La ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma
donde es la constante de Planck , es la masa de la partícula, es la energía potencial, es la energía total, es la función de onda . Para un enunciado completo del problema de encontrar una solución, también es necesario establecer las condiciones de contorno , que se presentan en forma general para el intervalo
donde son constantes. La mecánica cuántica considera soluciones de una ecuación con condiciones de contorno y .
Según el significado físico, la función de onda debe ser una función continua y de un solo valor de sus coordenadas. La condición de normalización proviene de interpretar el cuadrado de la función de onda como una probabilidad .
De esto se sigue, en particular, que la función de onda debe decaer lo suficientemente rápido como una función de x. En el caso unidimensional, si la función de onda está en , entonces el exponente de acuerdo con la expresión
debe satisfacer la desigualdad
La integración de la ecuación en una pequeña vecindad del punto a da condiciones adicionales sobre la derivada de la función de onda
de donde se sigue en el límite
si la energía potencial tiene discontinuidades del primer tipo (saltos finitos) en el punto a. Si en el punto a existe una discontinuidad del segundo tipo , por ejemplo, la energía potencial está descrita por la función delta ( ), entonces la condición toma la forma
Si el espectro de energía no es degenerado, entonces solo hay una función de onda que es una solución a la ecuación de Schrödinger para una energía dada, y está definida hasta la fase. En el caso de que el potencial sea simétrico, las funciones de onda serán pares o impares, y la paridad de las funciones de onda se alternará.
En la forma general, no hay solución para la ecuación , con condiciones de contorno y , pero con una cierta elección de energía potencial, se pueden encontrar soluciones exactas. Desempeñan un papel importante en la construcción de soluciones analíticas aproximadas de la ecuación .
En el espacio libre, donde no hay potenciales, la ecuación toma una forma particularmente simple
Para esta ecuación, la solución es la superposición de ondas planas
Aquí, la energía puede tomar todos los valores por encima de cero, por lo que se dice que el valor propio pertenece al espectro continuo . Las constantes y se determinan a partir de la condición de normalización .
Si se coloca una partícula en un pozo de potencial, entonces el espectro de energía continuo se vuelve discreto . Para una ecuación con energía potencial , que es cero en el intervalo y se vuelve infinita en los puntos y . En este intervalo , la ecuación de Schrödinger coincide con . Las condiciones de contorno para la función de onda se escriben en la forma
Buscando soluciones en la forma . Teniendo en cuenta las condiciones de contorno, obtenemos para los valores propios de energía
y funciones propias, teniendo en cuenta la normalización
Un potencial un tanto complejo en la ecuación ya no permite encontrar una solución analítica (o mejor dicho, esta solución solo se puede encontrar para el problema de una partícula moviéndose en el campo de otra), y por lo tanto se requiere utilizar métodos numéricos para resolver el problema. ecuación de Schrödinger. Uno de los más simples y accesibles es el método de diferencias finitas , en el que la ecuación se reemplaza por una ecuación en diferencias finitas en una cuadrícula elegida con nodos en los puntos , es decir, reemplazando la segunda derivada por la fórmula
donde es el paso de discretización , es el número de nodo de la grilla, obtenemos
donde es el valor de la energía potencial en los nodos de la red. Deje alguna escala característica del potencial, entonces la ecuación se puede escribir en una forma adimensional
Si denotamos los valores adimensionales de la energía potencial y los valores propios , entonces la ecuación se simplificará
La última expresión debe entenderse como un sistema de ecuaciones para todos los índices posibles .
de mecánica cuántica | Modelos|
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Unidimensional sin espín | partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo |
Multidimensional sin giro | oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial |
Incluye giro | átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio |