Teorema de flecha

El teorema de Arrow (también conocido como la paradoja de Arrow o el teorema de la dictadura de Arrow ) es un teorema de "imposibilidad de la democracia" como una " de elección colectiva , también conocido como el "teorema de la inevitabilidad del dictador". Formulado por el economista estadounidense Kenneth Arrow en 1951 . [1] El significado de este teorema es que dentro del marco del enfoque ordinalista no existe un método para combinar las preferencias individuales por tres o más alternativas, lo que satisfaría algunas condiciones bastante justas y siempre daría un resultado lógicamente consistente.

El enfoque ordinalista se basa en el hecho de que las preferencias del individuo con respecto a las alternativas ofrecidas para elegir no se pueden medir cuantitativamente, sino cualitativamente, es decir, una alternativa es peor o mejor que otra.

En el marco del enfoque cardinal, que asume la mensurabilidad cuantitativa de las preferencias, el teorema de Arrow no funciona en el caso general. [2] [3]

Formulaciones

Redacción de 1951

Sean N ≥ 2 votantes votando por n ≥ 3 candidatos (en términos de teoría de decisión, los candidatos se llaman alternativas ). Cada votante tiene una lista ordenada de alternativas. El sistema de votación es una función que convierte un conjunto de N listas de este tipo ( perfil de votación ) en una lista ordenada común.

El sistema electoral puede tener las siguientes propiedades:

Versatilidad Para cualquier perfil de votación, hay un resultado: una lista ordenada de n alternativas. lo completo El sistema de votación puede producir todos los n ! permutaciones de alternativas. Monótono Si, en todas las N listas, alguna alternativa x permanece en su lugar o sube, y el orden de las demás no cambia, entonces en la lista general x debe permanecer en su lugar o subir. Ausencia de un dictador No hay votante cuya preferencia determinaría el resultado de la elección, independientemente de las preferencias de otros votantes. Independencia de alternativas externas Si se cambia el perfil de votación para que las alternativas x e y en todas las N listas permanezcan en el mismo orden, entonces su orden no cambiará en el resultado final.

Para N ≥ 2 y n ≥ 3, no existe un sistema de votación que cumpla las cinco condiciones.

Redacción de 1963

En la formulación de 1963, las condiciones de Arrow son las siguientes.

Versatilidad Ausencia de un dictador Independencia de alternativas externas Eficiencia de Pareto o principio de unanimidad si cada votante tiene una alternativa x en la lista superior a y , entonces lo mismo debe quedar en el resultado final.

Para N ≥ 2 y n ≥ 3, no existe un sistema de votación que satisfaga las cuatro condiciones.

Prueba

Introduzcamos la siguiente notación:

$O$ es un conjunto de resultados que cada agente clasifica según sus preferencias.
$L_i$ es el orden lineal de preferencias del enésimo agente sobre el conjunto dado por la relación . $i$ $O$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {i}}$
$[\succ ']$ — perfil de preferencia (una tupla cuyos elementos son las preferencias de todos los agentes).
$W:L^{N}\to L_{W}$ es una función de bienestar social.
${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ - preferencias colectivas.

Demos definiciones formales:

Pareto eficiente :Pareto eficiente si para cualquier resultado. $W$ $o_{1},o_{2}\in O,\forall i(o_{1}\succ_{i}o_{2})\Rightarrow (o_{1}\succ_{W}o_{ 2})$
Independencia de alternativas extrañas : independiente de alternativas extrañas si para cualquier resultado y para dos perfiles de preferencia cualesquiera y . $W$ $o_{1},o_{2}\en O$ $[\succ ']$ ${\textstyle [\succ '']\in L_{n},\forall i(o_{1}\succ '_{i}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{i}o_ {2})\Rightarrow (o_{1}\succ '_{W([\succ '])}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{W([\succ '']) }o_{2})}$
Ausencia de dictador : suponemos que no hay dictador porque si no lo hay tal que . $W$ $i$ $\forall o_{1},o_{2}\in O(o_{1}\succ_{i}o_{2}\Rightarrow o_{1}\succ_{W}o_{2})$
Teorema de Arrow : si , entonces cualquier función de bienestar social eficiente en el sentido de Pareto, independiente de alternativas externas, tiene un dictador. ${\ estilo de visualización | O | \ geq 3}$ $W$

Realizaremos la prueba en 4 etapas.

Nivel 1. Si cada agente coloca un resultado al principio o al final de su lista de preferencias (sin exigir que todos los agentes actúen de la misma manera), el resultado estará al principio o al final de la lista.

b

{\ estilo de visualización \ succ _ {W}}

b

Tomemos un perfil arbitrario tal que el resultado para todos los agentes esté en la parte superior o en la parte inferior de la lista de preferencias . Ahora supongamos que nuestra afirmación es falsa, es decir, existen tales que y . Entonces cambiemos el perfil para que para todos los agentes , sin cambiar la clasificación de los resultados restantes. Designemos el perfil recibido . Dado que, después de tal modificación, el resultado b para cada agente seguirá estando en la posición superior o inferior de la lista de sus preferencias, entonces, a partir de la independencia de W de alternativas extrañas, podemos concluir que en el nuevo perfil y . Por lo tanto, debido a la transitividad, obtenemos . Pero supusimos que para todos los agentes , entonces, debido a la eficiencia de Pareto, debería serlo . La contradicción resultante prueba la afirmación. ${\ estilo de visualización [\ éxito]}$ $i$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {i}}$ ${\ estilo de visualización a, c \ en O}$ $a\succ_{W}b$ $b\succ_{W}c$ ${\ estilo de visualización [\ éxito]}$ $c\succ_{i}a$ $[\succ ']$ $a\succ_{W}b$ $b\succ_{W}c$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $a\succ_{W}c$ $c\succ_{i}a$ $c\succ_{W}a$

Etapa 2. Para cada resultado , hay un agente que es central en el sentido de que, al cambiar su voto, puede mover el resultado de la posición más baja de la lista a la posición más alta de esa lista. En otras palabras, hay dos perfiles y , que se diferencian solo en las preferencias del agente , que está al final de la lista para y al principio de la lista para .

b

b

{\ estilo de visualización \ succ _ {W}}

[\succ^{1}]

[\succ^{2}]

i

b

[\succ_{W}^{1}]

{\ estilo de visualización [\ succ _ {W} ^ {2}]}

Considere cualquier perfil de preferencia en el que todos los agentes coloquen el resultado al final de su lista de preferencias . Está claro que el resultado también está en la posición más baja (debido a la eficiencia de Pareto). Deje que todos los agentes se turnen para reorganizar el resultado de la posición más baja a la más alta en sus listas de preferencias, sin cambiar la clasificación de los otros resultados. Cuando todos los agentes pongan un resultado primero en su lista de preferencias, será el primero para . Así que en algún momento cambiará. Sea un agente que, habiéndose reorganizado de esta manera , cambia (por primera vez). Denotemos - el perfil de preferencia justo antes de que se moviera , y - el perfil de preferencia inmediatamente después de que se moviera . Por lo tanto, en el resultado ha cambiado su posición en , mientras que para todos los agentes está en la posición superior o inferior de . Por lo tanto, en virtud de la afirmación probada en la Etapa 1, el resultado ocupa la posición más alta. $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {i}}$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $b$ $b$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $[\succ^{1}]$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $b$ $[\succ^{2}]$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $b$ $[\succ^{2}]$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {i}}$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $b$

Etapa 3.

{\ estilo de visualización n^{*}}

Es un dictador sobre todas las parejas que no incluyen .

{\ estilo de visualización <a, c>}

b

Elijamos cualquier elemento del par . Sin pérdida de generalidad, elegimos a. A continuación, construya a partir del perfil de la siguiente manera: en , mueva el resultado a a la primera posición, dejando el resto de la clasificación sin cambios; arbitrariamente para todos los demás agentes, intercambien entre sí y . Entonces, como en obtenemos eso (debido a la independencia de alternativas extrañas) y, como en obtenemos eso . entonces _ Ahora construyamos un perfil de preferencia de la siguiente manera: para todos los agentes, colocamos el resultado en una posición arbitraria en la lista de preferencias ; para el agente, colocamos el resultado en una posición arbitraria antes del resultado . Está claro que debido a la independencia de alternativas extrañas . Hemos obtenido que todos los agentes excepto tienen perfiles de preferencia completamente arbitrarios, y el resultado se basó únicamente en el supuesto de que . ${\ estilo de visualización <a, c>}$ $[\succ^{2}]$ $[\succ^{3}]$ $\succ_{n^{*}}$ $a$ $C$ $[\succ^{1}]$ $a\succ_{W}b$ $[\succ^{2}]$ $b\succ_{W}c$ $a\succ_{W}c$ $[\succ^{4}]$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {i}}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $a$ $C$ $a\succ_{W}c$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $a\succ_{W}c$ $a\succ_{n^{*}}c$

Etapa 4.

{\ estilo de visualización n^{*}}

- dictador sobre todas las parejas .

{\ estilo de visualización <a, b>}

Consideremos algún resultado. En virtud de la Etapa 2, existe algún agente central para este resultado, que también es un dictador para todos los pares , donde, en particular, . Si el agente fuera un dictador , ningún cambio en las preferencias del agente podría cambiar la clasificación en . Pero en la Etapa 2, el agente se movió del último lugar al primero en , y por lo tanto tuvo que intercambiar y . Por lo tanto, podemos concluir que coincide con , es decir , hay un dictador. ${\ estilo de visualización n^{**}}$ ${\ estilo de visualización <A, B>}$ ${\ estilo de visualización A = a, B = b}$ $n^{**}\neq n^{*}$ ${\ estilo de visualización <a, b>}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ $b$ ${\ estilo de visualización \ succ _ {W}}$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización n^{**}}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$ ${\ estilo de visualización n^{*}}$

La prueba está completa.

Consecuencia práctica

El teorema de Arrow se puede reformular ligeramente:

“En los sistemas electorales sin dictador, en los que se implementa el principio de unanimidad, no se puede cumplir el principio de independencia de alternativas ajenas”.

Esto significa que agregar candidatos adicionales a la votación puede afectar la clasificación final de los candidatos originales (principales). En la práctica, en dichos sistemas, la tecnología de manipulación electoral como "Agregar candidatos ficticios " puede funcionar. Un candidato ficticio es un candidato que no tiene como objetivo real ganar las elecciones, sino que juega un papel puramente técnico de debilitar a uno de los principales candidatos al "atraer" hacia sí a parte de su audiencia de apoyo.

Así, el teorema de Arrow establece que todos los sistemas electorales son vulnerables a esta técnica de manipulación, a excepción de aquellos en los que la decisión final la toma una sola persona.

Véase también

La paradoja de Condorcet es una paradoja de elecciones, generalizada por el teorema de Arrow.
Elección colectiva y valores individuales

Enlaces

Notas

↑ Kenneth J. Arrow , 1951, 2.ª ed., 1963. Elección social y valores individuales , Yale University Press. ISBN 0-300-01364-7
↑ Votación cardinal: la forma de escapar de la imposibilidad de elección social
↑ The Possibility of Social Choice, p.189 Archivado el 7 de enero de 2010 en Wayback Machine .

Paradojas de la teoría de la decisión
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