Grupo de clase de transformación de superficie

El grupo de clase de las transformaciones superficiales es el grupo de los homeomorfismos hasta la deformación continua. Surge naturalmente en el estudio de las variedades tridimensionales y está relacionado con otros grupos, en particular, con los grupos trenzados y el grupo de automorfismos externos de un grupo.

El grupo de clases de mapeo se puede definir para variedades arbitrarias y para espacios topológicos arbitrarios, pero el caso de las superficies es el más estudiado en la teoría de grupos .

Historia

El estudio de los grupos de clase de mapeo fue iniciado por Max Dehn y Jakob Nielsen . Dehn construyó un sistema finito de generadores para este grupo, [1] y Nielsen demostró que todos los automorfismos de los grupos fundamentales de superficies son iniciados por homeomorfismos.

A mediados de los años setenta , William Thurston utilizó este grupo en el estudio de las variedades tridimensionales. [2]

Más tarde, el grupo de clase comenzó a estudiarse en la teoría de grupos geométricos , donde sirve como campo de prueba para diversas hipótesis y el desarrollo de herramientas técnicas.

Definición

Sea una superficie orientada, cerrada y conexa, y un grupo de sus homeomorfismos que conservan la orientación equipados con una topología compacta-abierta . $S$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

El componente conexo de la unidad en se denota por . Consiste en homeomorfismos isotópicos al homeomorfismo identidad. Un subgrupo es un subgrupo normal . $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo}_{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo}_{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

El grupo de clase de las transformaciones de superficie de mapeo se define como el grupo de cociente $S$

\mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo}_{0}(S).

Notas

Si usamos todos los homeomorfismos en esta definición (no solo los que conservan la orientación), obtenemos un grupo extendido de clases de transformación , en el que el grupo está contenido como un subgrupo de índice 2. $\mathrm {Modificación} ^{\pm }(S)$ $\mathrm {Modificación} (S)$

Esta definición también se puede dar para la categoría de difeomorfismos . Más precisamente, si la palabra "homeomorfismo" se reemplaza en todas partes por " difeomorfismo ", obtenemos el mismo grupo, ya que la inclusión induce un isomorfismo por las clases correspondientes. $\mathrm {Dif} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

En el caso de que sea una superficie compacta con límite , sólo se toman en la definición los homeomorfismos que fijan todos los puntos en el límite. $S$ $\ S parcial$

Para superficies con puntos troquelados, el grupo se define exactamente de la misma manera que arriba.
- Tenga en cuenta que el mapeo de clase puede reorganizar los puntos perforados, pero no los componentes de borde.

Ejemplos

El grupo de clases de transformación de la esfera es trivial.
El grupo de clase de mapeo toroide es naturalmente isomorfo al grupo modular . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$
El grupo de clase de mapeo de un anillo es el grupo cíclico formado por un solo giro de Dehn .
El grupo de trenzas con n hilos es naturalmente isomorfo al grupo de clases de transformación de disco con n puntos perforados.

Propiedades

El grupo de clases de transformaciones superficiales es contable .

El grupo de clases de transformación extendida de una superficie sin límite es isomorfo al grupo de automorfismos de su grupo fundamental.
- Además, cualquier automorfismo del grupo fundamental es inducido por algún homeomorfismo superficial.
- En términos generales, la afirmación deja de ser cierta para superficies con un límite. En este caso, el grupo fundamental es un grupo libre, y el grupo de automorfismos exteriores del grupo incluye el grupo de clases de transformación de la superficie como subgrupo propio.

Para una superficie compacta y hay una secuencia exacta $S$ $x \ en S$ $1\a \pi _{1}(S,x)\a \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\a \mathrm {Mod} (S)\a 1.$

Cualquier elemento del grupo de clase de transformación de superficie cae en una de tres categorías: $\alfa$
- $\alfa$ tiene un orden finito (es decir, para algunos ); ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {n} = 1}$ $norte$
- $\alfa$ es reducible, es decir, hay un conjunto de curvas cerradas que no se cortan sobre , que se conservan bajo la acción de ; $S$ $\alfa$
- $\alfa$ pseudo-Anosov .

