Secciones cónicas circunscritas e inscritas

La sección cónica circunscrita o la cónica circunscrita para un triángulo es la sección cónica que pasa por los tres vértices del triángulo [1] , y la sección cónica inscrita o la cónica inscrita es la sección cónica inscrita en el triángulo, es decir sobre los lados de un triángulo (quizás no los lados en sí, sino sus extensiones ) [2]

Sean dados tres puntos distintos A,B,C que no estén en la misma línea recta, y sea ΔABC un triángulo que tenga estos puntos como vértices. Por lo general, se supone que una letra, por ejemplo A , denota no solo el vértice A , sino también el ángulo BAC adyacente a él . Sea a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | son las longitudes de los lados del triángulo Δ ABC .

En coordenadas trilineales, la sección cónica circunscrita es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación

uyz + vzx + wxy = 0,

para algún punto u : v : w . La conjugación isogonal de cualquier punto de X en una sección que no sea A,B,C es un punto en la línea

ux + vy + wz = 0.

Esta recta tiene 0,1 o 2 puntos comunes con la circunferencia circunscrita al triángulo ΔABC , según que la sección cónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

La sección cónica inscrita toca tres rectas que pasan por los vértices del triángulo ΔABC (extensiones de los lados) y viene dada por la ecuación

tu 2 X 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 - 2 vwyz - 2 wuzx - 2 uvxy = 0.

Centros y rectas tangentes

Cónica descrita

El centro de la sección cónica circunscrita es el punto

tu (− au + bv + cw ) : v ( au − bv + cw ) : w ( au + bv − cw ).

Las rectas tangentes a la cónica en los puntos A, B y C están dadas por las ecuaciones

wv + vz = 0, uz + wx = 0, vx + uy = 0.

Cónica inscrita

El centro de una sección cónica inscrita es un punto

cy + bz : az + cx : bx + ay .

Las tangentes a esta cónica son los lados del triángulo ΔABC y están dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

Otras propiedades

Secciones cónicas descritas

Cualquier sección cónica circunscrita que no sea un círculo se cruza con el círculo circunscrito alrededor de ΔABC en un punto que no sea A, B y C, que a menudo se denomina el cuarto punto de intersección y tiene coordenadas trilineales .

( cx − az )( ay − bx ) : ( ay − bx )( bz − cy ) : ( bz − cy )( cx − az )

Si el punto P = p : q : r se encuentra en la sección cónica circunscrita, entonces la recta tangente a la sección en el punto P viene dada por la ecuación

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

La sección cónica descrita es una parábola si y sólo si

tu 2 un 2 + v 2 segundo 2 + w 2 do 2 - 2 vwbc - 2 wuca - 2 uvab = 0, e hipérbole si y sólo si u cos A + v cos B + w cos C = 0.

De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el baricentro del triángulo de mayor área coincide con el centro de la elipse [3] . Una elipse que pasa por tres vértices de un triángulo, con centro en el baricentro del triángulo, se llama elipse circunscrita de Steiner .

Secciones cónicas inscritas

Una sección cónica inscrita es una parábola si y sólo si

ubc + vca + wab = 0, y en este caso la sección cónica toca un lado del triángulo desde afuera, y toca la extensión de los otros dos lados.

Suponga que p 1 : q 1 : r 1 y p 2 : q 2 : r 2 son puntos distintos, y sea

X = ( pag 1 + pag 2 t ) : ( q 1 + q 2 t ) : ( r 1 + r 2 t ). Cuando el parámetro t pasa por todos los números reales , el lugar geométrico de los puntos X es una línea recta. definamos X 2 = ( pags 1 + pags 2 t ) 2 : ( q 1 + q 2 t ) 2 : ( r 1 + r 2 t ) 2 . El lugar geométrico de los puntos X 2 es una sección cónica inscrita, necesariamente una elipse , que viene dada por la ecuación L 4 x 2 + METRO 4 y 2 + norte 4 z 2 - 2 METRO 2 norte 2 yz - 2 norte 2 L 2 zx - 2 L 2 METRO 2 xy = 0 , dónde L = q 1 r 2 - r 1 q 2 , METRO = r 1 pags 2 - pags 1 r 2 , norte = pags 1 q 2 - q 1 pags 2 .

Un punto dentro de un triángulo es el centro de una elipse inscrita en el triángulo si y solo si el punto está dentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios del triángulo original [4] . Para un punto dentro del triángulo mediano, la elipse centrada en ese punto es única [5] .
La elipse inscrita con el área más grande es la elipse inscrita de Steiner , que también se llama elipse mediana inscrita. El centro de esta elipse coincide con el baricentro del triángulo [6] . En general, la relación del área de la elipse inscrita al área del triángulo en términos de las coordenadas baricéntricas del centro de la elipse es [7] . ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta, \ gamma)}$

{\frac {\text{Área de inelipse}}{\text{Área de triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta ) (1-2 \gamma )}},

y esta relación se maximiza al coincidir con las coordenadas baricéntricas del baricentro del triángulo

{\ estilo de visualización \ alfa = \ beta = \ gamma = 1/3.}

Las líneas que conectan los puntos de contacto de cualquier elipse inscrita en un triángulo con el vértice opuesto se cortan en un punto [8] .

Extensión a cuadriláteros

Todos los centros de las elipses inscritas en el cuadrilátero se encuentran en el segmento que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero [9] .

Ejemplos

Sección cónica circunscrita
- La circunferencia circunscrita , la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo
- Elipse circunscrita de Steiner , la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo, centrada en el baricentro del triángulo .
- La hipérbola de Cypert , la única cónica que pasa por los tres vértices del triángulo, su baricentro y su ortocentro
- La hipérbola de Erzhabek, una hipérbola cuyo centro coincide con el centro de un círculo de nueve puntos que pasa por tres vértices de un triángulo, el centro de su circunferencia circunscrita , un ortocentro y otros centros notables.
- La hipérbola de Feuerbach , que pasa por el ortocentro del triángulo, el punto de Nagel y otros puntos notables, está centrada en el círculo de nueve puntos.
Sección cónica inscrita
- Círculo inscrito , el único círculo tangente al interior de un lado de un triángulo.
- Elipse inscrita de Steiner , la única elipse tangente a tres lados de un triángulo en los puntos medios de los lados.
- Ellipse Mandara , la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos tangentes de los círculos circunscritos exteriores
- parábola de Kiepert
- Parábola de Ifa

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "Circumconic". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html Archivado el 13 de abril de 2017 en Wayback Machine .
↑ Weisstein, Eric W. "Inconic". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (enlace no disponible)
↑ Chakerian, 1979 , pág. 147.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 139.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 142.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 145.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 143.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 148.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 136.

Literatura

GD Chakerian. Una visión distorsionada de la geometría // Asociación Matemática de América / R. Honsberger. -Washington, DC, 1979.

Enlaces

Circumconic Archivado el 13 de abril de 2017 en Wayback Machine en MathWorld .
Inconic Archivado el 28 de agosto de 2017 en Wayback Machine en MathWorld .