Ecuación de Poisson

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial elíptica que describe

campo electrostático ,
campo de temperatura estacionario,
campo de presión,
campo de potencial de velocidad en hidrodinámica.

Lleva el nombre del físico y matemático francés Siméon Denis Poisson .

Esta ecuación se parece a:

\Delta \varphi =f,

donde es el operador de Laplace , o Laplaciano , y es una función real o compleja sobre alguna variedad . $\Delta$ $F$

En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional , la ecuación toma la forma:

\left({\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

En el sistema de coordenadas cartesianas, el operador de Laplace se escribe de la forma y la ecuación de Poisson toma la forma: $\ nabla ^ {2}$

{\nabla}^{2}\varphi =f.

Si tiende a cero, entonces la ecuación de Poisson se convierte en la ecuación de Laplace (la ecuación de Laplace es un caso especial de la ecuación de Poisson): $F$

\Delta\varphi=0.

La ecuación de Poisson se puede resolver utilizando la función de Green ; ver por ejemplo el artículo proyectado Ecuación de Poisson . Existen varios métodos para obtener soluciones numéricas. Por ejemplo, se utiliza un algoritmo iterativo: el "método de relajación".

Electrostática

La ecuación de Poisson es una de las ecuaciones más importantes de la electrostática . Encontrar lo dado es un problema práctico importante, ya que esta es la forma habitual de encontrar el potencial electrostático para una distribución de carga dada . En unidades del SI : ${\ estilo de visualización \ Phi (r)}$ $F$

{\ nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0)),

donde es el potencial electrostático (en voltios ), es la densidad de carga volumétrica (en culombios por metro cúbico) y es la permitividad del vacío (en faradios por metro). ${\ estilo de visualización \ phi}$ $\rho$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {0}}$

Se deriva de la ley de Gauss ( y la definición del potencial estático ( ) [1] : $\mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0)))$ $\mathbf {E} =-\nabla \phi$

{\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\ nabla^{2}\phi.

En unidades CGS :

{\nabla }^{2}\phi =-{4\pi\rho }.

En una región del espacio donde no hay densidad de carga desapareada:

{\ estilo de visualización \ rho = 0,}

y la ecuación para el potencial se convierte en la ecuación de Laplace :

{\nabla}^{2}\fi =0.

Potencial de una carga puntual

Potencial generado por una carga puntual

\Phi _{q}={1 \sobre 4\pi \varepsilon _{0}}{q \sobre r}

- es decir, el potencial de Coulomb - es de hecho (y estrictamente hablando en ) la función de Green $q=1$

\Phi _{1}(x,y,z)={1 \sobre 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \sobre r}

para la ecuación de Poisson,

es decir, la solución de la ecuación

\Delta \Phi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,

donde es la notación para la función delta de Dirac , y el producto de tres funciones delta es una función delta tridimensional, y $\delta(x)$ $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

En este sentido, es claro que la solución de la ecuación de Poisson con un lado derecho arbitrario se puede escribir como

\Phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d \eta d\zeta=

=\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y- \eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .

Aquí nos referimos al caso más simple “sin condiciones de contorno”, cuando se supone que en el infinito la solución debería tender a cero. Consideración de un caso más general de condiciones de contorno arbitrarias y, en general, una presentación más detallada, consulte el artículo Función de Green .
El significado físico de la última fórmula es la aplicación del principio de superposición (que es posible ya que la ecuación de Poisson es lineal) y encontrar el potencial como la suma de los potenciales de las cargas puntuales . $\rho dV$

Potencial de densidad de carga volumétrica gaussiana

Si tenemos una densidad volumétrica esféricamente simétrica de la distribución de carga gaussiana : $\rho (r)$

\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{{-r^{2}/(2\ sigma^{2})}},

donde es la carga total, entonces la solución de la ecuación de Poisson: $q$ ${\ estilo de visualización \ Phi (r)}$

{\ nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \varepsilon _{0))

dado:

\Phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r {{\sqrt {2}}\sigma }}\derecho),

donde está la función de error . Esta solución se puede verificar directamente por cálculo . Tenga en cuenta que para muchos más grandes que , se aproxima a la unidad, y el potencial se aproxima al potencial de una carga puntual , como cabría esperar. $\mathrm {erf} (x)$ ${\nabla}^{2}\Phi$ $r$ $\sigma$ $\mathrm {erf} (x)$ ${\ estilo de visualización \ Phi (r)}$ ${1 \sobre 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \sobre r}$

Véase también

Ecuación de Poisson discreta
Ecuación de Poisson apantallada

Notas

↑ A. M. Makarov, L. A. Luneva. Fundamentos del electromagnetismo : Volumen 3 del curso del sistema educativo abierto "Física en la Universidad Técnica": [ arq. 30 de julio de 2020 ]. - MSTU im. NE Bauman, 2002.

Enlaces

Ecuación de Poisson en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
LC Evans, Ecuaciones diferenciales parciales , Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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