Se puede generar un grupo de clases de transformación de superficie.
- Dos elementos [3]
- Involuciones [4]
- Hay una tarea final con Den twists como generadores.
  - El número más pequeño de giros de Dehn que forman el grupo de clase de transformaciones de una superficie de género es . ${\ Displaystyle g\ geqslant 2}$ ${\ estilo de visualización 2g+1}$

El grupo de clases de transformación de una superficie actúa naturalmente sobre su espacio de Teichmüller .
- Esta acción es en realidad discontinua , no gratuita.
- Las métricas en el espacio de Teichmüller se pueden utilizar para establecer algunas propiedades globales de un grupo de clases de transformación. Por ejemplo, de esto se deduce que el máximo plano cuasi-isométricamente incrustado en el grupo de clase de transformaciones de la superficie del género tiene dimensión . [5] $gramo$ ${\ estilo de visualización 3g-3+k}$

El grupo de clases de transformaciones de una superficie actúa naturalmente sobre el complejo de curvas de la superficie. Esta acción, junto con las propiedades geométricas-combinatorias de un complejo de curvas, puede usarse para probar varias propiedades de un grupo de clases de transformación.
- En particular, esto explica las propiedades del grupo cercanas a la hiperbolicidad de Gromov .

La primera homología del grupo de clases de transformaciones superficiales es finita.
- De esto se deduce que los primeros grupos de cohomología también son finitos.

El grupo de clase de transformaciones de superficie es residualmente finito .

El grupo de clases de transformación de superficie tiene solo un número finito de clases de conjugación.

No se sabe si el grupo de clase de transformaciones de superficie es un grupo lineal. Además de las representaciones simplécticas sobre homología, existen otras representaciones lineales que se derivan de la teoría cuántica topológica de campos. Las imágenes de estas representaciones están contenidas en grupos aritméticos que no son simplécticos [6] .
La dimensión de una acción no trivial de un conjunto de clases de transformaciones de una superficie de un género no puede ser inferior a [7] . $gramo$ ${\ estilo de visualización 2 {\ sqrt {g-1}}}$

Notas

↑ Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (neopr.) // Acta Mathematica . - 1938. - T. 69 . - S. 135-206 . -doi : 10.1007/ bf02547712 .
↑ Thurston, William P. Sobre la geometría y la dinámica de los difeomorfismos de superficies // Bull . amer Matemáticas. soc. : diario. - 1988. - vol. 19 _ - Pág. 417-431 . -doi : 10.1090/ s0273-0979-1988-15685-6 .
↑ Wajnryb, B. El grupo de clase de mapeo de una superficie es generado por dos elementos // Topología: diario. - 1996. - vol. 35 . - pág. 377-383 . - doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .
↑ Tara E. Brendle, Benson Farb. Cada grupo de clase de mapeo es generado por 3 elementos de torsión y por 6 involuciones // J. Algebra : journal. - 2004. - vol. 278 . Señor : 187C198
↑ Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014), Rango a gran escala del espacio de Teichmüller, arΧiv : 1307.3733 [math.GT]. .
↑ Masbaum, Gregor and Reid, Alan W. Todos los grupos finitos están involucrados en el grupo de clase de mapeo // Geom . Topol. : diario. - 2012. - vol. 16 _ - Pág. 1393-1411 . -doi : 10.2140 / gt.2012.16.1393 . SEÑOR : 2967055
↑ Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Fenómenos de rango 1 para grupos de clase de mapeo (neopr.) // Duke Math. j. - 2001. - T. 106 . - S. 581-597 . SEÑOR : 1813237

Literatura

Aleksey Zhirov. Conjugación topológica de homeomorfismos pseudo-Anosov. - MTSNMO, 2013. - 1000 ejemplares. - ISBN 978-5-4439-0213-5 .
AA Gayfulin , Grupos de clases de mapeo y sus subgrupos . Archivado el 17 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .