Espacio topológico

Un espacio topológico es un conjunto con una estructura adicional de cierto tipo (la llamada topología); es el principal objeto de estudio de la topología .

Históricamente, la noción de espacio topológico apareció como una generalización de un espacio métrico . Los espacios topológicos surgen naturalmente en casi todas las ramas de las matemáticas. Entre otras generalizaciones de ideas sobre un conjunto con una estructura espacial se encuentra un espacio pseudotopológico [1] .

Definición

Sea dado un conjunto . Un sistema de sus subconjuntos se denomina topología si se cumplen las siguientes condiciones: $X$ $\mathcal{T}$ $X$

La unión de una familia arbitraria de conjuntos pertenecientes a pertenece a ; es decir, para cualquier conjunto de indexación y familia , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
La intersección de una familia finita de conjuntos pertenecientes a pertenece a ; es decir, si , entonces . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnada\en \mathcal{T}$ .

El par se llama espacio topológico . Los conjuntos que pertenecen a se denominan conjuntos abiertos . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Los conjuntos que son complementos de los abiertos se llaman cerrados .

Cualquier conjunto abierto que contiene un punto dado se llama su vecindad .

Axiomas adicionales

Los tres axiomas que definen la clase general de espacios topológicos suelen complementarse con ciertos axiomas de separabilidad , según los cuales se distinguen diferentes clases de espacios topológicos, por ejemplo, espacios de Tikhonov, espacios de Hausdorff, espacios regulares, completamente regulares, normales, etc.

Además, las propiedades de los espacios topológicos se ven fuertemente afectadas por el cumplimiento de ciertos axiomas de contabilidad: el primer axioma de contabilidad , el segundo axioma de contabilidad (espacios con una base de topología contable), así como la separabilidad del espacio. De la presencia de una base contable de la topología se sigue la separabilidad y el cumplimiento del primer axioma de la contabilidad. Además, por ejemplo, los espacios regulares de base contable son normales y, además, metrizables, es decir, su topología puede estar dada por alguna métrica. Para espacios compactos de Hausdorff, la presencia de una base de topología numerable es una condición necesaria y suficiente para la metrizabilidad. Para espacios métricos, la presencia de una base topológica contable y la separabilidad son equivalentes.

Ejemplos

Un colon conectado es un espacio topológico de dos puntos.

Una línea real es un espacio topológico si, por ejemplo, las uniones arbitrarias (vacías, finitas o infinitas) de intervalos finitos o infinitos se denominan conjuntos abiertos. El conjunto de todos los intervalos abiertos finitos es la base de esta topología . Esta es la topología estándar en la línea. En general, se pueden introducir topologías muy diversas sobre el conjunto de los números reales, por ejemplo, una línea recta con una “topología de flecha”, donde los conjuntos abiertos parecen , o una topología de Zariski , en la que cualquier conjunto cerrado es un conjunto finito de puntos. $\matemáticas {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\a$ $(a,\infty)$

En general, los espacios euclidianos son espacios topológicos. Su topología estándar puede basarse en esferas abiertas o cubos abiertos. Generalizando aún más, cada espacio métrico es un espacio topológico cuya topología se basa en bolas abiertas . Tales, por ejemplo, son los espacios de funciones de dimensión infinita estudiados en el análisis funcional . $\mathbb{R} ^{n}$

El conjunto de aplicaciones continuas de un espacio topológico a un espacio topológico es un espacio topológico con respecto a la siguiente topología, que se denomina compacta abierta . La base previa está dada por conjuntos que consisten en mapeos bajo los cuales la imagen de un conjunto compacto en se encuentra en un conjunto abierto en . $C(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $C(K,\;U)$ $k$ $X$ $tu$ $Y$

Un conjunto arbitrario puede convertirse en un espacio topológico llamando abiertos a todos sus subconjuntos. Tal topología se llama discreta . En él, todos los conjuntos están abiertos. Otro caso límite es llamar abierto al mínimo número posible de subconjuntos , es decir, introducir una topología trivial : solo el conjunto vacío y el espacio mismo están abiertos en él . $X$ $X$ $X$

Formas de definir la topología

Especificando una topología usando una base o prebase

No siempre es conveniente enumerar todos los conjuntos abiertos. A menudo es más conveniente especificar un conjunto más pequeño de conjuntos abiertos que los genere a todos. Una formalización de esto es la noción de base topológica. Un subconjunto de topología se denomina base de topología si cualquier conjunto abierto se representa como una unión de conjuntos de , es decir, $\mathfrak{B} \subconjunto \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Una forma aún más económica de especificar una topología es especificar su prebase , un conjunto que se convierte en una base si se le agregan intersecciones finitas arbitrarias de sus elementos. Para que un sistema de conjuntos sea declarado prebase de la topología, es necesario y suficiente que abarque todo el conjunto . ${\mathfrak {P}}$ $X$

Las prebases se usan con mayor frecuencia para especificar la topología inducida en una familia de mapeos (ver más abajo). $X$

Topología inducida

Sea una aplicación arbitraria de un conjunto en un espacio topológico . La topología inducida proporciona una forma natural de introducir una topología en : los conjuntos abiertos en se toman como todas las imágenes inversas posibles de los conjuntos abiertos en ; es decir, abierto si hay un abierto tal que . La topología en , descrita anteriormente, es la topología mínima y única (por inclusión) en la que la asignación dada es continua. $f:X\a Y$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $U\en X$ $V\en Y$ $U=f^{-1}(V)$ $X$

Ejemplo. Sea el espacio topológico, su subconjunto. Si aplicamos la construcción descrita anteriormente a la incrustación de la teoría de conjuntos , entonces obtenemos una topología en un subconjunto, generalmente también llamada topología inducida. $X$ $A$ $i:A\a X$

Topología factorial

Sea un espacio topológico, definamos también alguna relación de equivalencia sobre él , en este caso hay una forma natural de definir la topología sobre el conjunto de factores . Declaramos abierto un subconjunto de factores si y solo si su preimagen bajo el mapeo de factorización está abierto en . Es fácil comprobar, en primer lugar, que esto sí define una topología, y en segundo lugar, que ésta es la máxima y única (por inclusión) topología en la que el mapa de factorización indicado es continuo. Tal topología generalmente se llama la topología del cociente en . $X$ $\sim$ $X/{\sim}$ $X$ $X/{\sim}$

Definición de topología con conjuntos cerrados

Un conjunto se dice cerrado si su complemento es un conjunto abierto. Definir una topología sobre un sistema de conjuntos cerrados significa presentar un sistema de subconjuntos con las siguientes propiedades: $F\subconjunto X$ $U = X \setminus F$ $X$ ${\ matemáticas {P}}$ $X$

El sistema es cerrado bajo la operación de intersección de conjuntos (incluyendo familias infinitas): ${\ matemáticas {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
El sistema es cerrado con respecto a la operación de unión de conjuntos (en una cantidad finita): ${\ matemáticas {P}}$ $F_1,\;F_2\en \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\en \mathcal{P}$
Los conjuntos están incluidos en el sistema . $X,\;\varnada$ ${\ matemáticas {P}}$

Si se da un sistema de conjuntos con tales propiedades, la operación de complemento se usa para construir un sistema de conjuntos abiertos que define la topología en . $\mathcal{T}$ $X$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\en \mathcal{P}\}.

En geometría algebraica , se aplica una topología en el espectro (un sistema de todos los ideales primos ) de un anillo conmutativo con unidad - . La topología on se introduce utilizando un sistema de conjuntos cerrados: sea un ideal arbitrario del anillo (no necesariamente simple), entonces corresponde al conjunto $B$ $X = \mathrm{Especificación}\, B$ $X$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subconjunto\mathfrak{p}\}.

