Sistema de números negativos

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Sistemas numéricos en la cultura
indoárabe
árabe tamil birmano	Khmer Laosiano Mongol Tailandés
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Alfabético
Abjadia Armenio Aryabhata Cirílico Griego	Georgiano Etíope Judío Akshara Sankhya
Otro
Babilónico Egipcio Etrusco Romano Danubiano	Ático Kipu Maya Egeo KPPU Símbolos
posicional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-posicional
simétrico
sistemas mixtos
Fibonacci
no posicional
Singular (unario)

El sistema numérico posicional negativo es un sistema numérico posicional con una base negativa . Una característica de tales sistemas es la ausencia de un signo frente a números negativos y, por lo tanto, la ausencia de reglas de signos. Cualquier número de cualquiera de los sistemas no posicionales distintos de , con un número impar de dígitos es positivo y con un número par de dígitos es negativo. A menudo, un número en un sistema no posicional requiere un dígito más para escribir que el mismo número en un sistema de base positiva. Por lo general, el nombre de un sistema no posicional consta del prefijo nega- y el nombre del sistema numérico correspondiente con una base positiva; por ejemplo, nega-decimal (b = −10) , nega-ternario (b = −3) , nega-binario (b = −2) y otros. ${\ estilo de visualización 0}$

Ejemplos

Notación posicional negativa	Notación posicional	Representación de números
174 (-10)	34 (10)	1 (-10) 2 + 7 (-10) 1 + 4 (-10) 0 = 100 − 70 + 4 = 34
46 (-10)	-34 (10)	4 (-10) 1 + 6 (-10) 0 = -40 + 6 = -34
11001 (-2)	1001 (2)	1 (-2) 4 + 1 (-2) 3 + 0 (-2) 2 + 0 (-2) 1 + 1 (-2) 0 = 16 − 8 + 1 = 9

Historia

Los sistemas numéricos no posicionales fueron propuestos por primera vez por Vittorio Grünwald en su Giornale di Matematiche di Battaglini 23 (págs. 203-221), publicado en 1885 . Grunwald describió algoritmos para suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces, criterios de divisibilidad y transformaciones de sistemas numéricos.

Uso

El número x en un sistema numérico no posicional con base se representa como una combinación lineal de potencias de un número : $b=-r$ $-r$

x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k (-r)^k

donde los números enteros se llaman dígitos y satisfacen la desigualdad , es el número ordinal del dígito comenzando desde cero, n es el número de dígitos. Cada grado en dicho registro se denomina categoría , la antigüedad de las categorías y sus dígitos correspondientes está determinada por el valor del indicador . Por lo general, para un número distinto de cero , se requiere que el dígito más alto en la representación b -aria también sea distinto de cero. $Alaska}$ $0 \leq a_k < r$ $k$ $(-r)^k$ $k$ $X$ $a_{{n-1}}$ $X$

Los sistemas posicionales negativos son comparables a los sistemas de signos y dígitos , como el ternario simétrico , donde la base del sistema es positiva, pero los dígitos pueden tomar valores negativos a partir de algún intervalo.

Algunos números tienen la misma representación en sistemas numéricos con base y (posicionales y sus correspondientes no posicionales). Por ejemplo, los números del 100 al 109 se escriben de la misma manera en sistemas numéricos decimales y decimales negativos. Similarmente: $b$ $-b$

17 = 2^4+2^0 = (-2)^4+(-2)^0

Es decir, el número 17 tiene la misma representación en sistemas numéricos binarios y no binarios - . $10001$

Representaciones de números del −12 al 12 en varios sistemas numéricos:

Decimal	decimal negativo	Binario	Nega-binario	ternario	Nega-ternario
-12	28	-1100	110100	-110	1210
-once	29	-1011	110101	-102	1211
-diez	diez	-1010	1010	-101	1212
-9	once	-1001	1011	-100	1200
-ocho	12	-1000	1000	-22	1201
-7	13	-111	1001	-21	1202
-6	catorce	-110	1110	-veinte	veinte
-5	quince	-101	1111	-12	21
-cuatro	dieciséis	-100	1100	-once	22
-3	17	-once	1101	-diez	diez
-2	Dieciocho	-diez	diez	-2	once
-una	19	-una	once	-una	12
0	0	0	0	0	0
una	una	una	una	una	una
2	2	diez	110	2	2
3	3	once	111	diez	120
cuatro	cuatro	100	100	once	121
5	5	101	101	12	122
6	6	110	11010	veinte	110
7	7	111	11011	21	111
ocho	ocho	1000	11000	22	112
9	9	1001	11001	100	100
diez	190	1010	11110	101	101
once	191	1011	11111	102	102
12	192	1100	11100	110	220

Traducción a sistemas posicionales negativos

Una representación no posicional de un número puede obtenerse mediante divisiones sucesivas con el resto del número original por (es decir, la base del sistema no posicional) y escribiendo los restos en una fila a partir del último. Note que si , con resto , entonces . Un ejemplo de una traducción a un sistema negativo-ternario: $b=-r$ $a/b=c$ $d$ $bc + d = un$

\begin{align} 146 & ~/~ -3 = & -48, & ~~~d = 2 \\ -48 & ~/~ -3 = & 16, & ~~~d = 0 \\ 16 & ~ /~ -3 = & -5, & ~~~d = 1 \\ -5 & ~/~ -3 = & 2, & ~~~d = 1 \\ 2 & ~/~ -3 = & 0, & ~~~d = 2 \\ \end{alinear}

Por lo tanto, la representación negativa-ternaria del número 146 (10) es 21102 (-3) .

Implementación en C#: // Cadena estática negativa negaternaria ( valor int ) { resultado de cadena = cadena . vacío ; hacer { int resto = valor % - 3 ; valor = valor / - 3 ; si ( resto < 0 ) { resto += 3 ; valor += 1 ; } resultado = resto . ToString ( ) + resultado } while ( valor != 0 ); resultado devuelto ; } Implementación en C++: // Nega-binario #include <iostream> utilizando el espacio de nombres estándar ; int principal () { valor int , rem ; cadena res = "" ; cin >> valor ; hacer { rem = valor % -2 ; valor = valor / -2 ; si ( rem < 0 ) { rem = rem + 2 ; valor ++ ; } if ( rem == 1 ) res = "1" + res ; if ( rem == 0 ) res = "0" + res ; } mientras ( valor != 0 ); cout << res ; } Implementación en Python 3.8: # negativo-binario res = "" valor = int ( entrada ()) while True : rem = valor % - 2 valor = valor // - 2 si rem < 0 : rem = rem + 2 valor = valor + 1 si rem == 1 : res = "1" + res si rem == 0 : res = "0" + res si valor == 0 : romper imprimir ( res )

Fracciones

Operaciones aritméticas

Adición

La suma por columna debe realizarse como en el sistema habitual, por ejemplo, si desea sumar en un sistema numérico no decimal, entonces debe hacerlo como en un sistema numérico decimal . Pero con una excepción: si, al sumar cualquier dígito, se obtiene un número de al menos 10, entonces es necesario escribir el número de unidades en este dígito del número resultante y restar uno del dígito adyacente a la izquierda. . Si no hay ningún dígito a la izquierda, entonces asigne 19 a la izquierda (para nega-decimal, para nega-ternario 12, para nega-binario 11). Por ejemplo (sistema decimal negativo):

· · 18115 + 5487 3582

5 + 7 = 12, 2 en la categoría de unidades, restar uno de la izquierda adyacente. 8 + 5 = 13, 3 en el dígito menos miles, restar uno de la izquierda adyacente.

· 72 + 49 1901

2+9=11, 1 en los dígitos de las unidades, resta uno del de la izquierda. 6 + 4 = 10, 0 en la categoría de menos decenas, no hay vecino a la izquierda, atribuimos 19 a la izquierda.

Resta

La resta de columnas debe realizarse como en el sistema habitual, por ejemplo, si desea restar en el sistema numérico no decimal (NDSS), entonces debe hacerlo como en el sistema numérico decimal . Pero con una excepción: si necesita tomar una decena al restar en cualquier dígito, entonces lo hace, pero no resta uno del dígito al lado, sino que lo suma allí. Si no hay ningún dígito a la izquierda, entonces asigne 1 a la izquierda. Por ejemplo (sistema negativo-decimal):

52 − 39 ??

2−9 es imposible, tomamos uno.

2 12 − − 9 9 ?? 3

12−9=3, 3 en la cifra de unos, en la cifra de la izquierda le sumamos uno (52−12= 52−2+10 =50+10=60). 6−3=3.

52 52 6 0 60 00 − − − − − 39 30 30 30 00 ?? ?3 ?3 ?3 33

52 en NDSS = −48 10 . 39 en NDSS = −21 10 . 33 en NDSS = −27 10 .

−48 10 − (−21 10 ) = −27 10 .

Multiplicación

Tablas de multiplicar Tabla de multiplicar en sistema numérico no binario

×	0	una
0	0	0
una	0	una

Tabla de multiplicar en sistema numérico negativo-ternario

X	una	2
2	2	121
una	una	2
0	0	0

Tabla de multiplicar en sistema numérico decimal negativo

una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
2	cuatro	6	ocho	190	192	194	196	198
3	6	9	192	195	198	181	184	187
cuatro	ocho	192	196	180	184	188	172	176
5	190	195	180	185	170	175	160	165
6	192	198	184	170	176	162	168	154
7	194	181	188	175	162	169	156	143
ocho	196	184	172	160	168	156	144	132
9	198	187	176	165	154	143	132	121

Véase también

Sistema de números binarios negativos
Sistema numérico de signos y dígitos
Sistema numérico simétrico