Teorema de Hilbert-Schmidt

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El teorema de Hilbert -Schmidt extiende a operadores simétricos completamente continuos en un espacio de Hilbert el conocido hecho de la reducción de la matriz de un operador autoadjunto en un espacio euclidiano de dimensión finita a una forma diagonal en alguna base ortonormal .

Enunciado del teorema

Para cualquier operador simétrico completamente continuo en un espacio de Hilbert , existe un sistema ortonormal de elementos propios correspondientes a los valores propios del operador tal que para cualquiera existe una representación $A$ $H$ $\{x_i\}$ $\{\lambda_n\}$ $A$ $x\en H$

x=\sum_k\xi_k x_k+x_0,\ x_0\in\operatorname{Ker}\,A,\ Ax=\sum_k\lambda_k \xi_k x_k,

además, la suma puede ser una serie finita o infinita, según el número de elementos propios del operador . Si hay un número infinito de ellos, entonces . $A$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$

El teorema de Hilbert-Schmidt para operadores integrales

El teorema de Hilbert-Schmidt se puede utilizar para resolver una ecuación integral no homogénea con un núcleo hermitiano continuo (y también débilmente polar) .

Para el operador integral , el teorema se reformula de la siguiente manera: si una función es representable en términos de fuente en términos de un núcleo continuo hermitiano (es decir , tal que ), entonces su serie de Fourier en términos de las funciones propias del núcleo converge absoluta y uniformemente en esta función: $(Kg)(x)=\int\limits_G\!K(x,y)g(y)\,dy$ $f(x)$ $K(x, y)$ $\existe g(x)\en L^2(G)$ $f(x)=(Kg)(x)$ $K(x, y)$ $GRAMO$

f(x)=\sum_{k=1}^\infty(f,\varphi_k)\varphi_k(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(g,\varphi_k)}{\lambda_k }\varphi_k(x),

donde y son las funciones propias del núcleo correspondientes a los valores propios . $\varphi_k$ $\lambda_k$

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 263-266. — 572 pág. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Véase también

Operador de Hilbert-Schmidt

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
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