Todos los conjuntos de este tipo forman un sistema de conjuntos que satisface los axiomas enumerados, ya que

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnada.

La topología de Zariski en el espacio también se especifica utilizando un sistema de conjuntos cerrados. Los conjuntos cerrados en la topología de Zariski son todos los conjuntos que son el conjunto de ceros comunes de un sistema finito de polinomios. El cumplimiento de los axiomas de un sistema de conjuntos cerrados se sigue del hecho de que el anillo de polinomios es noetheriano y del hecho de que los ceros comunes de un sistema arbitrario de polinomios coinciden con los ceros comunes del ideal que forman. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

El espacio está naturalmente incrustado en el espectro del anillo polinomial (coincide con el conjunto de todos sus puntos cerrados), y la topología de Zariski no coincide con la inducida por la topología del espacio . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Especificación}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $X$ $Y$

Visualizaciones continuas

El concepto de topología es el mínimo necesario para hablar de mapeos continuos . Intuitivamente, la continuidad es la ausencia de discontinuidades, es decir, los puntos cercanos en un mapeo continuo deben ir dentro de los cercanos. Resulta que para definir el concepto de proximidad de puntos, se puede prescindir del concepto de distancia. Esta es precisamente la definición topológica de un mapeo continuo.

Se dice que un mapa de espacios topológicos es continuo si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

La categoría de espacios topológicos contiene como objetos todos los espacios topológicos, mientras que los morfismos contienen mapeos continuos. Los intentos de clasificar objetos de esta categoría usando invariantes algebraicas están dedicados a una sección de la ciencia matemática llamada topología algebraica . La topología general se dedica al estudio de los conceptos de continuidad, así como otros conceptos como compacidad o separabilidad, como tales, sin recurrir a otras herramientas . Como estructuras adicionales sobre el objeto , puede haber, por ejemplo, un haz de conjuntos sobre o una línea afín sobre , es decir, . Denote la categoría de espacios de con una estructura adicional por . Functor olvidadizo - Paquetes cartesianos. Los objetos se denominan espacios con estructura. El objeto de capa de arriba se llama la estructura de arriba . $\mathrm{Arriba}$ $X\en \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} _ {X} \ a X}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $X\en \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\en \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Estructura funcional

Según Hochschild, una estructura funcional on es una aplicación que asigna a cada conjunto abierto una subálgebra del álgebra de funciones continuas de valores reales on . Este mapeo es un haz de álgebras, un subhaz de gérmenes de funciones continuas de valores reales en , que contiene un haz constante. Esto se deriva de las condiciones impuestas a : $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\subconjunto X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $tu$ $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$

si es una unión arbitraria de conjuntos abiertos, entonces el mapeo pertenece si la restricción en cada conjunto abierto pertenece a ; $U=\bigcup_{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $F$ ${\ Displaystyle U_ {\ alfa}}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ contiene todas las constantes de la función; $tu$
si , entonces la restricción de está contenida en . $V\subconjunto U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

Por ejemplo, una variedad con contorno es un espacio de Hausdorff paracompacto dotado de una estructura funcional , localmente isomorfa al espacio . El límite consta de aquellos puntos que se asignan a puntos del hiperplano, siendo una variedad de dimensiones uniformes con la estructura inducida. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty})$ $(n-1)$

Grupos homotópicos de esferas

Los grupos homotópicos de esferas son invariantes topológicos básicos, cuya comprensión conduce a una mejor comprensión de los espacios topológicos en general, así como a la presencia de una gran cantidad de patrones complejos en su estructura.

Véase también

Glosario de topología general

Notas

↑ Frölicher, 1970 , pág. 21

Literatura

Aleksandrov, PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Frölicher, A., Bucher W. Cálculo diferencial en espacios vectoriales sin norma. — M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Topología elemental.
Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : Fazis, 1997.