Extensión de campo

La extensión de campo (el término supercampo se usa con menos frecuencia )  es un campo que contiene el campo dado como un subcampo. El estudio de las extensiones es una tarea importante en la teoría de campos , ya que cualquier homomorfismo de campos es una extensión.

Definiciones básicas

Si  es un campo , su subcampo  es su subconjunto cerrado bajo la suma y la multiplicación , tomando los elementos inversos y opuestos y conteniendo la unidad, sobre el cual se introducen las mismas operaciones que en el campo . En este caso, llamado extensión de campo , generalmente se denota la extensión dada (también se usa la notación y ). Cualquier homomorfismo de campo es inyectivo , es decir, es una incrustación . De esto se deduce que especificar una extensión particular es equivalente a especificar un homomorfismo .

Dada una extensión y un subconjunto del campo , entonces el subcampo más pequeño que contiene y se denota y se llama el campo generado por el conjunto sobre el campo . Las extensiones generadas por un solo elemento se llaman extensiones simples , y las extensiones generadas por un conjunto finito se llaman extensiones generadas finitamente . Un elemento que da lugar a una extensión simple se llama elemento primitivo .

Para cualquier extensión, es un espacio vectorial sobre un campo . En esta situación, los elementos pueden entenderse como "vectores" y los elementos  como "escalares", la multiplicación de un vector por un escalar viene dada por la operación de multiplicación en el campo . La dimensión de este espacio vectorial se denomina grado de extensión y se denota por . Una extensión de grado 1 se llama trivial , las extensiones de grado 2 y 3 se llaman cuadrática y cúbica , respectivamente. Una extensión de un grado finito se llama finito , de lo contrario se llama infinito.

Ejemplos

El campo de los números complejos es una extensión del campo de los números reales . Esta extensión es finita: , ya que es una base. A su vez, el campo de los números reales es una extensión del campo de los números racionales; el grado de esta expansión es igual a la potencia del continuo , por lo que esta expansión es infinita.

El conjunto es una extensión del campo , que obviamente es simple. Las extensiones finitas se denominan campos de números algebraicos y son un importante objeto de estudio en la teoría de números algebraicos .

El procedimiento usual para construir una extensión de un campo dado, que permita agregarle una raíz polinómica  , es tomar el anillo factorial del anillo polinomial por el ideal principal generado por . Por ejemplo, deje que el campo no contenga la raíz de la ecuación . Por lo tanto, el polinomio es irreducible en , por lo tanto, el ideal  es máximo y, por lo tanto, el anillo del cociente es un campo. Este campo contiene la raíz de la ecuación , la  imagen del polinomio en el mapeo de factorización. Repitiendo este procedimiento varias veces, puedes obtener el campo de descomposición de un polinomio dado, es decir, el campo en el que este polinomio se descompone en factores lineales.

Algebraicidad y trascendencia

Sea  una extensión del campo . Un elemento se llama algebraico sobre si es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en . Los elementos que no son algebraicos se llaman trascendentales . Por ejemplo, para una extensión, la unidad imaginaria es un número algebraico, ya que satisface la ecuación .

El caso especial de las extensiones es especialmente importante : los términos número algebraico y número trascendental (sin especificar el campo principal) se utilizan precisamente para el caso de una extensión dada.

Si cada elemento de una extensión es algebraico , se llama extensión algebraica . Las extensiones no algebraicas se llaman trascendentales.

Un subconjunto de un campo se llama algebraicamente independiente si no hay un polinomio distinto de cero (en un número finito de variables) con coeficientes tales que al sustituir un subconjunto finito de números en él se obtenga cero. La cardinalidad más grande de un conjunto algebraicamente independiente se llama el grado de trascendencia de una extensión dada. Para cualquier extensión, se puede encontrar un conjunto algebraicamente independiente tal que sea una extensión algebraica. El conjunto que satisface esta condición se denomina base de trascendencia de la extensión dada. Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión.

Una extensión simple es finita si es generada por un elemento algebraico. De lo contrario, los únicos elementos que son algebraicos  son los elementos mismos .

Extensiones Galois

Una extensión algebraica se llama normal si todo polinomio irreducible sobre , que tiene al menos una raíz en , se descompone en factores lineales.

Se dice que una extensión algebraica es separable si todos los elementos son separables, es decir, su polinomio mínimo no tiene raíces múltiples. En particular, el teorema del elemento primitivo establece que cualquier extensión separable finita tiene un elemento primitivo (es decir, es una extensión simple). Una extensión de Galois  es una extensión que es a la vez separable y normal.

Para cualquier extensión , se puede considerar el grupo de automorfismos del campo actuando idénticamente sobre el campo . Cuando una extensión es una extensión de Galois, este grupo se denomina grupo de Galois de la extensión dada.

Para una extensión , suele ser útil describir campos intermedios (es decir, subcampos que contienen ). El teorema fundamental de la teoría de Galois establece que existe una biyección entre el conjunto de campos intermedios y el conjunto de subgrupos del grupo de Galois que invierte el orden por inclusión.

Literatura