Enteros gaussianos

Los enteros gaussianos ( números gaussianos , números enteros complejos ) son números complejos , en los que tanto la parte real como la imaginaria son números enteros [1] .

Ejemplos: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Introducido por primera vez por Gauss en la monografía "La teoría de los residuos bicuadráticos" (1828-1832) [2] [3] . El conjunto de enteros gaussianos se suele denotar , reflejando así el hecho de que se obtiene del conjunto de enteros añadiéndole una unidad imaginaria y combinándola con enteros. Las propiedades de los números gaussianos son similares a las propiedades de los números enteros ordinarios, pero existen diferencias significativas. ${\matemáticas{Z}}[i],$ $\matemáticas {Z}$ $i$

Propiedades generales

Definición y clasificación

Definicion formal:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

El conjunto contiene el conjunto de los enteros ordinarios y es su extensión [4] . La suma, la diferencia y el producto de números gaussianos son números gaussianos; para ellos, así como para los números enteros, se conservan las propiedades de asociatividad , conmutatividad y distributividad ; tal estructura algebraica se denomina anillo conmutativo en álgebra general [5] . Es imposible introducir un orden consistente con el orden de los números reales en este anillo complejo . ${\matemáticas{Z}}[i]$ $\matemáticas {Z}$

El conjugado de un número gaussiano también es un número gaussiano . $a+bi$ $a-bi$

Todo número gaussiano satisface la ecuación cuadrática: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Por lo tanto, un número gaussiano es un número entero algebraico .

Norma

La norma para un número gaussiano se define como el cuadrado de su módulo [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Propiedades de la norma [7] :

La norma es cero solo para cero. De lo contrario, la norma es un entero positivo.
Las normas de los números conjugados son las mismas.
La norma de un entero ordinario es igual a su cuadrado.
Si la norma es impar, entonces tiene la forma , es decir, cuando se divide por 4, el resto es 1. Ningún número gaussiano puede tener una norma de la forma . $4n+1$ ${\ estilo de visualización 4n+3}$

La norma, como el módulo, tiene una importante propiedad multiplicativa [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

De aquí se sigue [8] que los elementos invertibles del anillo ( divisores de la unidad ) son aquellos elementos cuya norma es igual a 1, es decir, . $\{1;-1;i;-i\}$

Dos números gaussianos se llaman asociados si uno se obtiene del otro multiplicando por un divisor de la unidad. Es fácil ver que la asociación es una relación de equivalencia [8] . Ejemplo: Los números gaussianos y están asociados porque: $1+i$ $1-yo$

1+i=i(1-i)

Cada número gaussiano distinto de cero tiene tres asociados. Las normas de los cuatro números asociados son las mismas.

Teoría de la divisibilidad

División integral

La división entera de números gaussianos se define de la forma habitual [7] :

Se dice que un número gaussiano es divisible (entero) por un número gaussiano si existe un tercer número gaussiano tal que . Designación: . $tu$ $v$ $q$ $u=vq$ ${\ estilo de visualización v \ mid u}$

Pronunciación: una de tres opciones equivalentes.

$tu$ se divide por ; $v$
$v$ divide ; $tu$
$v$ - divisor . $tu$

Se utilizan términos tradicionales: divisible o múltiplo ( ), divisor ( ) y cociente ( ). El número de divisores de números gaussianos siempre es finito, el número de múltiplos es infinito. $tu$ $v$ $q$

Ejemplo: el número 2 es divisible por , porque . $1+i$ ${\ estilo de visualización 2 = (1 + i) (1-i)}$

Todos los números gaussianos son divisibles por divisores de unidades, por lo que cualquier número gaussiano que no sean divisores de unidades tiene al menos 8 divisores: 4 divisores de unidades y 4 de sus productos por el propio número. Estos divisores se llaman triviales [9] .

