Descomposición de ideales primos en extensiones de Galois

La descomposición de ideales primos en extensiones de Galois es la descomposición de ideales primos del anillo de números enteros en el campo de los números algebraicos en el anillo de números enteros en una extensión de Galois con un grupo de Galois . El estudio de esta descomposición es una de las partes más ricas de la teoría algebraica de números . Esta teoría a veces se atribuye a Hilbert , y por lo tanto aparece bajo el nombre de teoría de Hilbert . $PAGS$ ${\ estilo de visualización O_ {K}}$ $k$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$ ${\ estilo de visualización L/K}$ $GRAMO$

Definiciones

Sea una extensión finita del campo numérico , y sean y los anillos de los números enteros y, respectivamente. ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\ estilo de visualización O_ {K}}$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$ $k$ $L$

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array))

Finalmente, sea un ideal primo distinto de cero en o, de manera equivalente, un ideal maximal , de modo que el anillo del cociente sea un campo . $PAGS$ ${\ estilo de visualización O_ {K}}$ ${\ estilo de visualización O_ {K}/P}$

De los fundamentos de la teoría de un anillo unidimensional , se sigue la existencia de una única descomposición del ideal : $PAGS$

P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j)),

donde son diferentes ideales maximales y es su multiplicidad. $P_{j}$ ${\ Displaystyle e_ {j} \ geqslant 1}$

El campo se incrusta naturalmente en cada uno , el grado de esta expansión del campo residual se denomina grado de inercia sobre . $F=O_{K}/P$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $j$ $f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$ $P_{j}$ $PAGS$

El exponente se llama índice de rama sobre . Si para algunos , entonces la extensión se llama bifurcada en (o decimos que bifurca en ). De lo contrario , se llama no ramificado en . Si es así, entonces por el teorema chino del resto, el factor es el producto de los campos . está ramificado si y solo si divide al discriminante relativo , entonces solo un número finito de ideales primos no están ramificados. $e_j$ $P_{j}$ $PAGS$ $e_{j}>1$ $j$ ${\ estilo de visualización L/K}$ $PAGS$ $PAGS$ $L$ ${\ estilo de visualización L/K}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización O_ {L}/P}$ $F_{j}$ $PAGS$

La multiplicatividad de la norma de un ideal implica

[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

Si para todo (y, por lo tanto, ), entonces decimos que se descompone completamente en . Si y (y por lo tanto ), decimos que se bifurca completamente en . Finalmente, si y (y por lo tanto ), decimos que es inerte en . ${\ Displaystyle f_ {j} = e_ {j}}$ $j$ ${\ estilo de visualización g = [L: K]}$ $PAGS$ $L$ $gramo=1$ ${\ estilo de visualización f_ {1} = 1}$ $e_{1}=[L:K]$ $PAGS$ $L$ $gramo=1$ $e_{1}=1$ ${\ estilo de visualización f_ {1} = [L: K]}$ $PAGS$ $L$

Descomposición en extensiones de Galois

Sea una extensión de Galois . Entonces el grupo de Galois actúa transitivamente sobre . Es decir, los factores ideales primos en la expansión de forman una sola órbita bajo la acción de un automorfismo sobre . De esto y del teorema de unicidad de la factorización se deduce que y no dependen de . Entonces las relaciones resultantes toman la forma ${\ estilo de visualización L/K}$ $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ $P_{j}$ $PAGS$ $L$ $L$ $k$ ${\ Displaystyle f = f_ {j}}$ ${\ Displaystyle e = e_ {j))$ $j$

P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

{\ estilo de visualización [L: K] = efg.}

De ello se deduce que es el número de coeficientes primos en . Según la fórmula del número de elementos en la órbita para todos , donde está el estabilizador , se llama grupo de descomposición del ideal . Dado que, según la teoría básica de Galois, el orden del grupo de descomposición para todos . ${\ estilo de visualización [L:K]/ef=g}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$ $g=|G|/|D_{P_{j}}|$ $j$ $D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$ $P_{j}$ $P_{j}$ ${\ estilo de visualización [L: K] = | G |}$ $|D_{P_{j}}|=ef$ $j$

El grupo de descomposición contiene un subgrupo normal , llamado grupo de inercia , que consta de automorfismos que inducen el automorfismo de identidad en . En otras palabras, es el núcleo del mapeo de reducción . Se puede demostrar que esta aplicación es sobreyectiva, y de esto se sigue que y . ${\ Displaystyle I_ {P_ {j}}}$ $P_{j}$ ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ ${\ Displaystyle I_ {P_ {j}}}$ $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $|I_{P_{j}}|=e$

La teoría del elemento de Frobenius va más allá al identificar un elemento para un dado , que corresponde a un automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de una extensión de campo finito . En el caso no ramificado, el orden y es trivial. Además, el elemento de Frobenius en este caso es un elemento (y por lo tanto también un elemento de ). $D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $j$ $F_{j}/F$ $|D_{P_{j}}|=f$ ${\ Displaystyle I_ {P_ {j}}}$ $D_{P_{j))$ $GRAMO$

La descomposición de ideales primos en campos que no son extensiones de Galois se puede estudiar con un campo de descomposición , es decir, con una extensión de Galois que contiene el campo original, pero es algo mayor que él. Por ejemplo, un campo cúbico generalmente se incrusta en una expansión de Galois de grado 6.

