Topología Zariski

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La topología de Zariski , o topología de Zariski , es una topología especial que refleja la naturaleza algebraica de las variedades algebraicas . El nombre de Oskar Zariski , y desde la década de 1950 ha sido una figura importante en la geometría algebraica .

Clásica definición

En la geometría algebraica clásica (es decir, antes de la llamada "revolución de Grothendieck" que tuvo lugar a finales de los años 50 y 60), la topología se definía de la siguiente manera. Dado que el sujeto en sí tenía dos ramas que se ocupaban de variedades afines y proyectivas , respectivamente, la topología de Zariski se definió de manera algo diferente para cada tipo de variedad. Además, se supone que estamos trabajando en un campo fijo algebraicamente cerrado K , por el cual, en la geometría algebraica clásica, casi siempre se entienden los números complejos .

Variedades afines

La topología de Zariski sobre un espacio afín sobre un campo K es una estructura de topología cuyos subconjuntos cerrados son exactamente los conjuntos algebraicos del espacio dado. Los conjuntos algebraicos son conjuntos de la forma ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid \forall f\in S:\;f(x)=0\},

donde S es un conjunto arbitrario de polinomios en n variables sobre el campo K . Las siguientes identidades se verifican fácilmente:

$V(\varnada)=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnada ;$
${\ Displaystyle V (S) = V ((S))}$ , donde está el ideal en el anillo polinomial generado por los elementos $(S)$ ${\ estilo de visualización S;}$
Para cualesquiera dos ideales I y J ,

V(I)\taza V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Dado que el anillo polinomial sobre el campo es noetheriano , la intersección de una familia infinita de conjuntos de la forma será igual a la intersección de su subfamilia finita y tendrá la forma . Dado que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de conjuntos algebraicos, así como el conjunto vacío, son algebraicos, entonces los conjuntos algebraicos son conjuntos cerrados de alguna topología (equivalentemente, sus complementos, denotados por , son conjuntos de topología abiertos). $V(I)$ $V(I)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización D (S)}$

Si es un subconjunto algebraico afín de un espacio afín , entonces la topología de Zariski en él es la topología inducida . $METRO$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$

Variedades proyectivas

Los elementos de un espacio proyectivo son clases de equivalencia de elementos con respecto a la proporcionalidad con respecto a la multiplicación por un escalar de K . En consecuencia, los elementos del anillo del polinomio no son funciones sobre , ya que un punto tiene muchas representaciones equivalentes, que corresponden a diferentes valores del polinomio. Sin embargo, para polinomios homogéneos , la condición de igualdad a cero en un punto dado está bien definida, ya que la multiplicación por un escalar "barre" la aplicación del polinomio. Por lo tanto, si S es un conjunto de polinomios homogéneos, la definición tiene sentido ${\mathbb P}^{n}$ ${\matemáticas A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\puntos,x_{n}]$ ${\ matemáticas {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Se verifica de manera similar que esta familia de conjuntos es una familia de conjuntos cerrados de alguna topología, solo es necesario reemplazar la palabra "ideal" por " ideal homogéneo ". La topología en una subvariedad proyectiva arbitraria se define como la topología inducida.

Propiedades

Una propiedad útil de la topología de Zariski es la existencia de una base bastante simple para esta topología. Es decir, la base de la topología son conjuntos abiertos de la forma D ( f ), que son el complemento del conjunto de ceros del polinomio f (respectivamente, para variedades proyectivas, el polinomio homogéneo f ).

Cualquier variedad afín o proyectiva es compacta ; cualquier subconjunto abierto de una variedad también es compacto. Además, cualquier variedad algebraica es un espacio topológico noetheriano .

Por otro lado, una variedad algebraica no es un espacio de Hausdorff (si K no es un cuerpo finito ). Dado que cualquier punto de una variedad algebraica es cerrado, satisface el axioma de separación T 1 .

Definición moderna

Topología en el espectro de un anillo

La definición moderna se basa en el concepto del espectro de un anillo . Deje que se dé algún anillo conmutativo con identidad. El espectro de un anillo es el conjunto de todos sus ideales primos , y estos ideales mismos son los puntos del espectro. La topología de Zariski se presenta de la siguiente manera: los conjuntos cerrados del espectro son los conjuntos de todos los ideales simples que contienen algún conjunto o, lo que es lo mismo, el ideal generado por este conjunto : $A$ ${\mathrm {Especificación}}\,A$ $mi$ $yo$

{\displaystyle V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\))

Es fácil comprobar todos los axiomas. Por ejemplo, el hecho de que la unión de dos conjuntos cerrados siga de cerca la cadena de inclusiones obvias:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, por lo tanto .

