Campo numérico algebraico

Campo numérico algebraico , el campo de los números algebraicos (o simplemente campo numérico ) es una extensión finita (y por lo tanto algebraica ) del campo de los números racionales . Así, un campo numérico es un campo que contiene y es un espacio vectorial de dimensión finita sobre él. Al mismo tiempo, algunos autores llaman a cualquier subcampo de números complejos un campo numérico, por ejemplo, M. M. Postnikov en "La teoría de Galois". $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$

Los campos numéricos y, de manera más general, las extensiones algebraicas del campo de los números racionales, son el principal objeto de estudio de la teoría algebraica de números .

Ejemplos

El campo numérico más pequeño y básico es el campo de los números racionales . $\matemáticas {Q}$
Los números racionales gaussianos, denotados, son el primer ejemplo no trivial de un campo numérico. Sus elementos son expresiones de la forma ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

donde y son números racionales, es la unidad imaginaria . Tales expresiones se pueden sumar y multiplicar de acuerdo con las reglas habituales de operaciones con números complejos , y cada elemento distinto de cero tiene un inverso, como se puede ver en la igualdad

a

b

i

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

De ello se deduce que los números gaussianos racionales forman un campo que es un espacio bidimensional (es decir, un campo cuadrático ).

\matemáticas {Q}

De manera más general, para cualquier número entero libre de cuadrados, habrá una expansión de campo cuadrática . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\matemáticas {Q}$
Un campo circular se obtiene sumando a la raíz n-ésima primitiva de la unidad. El campo debe contener y todas sus potencias (es decir, todas las raíces n-ésimas de la unidad), su dimensión es igual a la función de Euler . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$ $\varfi (n)$
Los números reales y complejos tienen un poder infinito sobre los números racionales, por lo que no son campos numéricos. Esto se sigue de la incontabilidad: cualquier campo numérico es contable .
El campo de todos los números algebraicos no es numérico. Aunque la extensión es algebraica, no es finita. $\matemáticas {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Anillo de campo numérico de enteros

Dado que un campo numérico es una extensión algebraica de un campo , cualquier elemento del mismo es una raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (es decir, es algebraico ). Además, cada elemento es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, ya que es posible multiplicar todos los coeficientes racionales por el producto de los denominadores. Si un elemento dado es raíz de algún polinomio unitario con coeficientes enteros, se le llama elemento entero (o entero algebraico). No todos los elementos de un campo numérico son enteros: por ejemplo, es fácil demostrar que los únicos elementos enteros son los enteros ordinarios . $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$

Se puede demostrar que la suma y el producto de dos enteros algebraicos es nuevamente un entero algebraico, por lo que los elementos enteros forman un subanillo del campo numérico , llamado anillo de campos enteros y denotado por . El campo no contiene divisores de cero y esta propiedad se hereda al pasar a un subanillo, por lo que el anillo de enteros es integral ; el campo de anillos parciales es el campo mismo . El anillo de enteros de cualquier cuerpo numérico tiene las tres propiedades siguientes: es integralmente cerrado , noetheriano y unidimensional . Un anillo conmutativo con estas propiedades se llama Dedekind , en honor a Richard Dedekind . $k$ $k$ ${\ matemáticas O}_{K}$ ${\ matemáticas O}_{K}$ $k$

Descomposición en primos y grupos de clases

En un anillo arbitrario de Dedekind, existe una descomposición única de ideales distintos de cero en un producto de ideales simples . Sin embargo, no todo anillo de enteros satisface la propiedad factorial : incluso para el anillo de enteros de un campo cuadrático, la descomposición no es única: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Al introducir una norma en este anillo, podemos mostrar que estas expansiones son realmente diferentes, es decir, una no se puede obtener de la otra multiplicando por un elemento invertible .

El grado de violación de la propiedad factorial se mide utilizando el grupo de clases ideal , este grupo para el anillo de los enteros es siempre finito y su orden se denomina número de clases.

