las coordenadas relativas al nuevo sistema. $\bar x,\;\bar y$

Ejes principales y vértices de una curva de segundo orden

El eje principal de una curva de segundo orden es su diámetro, perpendicular a las cuerdas conjugadas con ella. Este diámetro es el eje de simetría de la curva. Cada curva central tiene dos ejes mutuamente perpendiculares o todos los diámetros son ejes principales. En este último caso, la curva es un círculo. Las curvas no centrales tienen un solo eje principal. Los puntos de intersección del eje principal con la propia curva se denominan sus vértices . $\izquierda(D\ne0\derecha)$ $\izquierda(D=0\derecha)$

Los cosenos directores de las normales a los ejes principales satisfacen las ecuaciones

$\begin{casos} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22) } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{casos},$

donde es una raíz distinta de cero de la ecuación característica. Las direcciones de los ejes principales y sus cuerdas conjugadas se denominan direcciones principales de la curva. El ángulo entre la dirección positiva del eje Ox y cada una de las dos direcciones principales viene dado por $\lambda$

$\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

De todos los tipos de curvas de segundo orden, solo el círculo tiene direcciones principales indefinidas.

Ecuaciones

Ecuación general en forma matricial

La ecuación general de la curva se puede escribir en forma matricial

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

x^{T}Ax=0

Forma canónica

Al introducir un nuevo sistema de coordenadas, se pueden llevar las ecuaciones de las curvas de segundo orden a la forma canónica estándar (consulte la tabla anterior). Los parámetros de las ecuaciones canónicas se expresan de manera muy simple en términos de los invariantes de la ecuación original de la curva y las raíces de la ecuación característica (consulte la sección "Forma cuadrática característica y ecuación característica" más arriba). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Comentario. Al cambiar a la forma canónica de una ecuación, puede ser necesario multiplicar la ecuación por un número distinto de cero. Por lo tanto, los valores numéricos de las invariantes de la ecuación canónica pueden diferir de los valores de las invariantes de la ecuación original. Los signos de y permanecen sin cambios . ${\ estilo de visualización \ Delta \ cdot I \;}$ $D$

Para la curva central en forma canónica, su centro está en el origen. $\izquierda(x_0,\;y_0\derecha)$

A través de la excentricidad

La ecuación canónica de cualquier curva no degenerada de segundo orden se puede reducir a la forma mediante una transformación adecuada del origen

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).$

En este caso, la curva pasa por el origen del nuevo sistema de coordenadas y el eje Ox es el eje de simetría de la curva. Esta ecuación expresa el hecho de que una curva no degenerada de segundo orden es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancia ( excentricidad ) desde un punto dado ( foco ) y desde una recta dada ( directriz ) es constante . Además, para , la curva es un círculo, para , una elipse, para , una parábola y para , una hipérbola. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

La ecuación de la directriz de una curva está expresada por la ecuación y las coordenadas del foco . La directriz es perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco y el vértice de la curva ( eje focal ). La distancia entre el foco y la directriz es $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Si la curva de segundo orden es central (elipse o hipérbola), entonces la recta

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

es el eje de simetría y, por tanto, la curva tiene dos focos y dos directrizes.

El parámetro se denomina parámetro focal y es igual a la mitad de la longitud de la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal (cuerda focal ). $pags$

Coordenadas polares

Si tomamos el foco de una curva no degenerada de segundo orden como el polo del sistema de coordenadas polares y su eje de simetría como el eje polar, entonces en coordenadas polares , la ecuación de la curva se verá como $\left(\rho,\phi\right)$ $\rho$ $\fi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

Una curva definida por sus cinco puntos

Una curva de segundo orden está completamente determinada por sus cinco puntos si no hay cuatro de ellos en la misma línea recta. Ecuación de una curva que pasa por puntos y $\izquierda(x_1, y_1 \derecha),$ $\izquierda(x_2, y_2 \derecha),$ $\izquierda(x_3, y_3 \derecha),$ $\izquierda(x_4, y_4 \derecha)$ $\izquierda(x_5, y_5\derecha):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatriz} = 0.$

Una curva dada por cinco puntos degenera si y solo si tres de los puntos dados se encuentran en la misma línea recta.

Tangentes y normales

La ecuación de la tangente a la curva de segundo orden en su punto tiene la forma: $f(x,y)$ $\izquierda(x_1, y_1\derecha)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.$

La ecuación de la normal a una curva de segundo orden en un punto tiene la forma $\izquierda(x_1, y_1\derecha)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Polos y polares

La ecuacion

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\derecha) = 0

además de la tangente define una recta, llamada polar de un punto con respecto a una curva de segundo orden, independientemente de que dicho punto se encuentre sobre la curva o no. El punto se llama el polo de esta línea. La polar de un punto de una curva es su tangente en ese punto. $\izquierda(x_1, y_1\derecha)$ $\izquierda(x_1, y_1\derecha)$

Teoremas sobre polos y polares:

Si una línea recta trazada a través del polo corta la polar en un punto y una curva de segundo orden en los puntos y luego los puntos y separan armónicamente el segmento , es decir, la condición $PAGS,$ $q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $PAGS$ $q$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Si un punto está en una línea determinada, entonces su polar pasa por el polo de esta línea. Si una línea pasa por algún punto, entonces su polo se encuentra en la polar de ese punto.
El diámetro de una curva de segundo orden es la polar del punto en el infinito por donde pasan las cuerdas conjugadas con ella, y el centro de la curva es el polo de la línea en el infinito.
El foco de una curva es el centro de un lápiz que tiene la propiedad de que el polo de cualquiera de sus rectas pertenece a la recta de este lápiz perpendicular a él. El director es el polo del foco.

De estas declaraciones, en particular, se sigue que:

si se pueden trazar dos tangentes a la curva por un punto, entonces la polar de este punto pasa por los puntos tangentes;
las tangentes a la curva en los extremos del diámetro son paralelas a las cuerdas conjugadas a él;
el punto de intersección de las tangentes a la curva en los extremos de cualquiera de sus cuerdas que pasan por el foco está en la directriz;
cada cuerda que pasa por el foco es perpendicular a la línea trazada por su foco y el punto de intersección de las tangentes en los extremos de la cuerda.

Teoremas relacionados con curvas de segundo orden

Teorema de Pascal : los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una curva de segundo orden se encuentran en la misma línea .
Teorema de Brianchon : Las diagonales que pasan por vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una curva de segundo orden se cortan en un punto .

Véase también

Enlaces

Ecuación general de una curva de segundo orden Archivado el 30 de enero de 2020 en Wayback Machine .
Curvas de segundo orden
Curvas de segundo orden: hipérbola, parábola

Literatura

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Capítulo II (Curvas de segundo orden) // Geometría. - M. : Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - M. : MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometría. - M. : MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Curvas de segundo orden (secciones cónicas) // Manual de matemáticas. - 4ª edición. - M. : Nauka, 1978. - S. 64-69.

Notas

↑ Rosenfeld B. A. Apolonio de Perga . Archivado el 12 de noviembre de 2015 en Wayback Machine . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor y Edmund F. Robertson . Menaechmus (inglés) es una biografía en el archivo MacTutor .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Forma cuadrática característica y ecuación característica // Manual de matemáticas. - 4ª edición. - M. : Nauka, 1978. - S. 64.