La división integral en sus propiedades es similar a la división análoga de números enteros. Algunas características específicas de los números gaussianos [8] [7] : ${\matemáticas{Z}}[i]$

Si un número gaussiano es divisible por un entero ordinario, entonces tanto la parte real como la imaginaria son divisibles por ese entero . $z$ $z$
Si y , entonces estos números están asociados. $u\mid v$ ${\ estilo de visualización v \ mid u}$
Si , entonces cualquiera de los 3 números asociados con es divisible por cualquiera de los 3 números asociados con . $u\mid v$ $v$ $tu$
Si es divisible por , entonces el conjugado del dividendo es divisible por el conjugado del divisor . $tu$ $v\;(u=vq)$ $\overline u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
Todos los divisores de un número gaussiano también son divisores de su norma . $z$ $N(z)=z\cdot {\overline {z))$
La norma de un número gaussiano es par si y solo si este número es divisible por . $1+i$
Si , entonces la norma del dividendo, en virtud de la multiplicatividad, es divisible por la norma del divisor. Donde: ${\ estilo de visualización v \ mid u}$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Representación geométrica de la divisibilidad

Cada número gaussiano tiene 4 múltiplos con la misma norma (y, en consecuencia, el mismo módulo): este es él mismo y los 3 números asociados a él, que se obtienen mediante la multiplicación sucesiva por : $z$ $z$ $z$ $i$

z;\iz;\-z;\-iz

Pero la multiplicación significa en el plano complejo la rotación del radio vector del número en 90 ° en sentido antihorario, y el módulo del resultado será el mismo. Por lo tanto, los 4 números forman una cruz equilátera (resaltada en rojo en la figura), cuyo centro y vértices son múltiplos de . Desplazando secuencialmente esta cruz en todas las direcciones por uno de los 4 valores asociados con , obtenemos una red cuadrada en todo el plano, cuyos nodos (los vértices de los cuadrados) son múltiplos de . Por el contrario, cualquier múltiplo coincide con uno de los nodos de la red. El ancho de cada cuadrado de la cuadrícula es . Además, por razones de brevedad, esta retícula se denominará “retícula de múltiplos” (o, si se requiere aclaración, “ -retícula de múltiplos ”). $i$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Ejemplo: en la figura, uno de los nodos de la red es un número que es múltiplo de : ${\ estilo de visualización 4-2i}$ $1+2i$

{\ estilo de visualización 4-2i = -2i (1 + 2i)}

Números gaussianos simples

Un número gaussiano primo es un número distinto de cero que no tiene más divisores que los triviales. Un número que no es primo se llama compuesto . Al mismo tiempo, los divisores de la unidad, al igual que la unidad natural, no se consideran números primos ni compuestos [10] .

Algunas propiedades de los números gaussianos simples:

Si es un número gaussiano primo, entonces sus números gaussianos opuestos y conjugados también son primos. $a+bi$ $-a-bi$ $a-bi$
Si un número primo gaussiano es divisor de un producto de números gaussianos, entonces es divisor de al menos uno de los factores.
La norma de cualquier número gaussiano simple, excepto los asociados con , es siempre impar y por lo tanto tiene la forma . $1+i$ $4n+1$

Un primo natural puede no ser un primo gaussiano. Por ejemplo, los números 2 y 5 ya no son primos: ${\matemáticas{Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

Para una factorización de números gaussianos con una norma entre 2 y 100 en factores gaussianos simples, consulte la tabla Factorización de números gaussianos .

Números coprimos

Si un número gaussiano es divisor de dos números gaussianos y , se llama su divisor común. El conjunto de divisores comunes de dos números siempre contiene 4 divisores de uno; si no hay otros divisores comunes, estos números se llaman coprimos [11] . $w$ $tu$ $v$

Tenga en cuenta que si las normas de los números gaussianos son coprimos como números enteros, entonces los números mismos son coprimos como números gaussianos. Lo contrario no es cierto: las normas de los números gaussianos coprimos pueden tener divisores comunes, por ejemplo, y son coprimos, pero sus normas son las mismas y, por lo tanto, no son coprimos. $tú, v$ $tú, v$ $5+2i$ $5-2i$

Señalemos dos propiedades análogas a las propiedades de los números enteros.

Si cada uno de dos números gaussianos es coprimo con un número gaussiano , entonces su producto también es coprimo [11] con . $tú, v$ $w,$ $ultravioleta$ $w$
Si y al mismo tiempo es coprimo con , entonces [12] . $z|uv$ $z$ $tu$ ${\ estilo de visualización z|v}$

Criterio gaussiano

Gauss señaló las características definitorias de un número primo en [13] . ${\matemáticas{Z}}[i]$

Un número gaussiano es primo si y solo si: $a+bi$

cualquiera de los números es cero y el otro es un número entero primo de la forma ; $a, b$ $\pm (4n+3)$
o ambos no son cero y la norma es un número natural simple. $a, b$ $a^{2}+b^{2}$

Ejemplos de números gaussianos simples:

a la primera parte del criterio: ; ${\ estilo de visualización \ pm 3; \ \ pm 7; \ \ pm 3i}$
a la segunda parte del criterio: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

Para mayor claridad, algunas fuentes dividen la segunda parte del criterio en dos [14] :

Números asociados a . Su norma es 2. $1+i$
Números cuya norma es un número natural simple de la forma . $4n+1$

Gauss mismo no hizo tal división [15] .

Consecuencias:

Ningún número natural primo de la forma puede ser un número gaussiano primo. Los números naturales simples de la forma también son números gaussianos simples. $4n+1$ $4n+3$
La norma de un número gaussiano simple es un número natural simple o el cuadrado de un número natural simple [16] .
Un número natural simple de la forma puede representarse como un producto de números gaussianos simples conjugados o, lo que es lo mismo, como una suma de cuadrados . Este hecho se conoce como el teorema de Fermat-Euler . Fue en el estudio de este tema, así como de la teoría de los residuos bicuadráticos, que Gauss aplicó con éxito los números enteros complejos. Por el contrario, si un número natural primo se puede representar como una suma de cuadrados naturales, entonces es compuesto y se descompone en dos primos gaussianos conjugados [17] . $4n+1$ $(a+bi)(a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\matemáticas{Z}}[i]$
Todo número primo gaussiano es divisor de uno y sólo un número natural primo [17] . Esto significa que al descomponer los números primos naturales en factores gaussianos, se obtienen todos los números primos gaussianos.

Factorización prima

En hay un análogo del teorema principal de la aritmética : cada número gaussiano que no es cero o un divisor de la unidad se descompone en factores primos, y esta descomposición es única hasta el orden y asociación de factores [1] [18] . ${\matemáticas{Z}}[i]$

Ejemplo: . Los factores de estas dos expansiones, aparentemente diferentes, están asociados por pares: de modo que no se viola la unicidad. ${\ estilo de visualización 5 = (1 + 2i) (1-2i) = (2-i) (2 + i)}$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

Para factorizar prácticamente un número gaussiano en factores primos, puede usar la propiedad anterior: todos los divisores de un número gaussiano también son divisores de su norma. Además, la norma también contiene factores primos "extra" correspondientes al conjugado del número. $z$ $z$

Por lo tanto, se debe comenzar con la descomposición de la norma de un número en factores naturales simples [19] . $z$

El factor 2, si está presente en la descomposición de la norma, se descompone como . Es necesario incluir en la descomposición resultante aquellos de estos factores (en el grado adecuado) por los que se divide completamente. $(1+i)(1-i)$ $z$
Salvo 2, el resto de los factores de la norma son impares. El factor de vista es un número gaussiano simple, por lo que divide no solo la norma , sino también a sí mismo . Pero entonces este factor también divide el número conjugado . De esto se sigue que el factor de la forma siempre entra en la expansión de la norma en un grado uniforme, y en la expansión de sí misma , en un grado la mitad de grande. $4n+3$ $N(z)=~z\sobrelínea {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
El multiplicador de la forma se puede descomponer en el producto de números primos gaussianos conjugados (o, lo que es lo mismo, en la suma de los cuadrados de los números naturales). Y aquí es necesario averiguar por división cuál de los factores se refiere al número original y cuál al conjugado. $4n+1$

