Función genérica

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Una función generalizada , o distribución , es un concepto matemático que generaliza el concepto clásico de una función . La necesidad de tal generalización surge en muchos problemas físicos y matemáticos.

El concepto de función generalizada permite expresar de forma matemáticamente correcta conceptos idealizados como densidad de un punto material , carga puntual, dipolo puntual , densidad (espacial) de una capa simple o doble , intensidad de una fuente instantánea, etc.

Por otro lado, el concepto de función generalizada refleja el hecho de que es realmente imposible medir el valor de una cantidad física en un punto, pero solo sus valores promedio pueden medirse en pequeñas vecindades de un punto dado. Así, la técnica de funciones generalizadas sirve como un aparato conveniente y adecuado para describir las distribuciones de varias cantidades físicas. Las matemáticas a principios del siglo XX no tenían los formalismos estrictos necesarios para operar con una nueva clase de dependencias de cantidades descubiertas en la física.

Una importante contribución a la formación de un nuevo enfoque matemático del concepto de función en física pertenece a Η. METRO. Günther , quien sugirió considerar las funciones de conjuntos correspondientes en lugar de las características puntuales del tipo densidad allá por 1916 [1] y trató de repensar el concepto de resolver una ecuación de la física matemática sobre esta base. Sin embargo, N. M. Günther no conectó estas ideas con el emergente análisis funcional y la mecánica cuántica. Las ideas fundamentales basadas en el uso de espacios de funciones finitas y un concepto fundamentalmente nuevo de derivada generalizada fueron formulados en 1935 por S. L. Sobolev [2] . Diez años más tarde, el destacado matemático francés L. Schwartz llegó a ideas similares por su cuenta , basándose en la teoría de los espacios localmente convexos desarrollada en ese momento y construyendo la transformada de Fourier de funciones generalizadas [3] . Sobolev y Schwartz son los creadores de la teoría de distribuciones - funciones generalizadas. Las funciones generalizadas fueron utilizadas empíricamente por Dirac en su investigación sobre la mecánica cuántica [4] [5] .

Posteriormente, la teoría de funciones generalizadas fue desarrollada intensamente por muchos matemáticos y físicos teóricos, principalmente en relación con las necesidades de la física teórica y matemática y la teoría de ecuaciones diferenciales [6] .

Definición

Formalmente, una función generalizada se define como una funcional lineal continua sobre uno u otro espacio vectorial de suficientemente “buenas funciones” (las llamadas funciones básicas ): [7] . $F$ $\left(f,\varphi\right)$ $\varphi$ $f:\varphi\mapsto (f,\;\varphi )$

Condición de linealidad: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Condición de continuidad: si , entonces . $\varphi _{{\nu}}\rightarrow 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\rightarrow 0$

Un ejemplo importante de un espacio básico es un espacio : una colección de funciones finitas en , equipada con una topología que le es natural: una secuencia de funciones de converge si sus soportes pertenecen a una bola fija y convergen en ella. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb{R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

El espacio dual k es el espacio de funciones generalizadas . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

La convergencia de una sucesión de funciones generalizadas de se define como la convergencia débil de las funciones de , es decir , a significa que , para cualquier . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\a f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

Para que una función lineal on sea una función generalizada, es decir, es necesario y suficiente que para cualquier conjunto abierto acotado existan números y tales que $F$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $k$ $metro$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

para todos los que tengan un operador en . $\varphi$ $\Omega$

Si el número en la desigualdad se puede elegir independientemente de , entonces la función generalizada tiene un orden finito; el menor tal se llama el orden . $metro$ $\Omega$ $F$ $metro$ $F$

Los ejemplos más simples de funciones generalizadas son los funcionales generados por funciones sumables localmente

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

Las funciones generalizadas definidas por funciones sumables localmente de acuerdo con esta fórmula se denominan regulares ; el resto de las funciones generalizadas se llaman singulares . $f(x)$

Las funciones generalizadas, por lo general, no tienen valores en puntos individuales. Sin embargo, podemos hablar de la coincidencia de una función generalizada con una función localmente sumable en un conjunto abierto : una función generalizada de coincide con una función localmente sumable en una función si $F$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi)=(f_{0},\;\varphi)

para todos los que tengan un operador en . En particular, en , obtenemos la definición de que la función generalizada desaparece dentro de . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $F$ $\Omega$

El conjunto de puntos en ninguna vecindad de los cuales la función generalizada se anula se llama el soporte de la función generalizada y se denota por . Si es compacta , entonces la función generalizada se llama finita . $F$ $\operatorname {suplemento} f$ $\operatorname {suplemento} f$ $F$

Ejemplos

Cualquier medida localmente finita define una función generalizada $\mu$ $f_{\mu}$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

En particular,

Un ejemplo de una función generalizada singular en es la función de Dirac $\mathbb{R} ^{n}$ $\delta$

(\delta,\;\varphi)=\varphi (0).

Describe la densidad de la masa 1 concentrada en el punto . -función tiene orden 1.

x=0

\delta

Superficie -función. Sea una superficie lisa por partes y sea una función continua en . La función generalizada se define por la igualdad $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda}}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Además, es una función singular generalizada. Esta función generalizada describe la densidad espacial de masas o cargas concentradas en una superficie con densidad superficial (densidad de una capa simple).

f_{{S,\;\lambda}}

S

\lambda

Función generalizada definida por la igualdad $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(para funciones finitas suaves se le puede dar un significado a esta integral) la función es singular y su orden es igual a 2, pero en un conjunto abierto es regular y coincide con .

\rho

\mathbb{R} \barra invertida \{0\}

{\frac{1}{x))

Operaciones

Las operaciones lineales sobre funciones generalizadas se introducen como una extensión de las operaciones correspondientes sobre funciones básicas.

