Ecuación de difusión

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La ecuación de difusión es una forma particular de una ecuación diferencial parcial . Es no estacionario y estacionario.

En el sentido de la interpretación, al resolver la ecuación de difusión, estamos hablando de encontrar la dependencia de la concentración de una sustancia (u otros objetos) con las coordenadas espaciales y el tiempo, y se da un coeficiente (en el caso general, también dependiendo de coordenadas espaciales y tiempo), caracterizando la permeabilidad del medio para la difusión. Al resolver la ecuación del calor, estamos hablando de encontrar la dependencia de la temperatura del medio con las coordenadas espaciales y el tiempo, y se dan la capacidad calorífica y la conductividad térmica del medio (también generalmente no homogéneo).

Físicamente, en ambos casos, se supone la ausencia o el descuido de los flujos macroscópicos de materia. Este es el marco físico para la aplicabilidad de estas ecuaciones. Además, al representar el límite continuo de estos problemas (es decir, no más que alguna aproximación), las ecuaciones de difusión y conducción de calor generalmente no describen fluctuaciones estadísticas y procesos que están cerca en escala a la longitud y el camino libre medio, y también se desvían mucho. fuertemente de la supuesta solución exacta del problema en lo que se refiere a correlaciones a distancias comparables (y grandes) con las distancias recorridas por el sonido (o por partículas libres de resistencia media a sus velocidades características) en un medio dado durante el tiempo considerado.

En la gran mayoría de los casos, esto significa inmediatamente que las ecuaciones de difusión y conducción de calor están lejos de aquellas áreas donde los efectos cuánticos o la finitud de la velocidad de la luz se vuelven significativas, es decir, en la gran mayoría de los casos, no solo en su conclusión, pero también en principio, limitada al ámbito de la física newtoniana clásica.

En problemas de difusión o conducción de calor en fluidos y gases en movimiento, en lugar de la ecuación de difusión , se utiliza la ecuación de transferencia , que expande la ecuación de difusión para el caso en que es inaceptable despreciar el movimiento macroscópico.

El análogo formal más cercano, y en muchos sentidos significativo, de la ecuación de difusión es la ecuación de Schrödinger , que difiere de la ecuación de difusión por un factor unitario imaginario frente a la derivada del tiempo. Muchos teoremas sobre la solución de la ecuación de Schrödinger e incluso algunos tipos de escritura formal de sus soluciones son directamente análogos a los teoremas correspondientes sobre la ecuación de difusión y sus soluciones, pero cualitativamente sus soluciones difieren mucho.

Vista general

La ecuación generalmente se escribe así:

$\frac{\parcial\varphi(\mathbf{r},t)}{\parcial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{ r},t) \grande],$

donde φ( r , t ) es la densidad de la sustancia que se difunde en el punto r y en el tiempo t y D (φ, r ) es el coeficiente de difusión generalizado para la densidad φ en el punto r ; ∇ es el operador nabla . Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, la ecuación es no lineal, de lo contrario, es lineal.

Si D es un operador definido positivo simétrico , la ecuación describe la difusión anisotrópica:

${\frac {\parcial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\parcial t))=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{ 3}{\frac {\parcial }{\parcial x_{i))}\left[D_{ij}(\varphi ,\mathbf {r} ){\frac {\parcial \varphi (\mathbf {r} , t)}{\parcial x_{j))}\derecha].$

Si D es constante, entonces la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal:

{\frac {\parcial \phi ({\mathbf {r)),t)}{\parcial t))=D\nabla ^{2}\phi ({\mathbf {r)),t),

también llamada ecuación del calor .

Historia de origen

La ecuación diferencial parcial fue desarrollada originalmente por Adolf Fick en 1855. [una]

Ecuación no estacionaria

La ecuación de difusión no estacionaria se clasifica como una ecuación diferencial parabólica . Describe la propagación de un soluto debido a la difusión o la redistribución de la temperatura corporal como resultado de la conducción de calor .

Caso unidimensional

En el caso de un proceso de difusión unidimensional con un coeficiente de difusión (conductividad térmica), la ecuación tiene la forma: $D$

{\frac {\parcial }{\parcial t}}c(x,\;t)={\frac {\parcial }{\parcial x}}D{\frac {\parcial }{\parcial x}}{ c(x,\;t)}+f(x,\;t).