Por ejemplo, para la descomposición en factores primos (la norma es 225), se distinguen los factores naturales simples: . Según el anterior . Solo es divisible por y no divisible por . El cociente de iguales es por tanto el resultado final: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ ${\ estilo de visualización 5 = (2-i) (2 + i)}$ $9+12i$ ${\ estilo de visualización 2+i}$ ${\ estilo de visualización 2-i}$ $9+12i$ ${\ estilo de visualización 3 (2 + i)}$ ${\ estilo de visualización 2 + i,}$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Teoría de la comparación

Comparaciones gaussianas

El concepto de comparación de módulos se define de la misma manera que se hace para los números enteros [20] : ${\matemáticas{Z}}[i]$

Sea un número gaussiano. Se dice que dos números gaussianos son módulos comparables si la diferencia es divisible (entero) por . Grabación: . $w$ $tú, v$ $w$ $ultravioleta$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Las propiedades de las comparaciones en son básicamente las mismas que las de los números enteros. La relación de comparabilidad es una relación de equivalencia , por lo tanto, se divide en clases de residuos que no se cruzan : cada clase contiene todos los números gaussianos comparables entre sí (por un módulo dado). Para las clases, como en el caso de los números enteros, se pueden definir sumas y multiplicaciones, de modo que se obtenga un anillo de residuos módulo gaussiano. ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\matemáticas{Z}}[i]$

Ejemplo. Tomemos como módulo de comparación . Luego se divide en dos clases de residuos: los números con la misma paridad caerán en una clase (que contiene múltiplos para el módulo) y los números con diferente paridad caerán en otra. $1+i$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ $a+bi$ $a, b$ $a, b$

La comparación gaussiana tiene algunas peculiaridades. Por ejemplo, si para los números enteros módulo 3 hay 3 clases de residuos con representantes, entonces para los números gaussianos módulo 3 el número de clases es mucho mayor. Sus representantes: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

Como descubrió Gauss, el anillo de residuos de módulo contiene elementos [20] . Este hecho nos obliga a modificar algunos teoremas clásicos. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat para los números enteros establece que es divisible por cualquier número primo y natural . Para números gaussianos, esto no es cierto, incluso si se limita a valores naturales ; por ejemplo, para números enteros siempre es divisible por 3, pero para números gaussianos , este valor tampoco es divisible por 3. Un análogo modificado del pequeño teorema de Fermat se formula de la siguiente manera [20] : $a+bi$ $N(a+bi)=a^{2}+b^{2}$ $(a^{p}-a)$ $pags$ $pags$ $a$ $pags$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

Para un número gaussiano primo y cualquier número gaussiano es divisible por . $w=a+bi$ $tu$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

En el mismo ejemplo con el resultado: - es divisible por 3. ${\ estilo de visualización w = 3; u = i}$ ${\ estilo de visualización (i ^ {9}-i) = 0}$

Llamemos a la clase de residuos de módulo que contiene un número reversible si la comparación tiene una solución con respecto a . La clase es invertible si y sólo si los números gaussianos y son primos relativos [20] . En particular, si el módulo de congruencias es un primo gaussiano, entonces cada clase de residuo distinta de cero tiene un elemento inverso, lo que significa que las clases de residuos módulo a primo tanto en como en forman un campo . $w,$ $tu,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $X$ $tu$ $w$ $w$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\ matemáticas {Z}),$

Función de Euler para números gaussianos

Introduzcamos un análogo de la función de Euler para números gaussianos. La definición de números enteros no es adecuada, aunque solo sea porque la expresión "desde hasta " que contiene no tiene sentido para los números complejos. Nueva definición [20] : $una$ $norte$

La función de Euler para un número gaussiano se define como el número de clases de residuos reversibles módulo . $\varfi (z)$ $z$ $z$

La función así definida, al igual que su prototipo para los enteros, es multiplicativa , por lo que basta conocer sus valores para los números primos y sus potencias naturales. Si es un número gaussiano primo, entonces [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Ejemplo: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Ahora podemos generalizar el pequeño teorema de Fermat dado en la sección anterior al caso de un módulo comparador arbitrario (no necesariamente simple), es decir, podemos dar un análogo del teorema de Euler [20] :

Si un número gaussiano es coprimo con módulo , entonces: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

Representación geométrica de la comparación de módulos

Consideremos la comparación de módulos como un ejemplo . Como se indicó en la sección sobre la representación geométrica de la divisibilidad, es posible dividir el plano complejo en cuadrados para que los nodos de esta red (los vértices de los cuadrados) representen todos los posibles múltiplos complejos de . Entonces, por definición, los números son módulo comparable si su diferencia coincide con uno de los nodos de la red de múltiplos. ${\ estilo de visualización w = 1 + 2i}$ $1+2i$ $w$

Cada cuadrado de la red se obtiene de cualquier otro cuadrado por un desplazamiento (transferencia) por un múltiplo, por lo tanto, la diferencia de cualquier punto del cuadrado y el resultado de su desplazamiento también es un múltiplo de . De aquí se sigue la conclusión final [20] : $w,$ $w$

Los números gaussianos son comparables en módulo si y solo si ocupan la misma posición relativa en sus cuadrados de la red de múltiplos. $w$

Por ejemplo, todos los centros de los cuadrados son comparables, o todos los puntos medios de sus respectivos lados, etc.

División con resto

Definición

En un anillo , se puede definir la división con un resto (por cualquier número gaussiano distinto de cero) requiriendo que la norma del resto sea menor que la norma del divisor [21] : ${\matemáticas{Z}}[i]$

Cualquier número gaussiano se puede dividir con un resto por cualquier número gaussiano distinto de cero , es decir, representado como: $tu$ $v$

u=vq+r

donde el cociente y el resto son números gaussianos, y . $q$ $r$ ${\ estilo de visualización N (r) <N (v)}$

Es fácil demostrar que como cociente de división con resto, se puede tomar un número gaussiano más cercano al cociente de división ordinaria de números complejos [22] .

Cabe señalar que la condición “la norma del resto es menor que la norma del divisor” no es suficiente para garantizar la unicidad del resto de la división, por lo tanto, el resto es ambiguo. Por ejemplo, se puede dividir en tres formas: ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\ estilo de visualización 7+2i}$ ${\ estilo de visualización 3-i}$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Solo se puede garantizar que todos los residuos caigan en la misma clase de residuos módulo el divisor. Sin embargo, también ocurre una situación similar para los enteros ordinarios; por ejemplo, hay dos formas de dividir con un resto de 8 entre 3: o (ambos restos son módulo menor que el divisor), por lo tanto, se introduce una condición adicional en la aritmética de enteros. para asegurar la unicidad de la operación: el resto debe ser no negativo. $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

ejemplo _ Para la división con un resto de en , el cociente de la división compleja habitual se encuentra primero: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\aproximadamente 3{,}17+1{,}7i

El número gaussiano más cercano al resultado es entonces el resto es . Finalmente: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

Para los números gaussianos, se cumple un análogo del teorema del resto chino , ya que se demuestra utilizando el algoritmo de Euclides .

Representación geométrica

De la definición de división con resto se sigue que , es decir, el módulo del resto es la distancia entre los números complejos y . En otras palabras, hay una distancia desde el dividendo hasta uno de los nodos : la red de múltiplos. El requisito "la norma del resto es menor que la norma del divisor" es equivalente a la condición . De esto se sigue: $tu$ $v$ $|r|=|u-vq|$ $tu$ ${\ estilo de visualización vq}$ $|r|$ $v$ $|r|<|v|$

La división con resto de tiene tantas soluciones como número de nodos de la red de múltiplos es menor que del dividendo . $tu$ $v$ $v$ $|v|$

En la división por ejemplo anterior, los múltiplos del divisor más cercano al dividendo son los vértices del cuadrado de celosía que contiene el dividendo: ${\ estilo de visualización 7+2i}$ ${\ estilo de visualización 3-i}$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Todos ellos son del dividendo a una distancia inferior a . El cuarto vértice del cuadrado es mayor que . Por tanto, este problema de división con resto tiene tres soluciones. ${\ estilo de visualización | v | = {\ sqrt {10}}}$ ${\ estilo de visualización 5+5i}$ ${\ sqrt {10}}$

En el caso general, partiendo de los vértices de un cuadrado -celosía de múltiples arcos de radio , obtenemos la figura que se muestra en la figura. Si el dividendo está en la región central (zona roja), es menor al 100% en todos los vértices, y la división con resto se puede hacer de cuatro maneras. Si el dividendo está en uno de los "pétalos" (zona azul), entonces uno de los vértices desaparece y el número de soluciones es tres. Para la zona blanca, obtenemos dos soluciones. Finalmente, si el dividendo coincide con uno de los vértices, entonces el resto es cero y la solución es única. $v$ $|v|,$ $|v|,$

Máximo común divisor

El anillo de los números gaussianos es euclidiano , y siempre es posible determinar en él el máximo común divisor , que está determinado de forma única hasta divisores de la unidad [23] .

El máximo común divisor del mcd para números gaussianos y , al menos uno de los cuales es distinto de cero, es su divisor común, que es divisible por cualquier otro divisor común y . $(u,v)$ $tu$ $v$ $tu$ $v$

Definición equivalente: MCD es el divisor común para el cual la norma es máxima [24] . $(u,v)$ $tú, v$

Propiedades de GCD

Si se conoce algún mcd, entonces cualquiera de los tres números asociados con él también será un mcd. En particular. si uno de los MCD es un divisor de unidades, también lo serán los otros tres MCD.
Los números gaussianos son coprimos si y solo si su mcd es un divisor de unidades.
Hay un análogo de la relación de Bezout [25] :

Sean números gaussianos, y al menos uno de ellos no es cero. Entonces hay números gaussianos tales que se cumple la siguiente relación: $tú, v$ $x, y$

MCD

(u,v)=xu+yv

En otras palabras, el máximo común divisor de dos números gaussianos siempre se puede representar como una combinación lineal de esos números con coeficientes gaussianos.

Consecuencia de la relación de Bezout [25] : si los números gaussianos son coprimos, entonces la ecuación con respecto a tiene solución en . En lugar de 1 en la ecuación anterior, cualquier otro divisor de la unidad puede mantenerse, mientras que el teorema seguirá siendo cierto. $tú, v$ $xu+yv=1$ $x, y$ ${\matemáticas{Z}}[i]$

El algoritmo de Euclides y el cálculo práctico de mcd

Para determinar el mcd en él es conveniente utilizar el algoritmo de Euclides , que es bastante similar al que se utiliza para los números enteros. GCD se obtiene en este esquema como el último residuo distinto de cero [26] . El algoritmo de Euclides también se puede utilizar para encontrar los coeficientes en la relación de Bézout [20] . ${\matemáticas{Z}}[i]$ $x, y$

Ejemplo 1. Encuentra el MCD para y . $32+9i$ ${\ estilo de visualización 4+11i}$

Paso 1: (dividido con el resto del primer número por el segundo)

32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i

Paso 2: (dividido con el resto del divisor anterior por el resto del paso anterior)

4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i

Paso 3: (misma acción)

2-5i=(3-i)(1-i)-i

Paso 4: (misma acción, división completada por completo)

3-i=(-i)(1+3i)

Tenga en cuenta que la norma del resto disminuye monótonamente en cada paso. El último resto distinto de cero es , que es un divisor de la unidad, por lo que concluimos que los números en estudio son coprimos. $-i$

Ejemplo 2. Encuentra el MCD para y . $11+3i$ ${\ estilo de visualización 1+8i}$

Paso 1:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

Paso 2:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

Paso 3: (división completa)

2-4i=(-1+2i)(-2)

El último residuo distinto de cero es , y este es el GCD requerido. Sustituyendo secuencialmente las partes derechas de las igualdades en lugar de las partes izquierdas (comenzando desde la penúltima igualdad, de abajo hacia arriba), obtenemos la relación de Bezout para MCD: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Algunas aplicaciones

Gauss usó la estructura algebraica que había descubierto para estudiar en profundidad los residuos bicuadráticos. Es posible señalar otras áreas de aplicación exitosa de los números gaussianos [27] . Es de destacar que una parte importante de ellos se refiere a la teoría de los números no complejos, sino naturales.

Descomposición de números naturales en sumas de dos cuadrados

Del criterio de Gauss se sigue que un número natural primo de la forma se puede representar como la suma de los cuadrados de dos números naturales, y de forma única. Ejemplo: . $4n+1$ ${\ estilo de visualización 29 = (2 + 5i) (2-5i) = 2 ^ {2} + 5 ^ {2}}$

La descomposición de números naturales de otro tipo no siempre es posible; por ejemplo, otros números del mismo tipo no pueden representarse como la suma de los cuadrados de dos números naturales. Los números compuestos también pueden tener más de una expansión, por ejemplo [27] : . Teorema general: un número natural puede representarse como una suma de dos cuadrados si y sólo si en su desarrollo canónico todos los factores primos de la forma están en potencias pares [17] . $15;19;27;103$ $4n+3$ ${\ estilo de visualización 65 = 4 ^ {2} + 7 ^ {2} = 1 ^ {2} + 8 ^ {2}}$ $4n+3$

Ejemplo: no se puede representar como una suma de cuadrados, porque el número 3 (como el 7) está incluido en ella con un grado impar. Pero te puedes imaginar : $21=3\cdot 7$ ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2))$ ${\ estilo de visualización 245 = 7 ^ {2} + 14 ^ {2}}$

Contando el número de representaciones como una suma de dos cuadrados

El número de representaciones de un número natural como suma de cuadrados (o, lo que es lo mismo, el número de números gaussianos con la norma ) se puede determinar de la siguiente manera [28] . Descomponemos en factores naturales simples: $\rho (m)$ $metro$ $metro$ $metro$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda_{1))}p_{2}^({\lambda_{2))}\dots p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\puntos q_{s}^{{\mu _{s} }}

Aquí hay factores de la forma a son factores de la forma . Entonces son posibles 3 casos. $Pi}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Si al menos un exponente es impar, el número no se puede representar como una suma de cuadrados. $\mu _{j}$ $metro$
Que todo sea parejo. La fórmula final depende de la paridad . Si todos ellos también son pares, entonces la fórmula tiene la forma: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ una]

Si no todos son pares, entonces la fórmula es ligeramente diferente: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

La teoría de las ternas pitagóricas

La terna de Pitágoras es una de las soluciones enteras de la ecuación:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

La solución general de la ecuación depende de dos parámetros enteros : $Minnesota$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

Para generar ternas pitagóricas, puedes usar esta técnica. Sea un número gaussiano arbitrario para el cual ambos componentes son distintos de cero. Al elevar al cuadrado este número, se obtiene algún otro número gaussiano . Entonces la terna será pitagórica [27] . $z=a+bi$ $a, b$ ${\ estilo de visualización c + di}$ ${\ estilo de visualización \ {| c |;| d |; N (z) \))$

Ejemplo: para el número original se obtiene una terna pitagórica . ${\ estilo de visualización z = 17 + 12i}$ ${\ estilo de visualización (145; 408; 433)}$

Solución de ecuaciones diofánticas

La solución de muchas ecuaciones diofánticas se puede encontrar si usamos el aparato de números gaussianos. Por ejemplo, para una ecuación, las transformaciones simples dan dos tipos de soluciones enteras coprimas [29] , dependiendo de los parámetros enteros : ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}=2z^{2))$ $a, b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

En 1850, Victor Lebesgue, utilizando números gaussianos, investigó la ecuación y demostró su irresolubilidad en números naturales. En otras palabras, entre los números naturales de la forma no hay un solo cubo completo o cualquier otro grado mayor que el segundo [27] . ${\ estilo de visualización x^{2}+1=y^{n))$ $n^{2}+1$

Cuestiones no resueltas

Encuentra el número de números gaussianos cuya norma es menor que una constante natural dada . En una formulación equivalente, este tema se conoce como el " problema del círculo de Gauss " en la geometría de los números [30] [31] . $R$
Encuentre líneas en el plano complejo que contengan infinitos números primos gaussianos. Dos de esas líneas son obvias: estos son los ejes de coordenadas; se desconoce si existen otros [32] .
La pregunta conocida como la " zanja gaussiana ": ¿es posible ir al infinito pasando de un simple número gaussiano a otro en saltos de una longitud predeterminada? El problema fue planteado en 1962 y aún no ha sido resuelto [33] .

