Puntos de Apolonio

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Los puntos de Apolonio (a veces centros isodinámicos [1] ) son dos de esos puntos, cuya distancia a los vértices del triángulo es inversamente proporcional a los lados opuestos a estos vértices.

Propiedades

• Los puntos de Apolonio son los centros de inversión que transforman el triángulo dado en un triángulo equilátero.
• Los círculos construidos como un diámetro sobre un segmento que conecta las bases de las bisectrices interior y exterior , liberados desde un ángulo, pasan por los puntos de Apolonio .
• Los puntos de Apolonio se encuentran en la línea que une el centro del círculo circunscrito con el punto de Lemoine . Esta línea se llama eje de Brocard .
• Los triángulos subdérmicos de los puntos de Apolonio son regulares (a veces se toma esta propiedad como definición).
• La última propiedad se puede formular de otra manera: las tres proyecciones ortogonales de los puntos de Apolonio sobre los lados de un triángulo dado son los vértices de un triángulo regular .
• Los puntos de Apolonio son conjugados isogonalmente a los puntos de Torricelli .
• Construyamos dos rectas, cada una de las cuales pase por el punto de Apolonio y el punto de Torricelli , distintas de su isogonal conjugada. Tales líneas se cortarán en el punto de intersección de las medianas (en el centroide del triángulo ).

• Sea ABC un triángulo en el plano. El círculo que pasa por el baricentro y dos puntos de Apolonio del triángulo ABC se llama círculo de Parry del triángulo ABC (rojo en la figura de la derecha). También pasa por el punto de Parry (el punto rojo en el anillo negro).
• Considere tres esferas que tocan el plano en puntos y entre sí externamente. Si los radios de estas esferas son iguales , entonces etc. Por lo tanto, dos esferas que tocan los tres datos y el plano tocarán el plano en los puntos de Apolonio .
• El cubo de Neuberg  es el conjunto de puntos tal que  es la recta de Euler (su punto en el infinito es fijo). Hay más de 15 puntos notables en este cubo, en particular, los puntos Torricelli, Apollonius , el ortocentro, el centro del círculo circunscrito, los vértices de triángulos regulares construidos en los lados (externa o internamente), puntos simétricos a los vértices con respecto a los lados, dos puntos de Fermat , dos puntos isodinámicos , el punto infinito de Euler, así como los centros de las inscritas y excircunferencias que yacen en todos los cubos. En la lista , el cubo triangular plano de Berhart Gibert del cubo de Neuberg aparece como K001 [2] .

Véase también

• Apolonio de Perge
• geometría triangular
• Puntos notables del triángulo.
• El problema de Apolonio
• Centros isodinámicos = Punto isodinámico  (inglés)
• Circunferencia de Apolonio
• Círculo de parada
• Teorema de Apolonio
• Puntos de Torricelli
• Granja de puntos
• Triángulo
• Segmentos y círculos asociados a un triángulo
• Punto de Apolonio

Notas

1. ↑ Katarzyna Wilczek. El centro armónico de un trilátero y el punto de Apolonio de un triángulo  //  Journal of Mathematics and Applications: journal. - 2010. - Vol. 32 . - P. 95-101 .
2. ↑ K001 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // [1] Archivado el 20 de agosto de 2009 en Wayback Machine .

Enlaces

• Moon, Tarik Adnan (2010), The Apollonian circles and isodynamic points , Mathematical Reflections (no. 6) , < http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf > Archivado el 20 de abril 2013 en la Wayback Machine .