Cuando es constante , toma la forma: $D$

{\frac {\parcial }{\parcial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}{c(x,\ ;t)}+f(x,\;t),

donde es la concentración de la sustancia que se difunde, a es una función que describe las fuentes de la sustancia (calor). $c(x,\;t)$ $f(x,\;t)$

Caso 3D

En el caso tridimensional, la ecuación toma la forma:

{\frac {\parcial }{\parcial t))c({\vec {r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r)),\;t ))+f({\vec{r)),\;t),

donde es el operador nabla y es el producto escalar. También se puede escribir como $\nabla =(\parcial _{x},\;\parcial _{y},\;\parcial _{z})$ $(\;,\;)$

\parcial _{t}c={\mathbf {div}}\,(D\,{\mathbf {grado}}\,c)+f,

y a constante toma la forma: $D$

{\frac {\parcial }{\parcial t}}c({\vec {r)),\;t)=D\Delta c({\vec {r)),\;t)+f({\ vec{r}},\;t),

donde es el operador de Laplace . $\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial y^{2 ))}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial z^{2}}}$

caso n -dimensional

$norte$ caso -dimensional - una generalización directa de lo anterior, solo el operador nabla, gradiente y divergencia, así como el operador de Laplace deben entenderse como versiones -dimensionales de los operadores correspondientes: $norte$

\nabla =(\parcial _{1},\;\parcial _{2},\;\ldots,\;\parcial _{n}),

\Delta =\nabla ^{2}=\parcial _{1}^{2}+\parcial _{2}^{2}+\ldots +\parcial _{n}^{2}.

Esto también se aplica al caso bidimensional . $n=2$

Motivación

Por lo general, la ecuación de difusión surge de una ecuación empírica (o obtenida de alguna manera teórica), que afirma la proporcionalidad del flujo de materia (o energía térmica) a la diferencia de concentraciones (temperaturas) de áreas separadas por una capa delgada de materia de un permeabilidad dada, caracterizada por un coeficiente de difusión (o conductividad térmica):

\Phi=-\varkappa\frac{\c parcial}{\x parcial}

(caso unidimensional),

\mathbf j=-\varkappa\nabla c

(para cualquier dimensión),

combinado con la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la materia (o energía):

{\frac {\parcial c}{\parcial t))+{\frac {\parcial \Phi }{\parcial x))=0

(caso unidimensional),

{\frac {\c parcial}{\t parcial))+{\mathrm {div))\,{\mathbf j}=0

(para cualquier dimensión),

teniendo en cuenta la capacidad calorífica en el caso de la ecuación del calor (temperatura = densidad de energía / capacidad calorífica específica).

Aquí, se omite la fuente de materia (energía) en el lado derecho, pero, por supuesto, se puede colocar fácilmente allí si hay una entrada (salida) de materia (energía) en el problema.
También se supone que ninguna fuerza externa, incluida la gravedad (impureza pasiva), actúa sobre el flujo de una sustancia en difusión (impureza).

Además, surge naturalmente como un límite continuo de una ecuación en diferencias similar, que a su vez surge al considerar el problema de una caminata aleatoria en una red discreta (unidimensional o -dimensional). (Este es el modelo más simple; en modelos de caminata aleatoria más complejos, la ecuación de difusión también surge en el límite continuo). La interpretación más simple de la función en este caso es el número (o concentración) de partículas en un punto dado (o cerca de él), y cada partícula se mueve independientemente de las demás sin memoria (inercia) de su pasado (de un modo algo más complicado). caso, con una memoria limitada en el tiempo). $norte$ $C$

Solución

En el caso unidimensional, la solución fundamental de una ecuación homogénea con una constante - independiente de y - (bajo la condición inicial expresada por la función delta y la condición de contorno ) es $X$ $t$ $D$ $c_{f}(x,\;0)=\delta(x)$ $c_{f}(\infty,\;t)=0$

c_{f}(x,\;t)={\sqrt {{\frac {1}{4\pi Dt))))\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt} }\Correcto).

En este caso, se puede interpretar como la densidad de probabilidad de que una partícula, que estaba en el punto inicial en el tiempo en el punto de partida, después de un tiempo se mueva al punto con la coordenada . Lo mismo, hasta un factor igual al número de partículas que se difunden, se aplica a su concentración, siempre que la interacción de las partículas que se difunden entre sí esté ausente o se desprecie. Entonces (bajo tales condiciones iniciales) el cuadrado promedio de la remoción de partículas en difusión (o la característica correspondiente de la distribución de temperatura) desde el punto inicial $c_{f}(x,\;t)$ $t$ $X$

\langle x^{2}\rangle =\int \limits_{{-\infty}}^{{+\infty}}x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx= 2Dt.

En el caso de una distribución inicial arbitraria, la solución general de la ecuación de difusión se representa en forma integral como una convolución : $c(x,\;0)$

c(x,\;t)=\int \limits_{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0)c_{f}(xx',\;t) \,dx'=\int \limits_{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0){\frac {1}{{\sqrt {4\pi Dt} }}}\exp \left(-{\frac {(xx')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.

Observaciones físicas

Dado que la aproximación implementada por las ecuaciones de difusión y conducción de calor se limita fundamentalmente a la región de bajas velocidades y escalas macroscópicas (ver arriba), no sorprende que su solución fundamental no se comporte de manera muy realista a grandes distancias, permitiendo formalmente una propagación infinita. de la acción en el espacio durante un tiempo finito; cabe señalar que la magnitud de este efecto disminuye tan rápidamente con la distancia que este efecto es generalmente inobservable en principio (por ejemplo, estamos hablando de concentraciones mucho menores que la unidad).