Un ejemplo son los enteros gaussianos

Esta sección describe la división de los ideales primos en la extensión del campo . Es decir, tomamos y , entonces y es el anillo de enteros gaussianos . Aunque este caso está lejos de ser representativo, ya que — Un anillo factorial y un pequeño número finito de campos cuadráticos con una única factorización —muestra muchas de las características de la teoría. $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q} (i)$ $O_{K}=\mathbb {Z}$ $O_{L}=\mathbb {Z} [i]$ ${\matemáticas{Z}}[i]$

Denotemos el grupo de Galois , , donde es el automorfismo complejo conjugado. Consideremos tres casos. $GRAMO$ $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ ${\displaystyle G=\{1,\sigma \))$ $\sigma$

primo p = 2

Simple 2 en horquillas : $\matemáticas {Z}$ ${\matemáticas{Z}}[i]$

{\ estilo de visualización (2) = ((1 + i) ^ {2})}

Índice de sucursales . El campo de residuos aquí es ${\ estilo de visualización e = 2}$

{\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2))

es un campo final de 2 elementos. Grupo de expansión , ya que sólo hay uno de los números por encima de 2. Grupo de inercia , ya que $D_{(1+i)}=G$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\ estilo de visualización I_ {1 + i} = G}$

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i))

para todos los enteros $a, b$

De hecho, 2 es el único primo que se bifurca en , ya que cada primo bifurcado debe dividir al discriminante , que es . ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\ estilo de visualización -4}$

Simple p ≡ 1 mod 4

Cualquier número primo se descompone en un producto de dos ideales primos diferentes en ; esto es efectivamente el teorema de la suma de dos cuadrados de Fermat . Por ejemplo: $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ${\matemáticas{Z}}[i]$

{\ estilo de visualización 13 = (2 + 3i) (2-3i) = 2 ^ {2} + 3 ^ {2))

Ambos grupos de descomposición son triviales en este caso: , ya que el automorfismo permuta y , por lo tanto . El grupo de inercia también es un grupo trivial como subgrupo del grupo de descomposición. Hay dos campos de residuos, uno para cada número primo: ${\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\))$ $\sigma$ ${\ estilo de visualización (2+3i)}$ ${\ estilo de visualización (2-3i)}$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ no \ en G_ {2 \ pm 3i))$

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,

que son isomorfos . El elemento de Frobenius será un automorfismo trivial, lo que significa que ${\ estilo de visualización \ mathbb {F} _ {13}}$

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i))

para todos $a,b\in \mathbb {Z}$

Simple p ≡ 3 mod 4

Cualquier simple , por ejemplo , permanece simple, inerte , en , es decir, no se descompone. En esta situación, el grupo de descomposición se debe a que . Sin embargo, esta situación difiere del caso porque ahora no actúa trivialmente sobre el campo residual . Por ejemplo, . Por lo tanto, el grupo de inercia es trivial: . El grupo de Galois sobre el subcampo tiene orden 2 y es generado por la imagen del elemento Frobenius. Frobenius no es más que lo que significa que $p:p\equiv 3{\pmod {4}}$ $7$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ $G_{7}=G$ ${\ estilo de visualización \ sigma (7) = 7}$ $pag=2$ $\sigma$ $O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F}_{7^{2}}$ $1+i\no \equiv 1-i{\pmod {7}}$ $I_{7}=\{1\}$ ${\ estilo de visualización O_{L}/(7)O_{L))$ $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ $\sigma$

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7))

para todos $a,b\in \mathbb {Z}$

Resumen

Facil de $\matemáticas {Z}$	¿Cómo se descompone en ${\matemáticas{Z}}[i]$	grupo de inercia	grupo de descomposición
$pag=2$	Horquillas con índice 2	$GRAMO$	$GRAMO$
$p\equiv 1{\pmod {4}}$	Se descompone en 2 factores primos diferentes	$\{una\}$	$\{una\}$
$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Inerte, permanece simple	$\{una\}$	$GRAMO$