V(a)\taza V(b)=V(a\cap b)

La topología de Zariski en el espectro está relacionada con la topología previamente introducida en un espacio afín de la siguiente manera. Definamos una aplicación que asocie un punto con un ideal maximal que consta de polinomios iguales a cero en este punto (es maximal, ya que el cociente que lo rodea es un campo K ). Es obvio que diferentes ideales corresponden a diferentes puntos. Además, el teorema de nulos de Hilbert establece que todos los ideales máximos de un anillo polinomial tienen esta forma, es decir, la aplicación es biyectiva . Además, este mapeo es un homeomorfismo sobre el subconjunto correspondiente a los ideales máximos (el conjunto de ideales máximos de un anillo con la topología de Zariski inducida se denomina espectro máximo y generalmente se denota por ). Basta probar que este mapeo induce una biyección entre subconjuntos cerrados y subconjuntos cerrados de , pero esto es casi obvio: los ideales maximales que contienen el ideal son exactamente los ceros comunes de todos los polinomios en . $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $pags$ ${\mathfrak{m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$ $\mathrm {Especificación} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $A$ $\mathrm {especificación} \,A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\in [1,\left\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Así , la innovación de Grothendieck fue considerar no sólo los ideales máximos de un anillo, sino todos los ideales primos. En el caso de un anillo polinomial sobre un campo algebraicamente cerrado, esto significa que se añade al espacio una cierta cantidad de " puntos comunes " (un punto por cada subvariedad afín irreducible ). En el caso general (es decir, al considerar todos los posibles anillos conmutativos), esto dota de propiedades funcionales : a cada homomorfismo de anillos le corresponde una aplicación continua . Para un espectro simple, la construcción de este homomorfismo es trivial: se toma la imagen inversa de un ideal simple, para el máximo esto no funciona, ya que la imagen inversa del ideal máximo no es necesariamente máxima. ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$ $\mathrm {Especificación}$ $De la A, a la B$ $\mathrm {Especificación} \,B\to \mathrm {Especificación} \,A$

Así como la construcción del espectro reemplazó la topología tradicional de Zariski sobre variedades afines, la construcción Proj en la geometría algebraica moderna reemplaza la consideración de topología sobre variedades proyectivas.

Ejemplos

El espectro del campo k es un espacio topológico con un elemento.
El espectro contiene un punto para cada número primo , así como un "punto común" (un punto cuyo cierre coincide con todo el espacio) correspondiente al ideal nulo. Los conjuntos cerrados en la topología de Zariski en este espectro son subconjuntos finitos del conjunto de números primos, así como el espectro completo. $\matemáticas {Z}$
El espectro de un anillo polinomial sobre un campo K algebraicamente cerrado es una línea afín sobre el campo K. De hecho, K [ x ] es un dominio de ideales principales , por lo que los ideales primos en él corresponden a polinomios irreducibles , y dado que K es un campo algebraicamente cerrado, todos los polinomios irreducibles tienen la forma ; el espectro también contiene un "punto común" correspondiente al ideal cero. En la topología de Zariski sobre K [ x ], los conjuntos cerrados son conjuntos finitos (que no contienen un punto común), así como el espacio completo. ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {1}}$ $xa$
Si K no es algebraicamente cerrado, la situación se vuelve más complicada. Por ejemplo, el espectro contiene puntos de la forma , puntos tales que y un punto común. Si asociamos cada polinomio de este tipo con sus raíces complejas, el espectro se puede representar como un semiplano superior (números complejos con una parte imaginaria no negativa). ${\matemáticas R}[x]$ $(xa)$ ${\ estilo de visualización (x^{2}+bx+c)}$ ${\ estilo de visualización b^{2}-4c<0}$ ${\matemáticas R}[x]$
Un subconjunto cerrado del espectro es el espectro de otro anillo. Esto se demuestra mediante la construcción del anillo del cociente: los ideales primos se corresponden uno a uno con los ideales primos al contener el ideal . Por ejemplo, el espectro de un anillo consta de los puntos (2) y (5). $AI$ $A$ $yo$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} /10 \ mathbb {Z}}$

Propiedades de la topología de Zariski en el espectro

La diferencia más importante entre la topología de un espectro y la topología de Zariski de una variedad es que no todos los puntos están cerrados en la nueva topología. Así llamado. "puntos generales" cuyo cierre es estrictamente mayor que ellos mismos (además, existe una correspondencia uno a uno entre los componentes irreductibles del espacio y los puntos "generales" cuyos cierres son estos componentes). Los puntos correspondientes a los ideales máximos del anillo permanecen cerrados. Por lo tanto, la topología en el espectro ya no satisface el axioma T 1 , pero aún satisface el axioma T 0 . En efecto, de dos ideales primos , al menos uno no contiene al otro, por ejemplo . Entonces contiene , pero, por supuesto, no contiene (recordemos que es un conjunto abierto formado por ideales que no contienen el ideal ). $\mathfrak p$ ${\mathfrak{q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)))$ ${\mathfrak{q}}$ $\mathfrak p$ $D({\mathfrak {p)))$ $\mathfrak p$

Como en la geometría algebraica clásica, el espectro es un espacio compacto. Este hecho no concuerda bien con nuestra intuición: no esperamos que todo un espacio afín (como el espacio euclidiano ) sea compacto. Grothendieck también introdujo la noción de topología etale , que es mucho más abstracta, pero las propiedades de esta topología recuerdan más a las propiedades de la topología estándar en el espacio euclidiano.

Véase también

espectro del anillo

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. — M .: Mir, 1972.
Mumford , Libro rojo de variedades y esquemas - M .: MTsNMO, 2007.
Shafarevich I. R. Fundamentos de geometría algebraica. — M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Geometría algebraica. — M .: Mir, 1981.