Sin embargo, si estamos hablando de situaciones en las que concentraciones tan pequeñas pueden medirse experimentalmente, y esto es esencial para nosotros, necesitamos usar al menos no un diferencial, sino una ecuación de difusión en diferencia, y modelos microscópicos físicos y estadísticos mejores y más detallados. para obtener una representación más adecuada de la realidad en estos casos.

Ecuación estacionaria

En el caso de que el problema se plantee para encontrar una distribución constante de densidad o temperatura (por ejemplo, en el caso de que la distribución de las fuentes no dependa del tiempo), los términos de la ecuación relacionados con el tiempo se descartan del no. -ecuación estacionaria. Luego se obtiene una ecuación de conducción de calor estacionaria , que pertenece a la clase de ecuaciones elípticas . Su aspecto general:

-(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r))))=f({\vec {r)))).

Cuando , no depende de , la ecuación de difusión estacionaria se convierte en la ecuación de Poisson (no homogénea), o en la ecuación de Laplace (homogénea, es decir, para ): $D$ ${\ vec {r))$ $f=0$

\Delta c({\vec {r)))=-{\frac {f({\vec {r)))}{D)),

\Delta c({\vec{r)))=0.

Enunciado de problemas de valores en la frontera

Problema con condiciones iniciales ( problema de Cauchy ) sobre distribución de temperatura en una recta infinita

Si consideramos el proceso de conducción de calor en una barra muy larga, durante un corto período de tiempo la influencia de las temperaturas en los límites prácticamente no existe, y la temperatura en la sección en consideración depende solo de la distribución de temperatura inicial.

Encuentre una solución de la ecuación del calor en la región y , que satisfaga la condición , donde es una función dada. $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$ $u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty <x<+\infty)$ $\varfi(x)$

El primer problema de valores en la frontera para una barra semi-infinita

Si la sección de la barra que nos interesa está ubicada cerca de un extremo y está significativamente alejada del otro, entonces llegamos a un problema de valor límite, que tiene en cuenta la influencia de solo una de las condiciones límite.

Encuentre una solución de la ecuación del calor en la región y , satisfaciendo las condiciones $-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$ $t\geqslant t_{0}$

\left\{{\begin{matriz}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0<x<\infty)\\u(0,\;t )=\mu (t),\quad (t\geqslant t_{0})\end{matriz}}\right.

donde y son funciones dadas. $\varfi(x)$ $\mu (t)$

Problema de valores en la frontera sin condiciones iniciales

Si el momento de tiempo que nos interesa está lo suficientemente lejos del inicial, entonces tiene sentido ignorar las condiciones iniciales, ya que su influencia en el proceso se debilita con el tiempo. Por tanto, llegamos a un problema en el que las condiciones de contorno están dadas y no existen las iniciales.

Encuentre una solución de la ecuación del calor en la región y , satisfaciendo las condiciones $0\leqslant x\leqslant l$ $-\infty<t$

\left\{{\begin{matriz}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}( t),\end{matriz}}\right.

donde y son funciones dadas. $\mu _{1}(t)$ $\mu _{2}(t)$

Problemas de valores en la frontera para una barra limitada

Considere el siguiente problema de valores en la frontera:

u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T

es la ecuación del calor.

Si , entonces tal ecuación se llama homogénea , de lo contrario , no homogénea . $f(x,\;t)=0$

u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l

es la condición inicial en el momento del tiempo , la temperatura en el punto viene dada por la función .

t=0

X

\varfi(x)

\left.{\begin{matriz}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t ),\end{matriz}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T

- condiciones de borde. Las funciones y establecen el valor de la temperatura en los puntos límite 0 y en cualquier momento .

\mu _{1}(t)

\mu _{2}(t)

yo

t

Dependiendo del tipo de condiciones de contorno, los problemas para la ecuación del calor se pueden dividir en tres tipos. Considere el caso general ( ). $\alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)$

{\begin{matriz}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t ),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{ formación}}

Si , entonces dicha condición se denomina condición de primera clase , si - de segunda clase , y si y son distintos de cero, entonces condición de tercera clase . A partir de aquí obtenemos problemas para la ecuación del calor: los problemas de contorno primero, segundo y tercero. $\alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ $\alpha_i$ $\beta _{i}$

El principio máximo

Sea una función en el espacio , satisfaga la ecuación de calor homogénea y sea una región acotada. El principio del máximo establece que una función puede tomar valores extremos ya sea en el tiempo inicial o en el límite de la región . $u(x,\;t)$ $D\veces [0,\;T],\;D\en \mathbb{R} ^{n}$ ${\frac {\u parcial}{\t parcial}}-a^{2}\Delta u=0$ $D$ $u(x,\;t)$ $D$

Notas

↑ Fick A. , Ueber Diffusion, Pogg. Ana. física Chem. - 1855. - 170 (4. Reihe 94).- pp. 59-86.

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
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