Cálculo de la factorización de un ideal

Supongamos que queremos descomponer un ideal primo de un anillo en ideales primos de un anillo . El siguiente procedimiento (Neukirch, p. 47) resuelve este problema en muchos casos. La estrategia es elegir un entero tal que (tal existe por el teorema del elemento primitivo ), y luego examinar el polinomio del elemento mínimo sobre . Reduciendo el módulo de coeficientes , obtenemos un polinomio con coeficientes de un cuerpo finito . Suponga que se factoriza en un anillo polinomial como $PAGS$ ${\ estilo de visualización O_ {K}}$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$ ${\ estilo de visualización \ theta \ en O_ {L}}$ ${\ estilo de visualización L = K (\ theta)}$ $\ theta$ ${\ estilo de visualización H (X)}$ $\ theta$ $k$ ${\ estilo de visualización H (X)}$ $PAGS$ $h(X)$ $F=O_{K}/P$ $h(X)$ ${\ estilo de visualización F [X]}$

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n)),

donde hay varios polinomios irreducibles en . Entonces, si no es uno de un número finito de primos excepcionales (la condición exacta se describe a continuación), la descomposición es la siguiente: ${\ Displaystyle h_ {j}}$ ${\ estilo de visualización F [X]}$ $PAGS$ $PAGS$

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n)),

donde son diferentes ideales primos . Además, el grado de inercia de cada uno es igual al grado del polinomio correspondiente , y existe una fórmula explícita para : $Q_{j}$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$ $Q_{j}$ ${\ Displaystyle h_ {j}}$ $Q_{j}$

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

donde denota aquí el levantamiento de un polinomio en . ${\ Displaystyle h_ {j}}$ ${\ Displaystyle h_ {j}}$ $K[X]$

En el caso de una extensión de Galois, los grados de inercia son iguales y los índices de ramificación son . ${\displaystyle e_{1}=...=e_{n))$

Los primos excepcionales para los que no siempre se cumple el resultado anterior son aquellos que no son coprimos con respecto al conductor del anillo . El conductor se define como un ideal. $O_{K}[\theta]$

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta]\};

mide cuánto orden tiene el anillo completo de enteros (orden máximo) . $O_{K}[\theta]$ ${\ estilo de visualización O_ {L}}$

Un obstáculo significativo es que existen tales y , para los cuales no existe , satisfaciendo las hipótesis anteriores (ver, por ejemplo, [1] ). Por lo tanto, el algoritmo anterior no se puede utilizar para determinar tal y enfoques más sofisticados como los descritos en. [2] ${\ estilo de visualización L/K}$ $PAGS$ $\ theta$ $PAGS$

Ejemplo de cálculo

Considere nuevamente el caso de los enteros gaussianos. Tomaremos la unidad imaginaria . Como es el anillo de los enteros , el conductor es una unidad ideal, por lo que no existen primos excepcionales. ${\ estilo de visualización \ theta = i}$ $H(X)=X^{2}+1$ ${\matemáticas{Z}}[i]$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (i)}$

Porque necesitamos trabajar en el campo , lo que se reduce a expandir el polinomio módulo 2: ${\ estilo de visualización P = (2)}$ ${\mathbbZ}/2{\mathbbZ}$ ${\ estilo de visualización X^{2}+1}$

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2)).

Por tanto, sólo existe un factor primo con un grado de inercia de 1 y un índice de ramificación de 2, y viene dado por la fórmula

Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].

El siguiente caso es para un simple . Por ejemplo, tomemos . El polinomio es irreducible módulo 7. Por tanto, sólo existe un factor primo con grado de inercia 2 e índice de ramificación 1, y viene dado por la fórmula ${\ estilo de visualización P = (p)}$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ ${\ estilo de visualización P = (7)}$ ${\ estilo de visualización X^{2}+1}$

Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].

El último caso es para un simple ; tomaremos de nuevo . Esta vez tenemos una descomposición. ${\ estilo de visualización P = (p)}$ $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ${\ estilo de visualización P = (13)}$

X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13)).

Por lo tanto, existen dos multiplicadores principales, ambos con un grado de inercia y con un índice de ramificación igual a 1. Están dados por la expresión

Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]

Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i] .

Analogía geométrica

Notas

↑ {título} (enlace descendente) . Consultado el 2 de junio de 2018. Archivado desde el original el 12 de septiembre de 2006. (indefinido)
↑ {título} (enlace descendente) . Consultado el 2 de junio de 2018. Archivado desde el original el 12 de septiembre de 2006. (indefinido)

Enlaces

PlanetMath, División y ramificación en campos numéricos y extensiones de Galois , < http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6818 >
William Stein, Una breve introducción a la teoría de números algebraica clásica y adélica , < http://www.williamstein.org/papers/ant/ >

Literatura

Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna. — M .: Mir, 1987. — 428 p.