Cambio de variables

Sea y un cambio suave de variables. La función generalizada se define por la igualdad $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $R: \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ $f\circ A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

donde denota el jacobiano . Esta fórmula se puede aplicar en particular a un mapeo lineal , le permite definir funciones generalizadas invariantes traslacionalmente, esféricamente simétricas, centralmente simétricas, homogéneas, periódicas, invariantes de Lorentz, etc. $J(A)$ $A$ $A$

Obra de arte

La mayoría de las veces, se determina el producto de funciones generalizadas y funciones ordinarias, mientras que el producto de funciones generalizadas permanece indefinido.

Sea y . El producto se define por la igualdad $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty}(\mathbb{R} ^{n})$ $si$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

Por ejemplo , . Para funciones ordinarias localmente sumables, el producto coincide con la multiplicación habitual de funciones y . $a\delta =a(0)\delta$ $x \ rho = 1$ $si$ $f(x)$ $hacha)$

Sin embargo, esta operación producto, en términos generales, no permite la extensión a funciones generalizadas, por lo que es asociativa y conmutativa .

De hecho, de lo contrario obtendríamos una contradicción:

(x\delta)\rho =0\cdot\rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Sin embargo, es posible definir la multiplicación de cualquier función generalizada, si eliminamos el requisito bastante estricto de que la restricción de esta operación al conjunto de funciones continuas coincida con el producto habitual. En particular, Yu. M. Shirokov construyó un álgebra no conmutativa de funciones generalizadas [8] [9] . Hoy en día, en Europa Occidental y América, muy popular (ver, por ejemplo, la lista de trabajos citados en [10] ) es la teoría de las funciones de Colombo generalizadas (una de cuyas fuentes principales es el libro [11] , para conocimiento del llamado álgebra de Colombo "especial" mucho más frecuente en la práctica, véase el párrafo 8.5 de [12] ). En el marco de esta teoría, las funciones generalizadas son clases de equivalencia de algún álgebra de cociente. La ventaja del álgebra de Colombo es que es tanto asociativa como conmutativa. La multiplicación de funciones de Colombo generalizadas coincide con la multiplicación habitual cuando se restringe al conjunto de todas las funciones suaves (es decir, diferenciables infinitamente continuas), mientras que la inconsistencia con la multiplicación de funciones continuas (pero no suaves) se resuelve introduciendo la noción de asociación (menos rigurosa que la noción de equivalencia). Además, la multiplicación considerada concuerda perfectamente con las operaciones estándar del análisis clásico (por ejemplo, diferenciación).

Diferenciación

deja _ La derivada generalizada (débil) de una función generalizada se define por la igualdad $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}$ $F$

\left({\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x_ {i}}}\derecha).

Como la operación es lineal y continua de a , la funcional definida por el lado derecho de la igualdad es una función generalizada. $\varphi \mapsto {\frac {\parcial \varphi }{\parcial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Propiedades

El espacio es completo : si la secuencia de funciones generalizadas de es tal que para cualquier función converge la secuencia numérica , entonces la funcional $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

pertenece a

D'(\mathbb{R} ^{n})

Cada uno de ellos es un límite débil de funciones de . Esta propiedad a veces se toma como punto de partida para la definición de una función generalizada, a partir de la completitud del espacio de funciones generalizadas esto conduce a una definición equivalente. $F$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Cualquier función generalizada de es infinitamente diferenciable (en el sentido generalizado). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
La diferenciación no aumenta el apoyo de la función generalizada.
Para funciones generalizadas es válida la fórmula de Leibniz para diferenciar el producto , donde . $si$ $a\in C^{\infty}(\mathbb{R} ^{n})$
Cualquier función generalizada de o es alguna derivada parcial de una función continua en . $F$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb{R} ^{n}$
Para cualquier función de orden generalizado con apoyo en el punto 0, existe una única representación en forma de combinación lineal de derivadas parciales en cero, con un orden menor o igual a . $F$ $norte$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $norte$

Ejemplos

La función delta se obtiene calculando la integral de Fourier de una constante:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Notas

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolái Maksimovich Gunther. Ensayo bibliográfico. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy para las ecuaciones lineales hiperboliques normales // Colección matemática, No. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, París, 1950-1951
↑ Lutzen J. La prehistoria de la teoría de la distribución. - Nueva York, etc.: Springer Verlag , 1982. - 232 p.
↑ Dirac, P. A. M. Principios de mecánica cuántica. - M.: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ IM Gelfand, GE Shilov. Funciones generalizadas y acciones sobre ellas (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Análisis matemático. Segundo Curso Especial. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Álgebra de funciones generalizadas unidimensionales. — Física teórica y matemática . - 1979. - Tomo 39. - Nº 3. - págs. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Álgebra asociativa de funciones generalizadas, cerrada bajo diferenciación y antiderivada. — Física teórica y matemática . - 1981. - Volumen 46. - No. 3. - págs. 305-309., G. K. Tolokonnikov. Sobre Álgebras Yu. M. Shirokov. I- Física teórica y matemática . - 1982. - Tomo 51. - Nº 3. - págs. 366-375.
↑ Colombeau JF Funciones generalizadas no lineales: su origen, algunos desarrollos y avances recientes. Revista de Ciencias Matemáticas de Sao Paulo. −2013. - V. 7. - No. 2.- Pág. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementary Introducción a las nuevas funciones generalizadas. - Ámsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Multiplicación de distribuciones. Apuntes de clase en Matemáticas. 1532. - Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag, 1992. - 195 p. — ISBN 3-540-56288-5 .

Véase también

Controversia de cuerdas