Variaciones y generalizaciones

Otro anillo euclidiano históricamente importante, similar en propiedades a los números enteros, fueron los " enteros de Eisenstein ".

Los números racionales gaussianos denotados por son números complejos de la forma , donde son números racionales . Este conjunto está cerrado bajo las 4 operaciones aritméticas, incluida la división, y por lo tanto es un campo que extiende el anillo de números gaussianos. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a, b$

Historia

En la década de 1820, Carl Friedrich Gauss investigó la ley de reciprocidad bicuadrática , lo que resultó en la monografía La teoría de los residuos bicuadráticos (1828-1832). Fue en este trabajo donde los enteros complejos demostraron su utilidad para resolver problemas de teoría de números , aunque la formulación de estos problemas no tiene nada que ver con los números complejos. Gauss escribió que "la fuente natural de una teoría general se encuentra en la extensión del campo de la aritmética" [3] .

En el libro de Gauss, se demostró que las propiedades de los nuevos números recuerdan en muchos aspectos a los números enteros ordinarios. El autor describió los cuatro divisores de la unidad , definió la relación de asociación, el concepto de número primo, dio un criterio de simplicidad y demostró análogos del teorema fundamental de la aritmética , el pequeño teorema de Fermat . Gauss continuó discutiendo en detalle los residuos de módulos complejos, los índices y las raíces primitivas . El principal logro de la teoría construida fue la ley de reciprocidad bicuadrática, que Gauss prometió probar en el próximo volumen; este volumen nunca se publicó, pero se encontró un esquema detallado de una prueba rigurosa en los manuscritos de Gauss [3] .

Gauss usó los números introducidos por él también en sus otros trabajos, por ejemplo, sobre ecuaciones algebraicas [34] . Las ideas de Gauss se desarrollaron en los escritos de Carl Gustav Jacob Jacobi y Ferdinand Gotthold Eisenstein . A mediados del siglo XIX, Eisenstein, Dirichlet y Hermite introdujeron y estudiaron el concepto generalizado de número entero algebraico .

El anillo de enteros gaussianos fue uno de los primeros ejemplos de una estructura algebraica con propiedades inusuales. Con el tiempo se fueron descubriendo una gran cantidad de estructuras de este tipo, ya finales del siglo XIX apareció el álgebra abstracta , que estudia las propiedades algebraicas por separado de los objetos que portan dichas propiedades.

Notas

↑ 1 2 Enciclopedia de Matemáticas, 1977 .
↑ K. F. Gauss, 1959 , p. 655-754.
↑ 1 2 3 Matemáticas del siglo XIX. Volumen I: Lógica Matemática, Álgebra, Teoría de Números, Teoría de la Probabilidad, 1978 , p. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 146.
↑ Ireland K., Rosen M., 1987 , p. 23
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , pág. 29
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 41, 44.
↑ Una clasificación de números primos gaussianos , p. diez.
↑ K. F. Gauss, 1959 , p. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , Capítulo 9.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 33-34.
↑ Conrad, Keith , Capítulo 6.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , Capítulo 7.
↑ Conrad, Keith , Capítulo 3.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , pág. 35-36.
↑ Conrad, Keith , Capítulo 4.
↑ 1 2 Conrad, Keith , Capítulo 5.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , Capítulo 8.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , pág. 162-163.
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Literatura

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Enlaces

Enteros gaussianos complejos para 'Gráficos gaussianos' (inglés) (enlace no disponible) . Consultado el 11 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 14 de junio de 2006.
Butler, Lee A. Una clasificación de primos gaussianos . Fecha de acceso: 16 de enero de 2017.
Conrado, Keith. Los enteros gaussianos (inglés) . Consultado: 11 de septiembre de 2013.

diccionarios y enciclopedias	Larusa Britannica (en línea)

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