Bases de campos numéricos

Base entera

Una base entera de un campo numérico F de grado n es el conjunto

segundo = { segundo 1 , …, segundo norte }

de n elementos del anillo de enteros del campo F tal que cualquier elemento del anillo de enteros OF del campo F puede escribirse de forma única como una combinación Z -lineal de elementos de B ; es decir, para cualquier x de O F , hay una descomposición única

x \ u003d metro 1 segundo 1 + ... + metro norte segundo norte ,

donde m i son enteros ordinarios. En este caso, cualquier elemento de F se puede escribir como

metro 1 segundo 1 + ... + metro norte segundo norte ,

donde m i son números racionales. Después de eso, los elementos enteros de F se distinguen por la propiedad de que estos son exactamente aquellos elementos para los cuales todos los m i son enteros.

Usando herramientas como la localización y el endomorfismo de Frobenius , se puede construir una base de este tipo para cualquier campo numérico. Su construcción es una característica integrada en muchos sistemas de álgebra computacional .

Base de potencia

Sea F un cuerpo numérico de grado n . Entre todas las bases posibles de F (como Q -espacio vectorial), hay bases potencia, es decir, bases de la forma

segundo x = {1, x , x 2 , …, x norte −1 }

para alguna x ∈ F . Según el teorema del elemento primitivo , tal x siempre existe, se le llama elemento primitivo de la extensión dada.

Norma y traza

Un campo numérico algebraico es un espacio vectorial de dimensión finita (denotemos su dimensión como ), y la multiplicación por un elemento arbitrario del campo es una transformación lineal de este espacio. Sea alguna base F , entonces la transformación corresponde a la matriz definida por la condición $\matemáticas {Q}$ $norte$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapsto\alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Los elementos de esta matriz dependen de la elección de la base, sin embargo, todos los invariantes de la matriz , como el determinante y la traza , no dependen de ella . En el contexto de las extensiones algebraicas, el determinante de una matriz multiplicada por un elemento se denomina norma de ese elemento (denotado ); la traza de una matriz es la traza de un elemento (indicada por ). $N(x)$ ${\text{Tr))(x)$

La traza del elemento es un funcional lineal en F :

{\text{Tr))(x+y)={\text{Tr))(x)+{\text{Tr))(y)

y .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

La norma es una función multiplicativa y homogénea :

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

y .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Como base inicial se puede elegir una base entera , la multiplicación por un número algebraico entero (es decir, por un elemento del anillo de enteros ) en esta base corresponderá a una matriz con elementos enteros . Por lo tanto, la traza y la norma de cualquier elemento del anillo de números enteros son números enteros.

Un ejemplo de uso de la norma

Sea un número natural libre de cuadrados , luego sea un cuerpo cuadrático (en particular, siendo un cuerpo numérico). Elegimos una base entera en este campo ( es un elemento entero, ya que es la raíz del polinomio reducido ). En esta base, la multiplicación por corresponde a la matriz $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1, {\ sqrt d})$ ${\ sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Por lo tanto, . Sobre los elementos del anillo , esta norma toma valores enteros. La norma es un homomorfismo de un grupo multiplicativo sobre un grupo multiplicativo , por lo que la norma de los elementos invertibles de un anillo sólo puede ser igual a o . Para resolver la ecuación de Pell , basta encontrar todos los elementos reversibles del anillo de los enteros (también llamados unidades del anillo ) y seleccionar entre ellos los que tienen una norma . De acuerdo con el teorema de la unidad de Dirichlet , todos los elementos invertibles de un anillo dado son potencias de un elemento (hasta la multiplicación por ), por lo que para encontrar todas las soluciones a la ecuación de Pell, basta con encontrar una solución fundamental. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\matemáticas {Z}$ $una$ $-una$ $a^{2}-db^{2}=1$ $una$ $-una$

Véase también

la teoria de kummer

Literatura

H. Koch. Teoría de números algebraicos . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 p. - (Resultados de la ciencia y la tecnología. Serie "Problemas modernos de matemáticas. Direcciones fundamentales".).
Chebotarev N.G. Fundamentos de la teoría de Galois. Parte 2.- M .: Editorial URSS, 2004.
Weil G. Teoría algebraica de números. Por. del inglés.- M. : Editorial URSS, 2011.
Serge Lang , Teoría algebraica de números, segunda edición, Springer, 2000