Ecuación parabólica

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Las ecuaciones parabólicas son una clase de ecuaciones diferenciales parciales . Uno de los tipos de ecuaciones que describen procesos no estacionarios .

Definición

Considere la forma general de una ecuación diferencial parcial escalar de segundo orden con respecto a la función : $u:R^{n}\flecha derecha R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x_ {i}\parcial x_{j}}}+\sum_{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\parcial u}{\parcial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

En este caso, la ecuación se escribe en forma simétrica, es decir: . Entonces la ecuación equivalente en forma de forma cuadrática : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots,x_{n})

donde _ La matriz se llama matriz de coeficientes principales . Si la firma de la forma resultante es , es decir, la matriz tiene un valor propio igual a cero y los valores propios tienen el mismo signo, entonces la ecuación se denomina de tipo parabólico [1] . Otra definición equivalente: una ecuación se llama parabólica si se puede representar como: $A=A^{T}$
$A$
$(n-1.0)$ $A$ $n-1$

Lu+a{\frac {\u parcial}{\t parcial}}=f(x_{1},\ldots,x_{{n-1}},t)

donde: es un operador elíptico , . $L$ $un \ neq 0$

Resolución de ecuaciones parabólicas

Para encontrar una solución única, la ecuación se considera junto con las condiciones iniciales y de contorno . Como la ecuación es de primer orden en el tiempo, la condición inicial la impone uno: sobre la función buscada.

Para encontrar soluciones a las ecuaciones parabólicas, incluidas las ecuaciones parabólicas abstractas, se pueden utilizar los métodos de la teoría de semigrupos de operadores .
Para la solución analítica de ecuaciones parabólicas en una región infinita ( el problema de Cauchy para una ecuación parabólica), se utiliza una fórmula integral especial [2] .
Para la solución analítica de ecuaciones parabólicas en una región finita se puede aplicar el método de separación de variables de Fourier .
Para la solución numérica de ecuaciones parabólicas se utiliza el método de los elementos finitos , el método de las diferencias finitas , el método de los volúmenes finitos , así como sus combinaciones y otros métodos numéricos adecuados al problema a resolver.

El principio máximo

Para una ecuación parabólica de la forma:

-a^{2}\Delta u+\parcial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{{n-1}})\en \Omega

La solución toma su valor máximo en o en el límite de la región . $u(x_{1},\ldots,x_{{n-1}},t)$ $t=0$ $\Omega$

Ejemplos de ecuaciones parabólicas

Ecuaciones que describen los procesos de convección y difusión , incluida la ecuación de difusión y su caso especial: la ecuación del calor .
El sistema de ecuaciones de Navier-Stokes que describe el movimiento de líquidos y gases es un sistema de ecuaciones parabólicas con restricciones divergentes.
Para algunos tipos de medios, es posible obtener ecuaciones parabólicas con respecto a vectores oa partir de las ecuaciones de Maxwell . [3] $\matemáticas {A}$ $\mathbf {E}$

Véase también

Notas

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Ecuaciones de Física Matemática (5ª ed.) - Moscú: Nauka, 1977.
↑ L.K. Martinson , Yu.I. Malov. Ecuaciones Diferenciales de Física Matemática. - Moscú: MSTU lleva el nombre de N.E. Bauman, 2002. - 368 págs. — ISBN 5-7038-1270-4 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak ME , Persova M.G. Método de elementos finitos para problemas escalares y vectoriales. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
Mecánica cuántica	Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon
Modelos Generales	Ecuación de continuidad ecuación de onda Ecuación de Fokker-Planck Ecuación de Poisson

Métodos de solución

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala método multired
Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

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