Inversión (geometría)

La inversión (del latín inversio “reversión”) con respecto a un círculo es una transformación del plano euclidiano , traduciendo círculos generalizados (círculos o rectas) en círculos generalizados, en los que uno de los círculos se traslada puntualmente a sí mismo.

Definición

Sea un círculo dado en el plano euclidiano con un centro (llamado polo de inversión , o centro de inversión , este punto está troquelado) y un radio . La inversión de un punto con respecto a es un punto que se encuentra en el rayo tal que $\Gama$ $O$ $R$ $PAGS$ $\Gama$ $PAGS'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

La inversión convierte la región interior del círculo en la exterior y viceversa.

A menudo, se agrega un "punto en el infinito" al plano y se considera inversamente , e - inversamente . En este caso, la inversión es la transformación biyectiva de este "plano circular" extendido . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

La inversión de un espacio euclidiano con respecto a una esfera y la inversión en espacios euclidianos de dimensiones superiores se definen de manera similar.

Propiedades

La inversión sobre un círculo con centro en O tiene las siguientes propiedades básicas: $\Gama$

Una inversión es una involución : si el punto P va al punto Q , entonces el punto Q va al punto P.
La línea que pasa por O entra en sí misma.
Una línea recta que no pasa por O entra en un círculo que pasa por O con el punto O perforado ; y viceversa, la circunferencia que pasa por O se convierte en una recta que no pasa por O.
Un círculo que no pasa por O entra en un círculo que no pasa por O (y la imagen de su centro no es el centro de la imagen).
La inversión es un mapeo conforme del segundo tipo (es decir, conserva los ángulos entre las curvas e invierte la orientación ).

Inversión con respecto al círculo de Apolonio , definido por , intercambia los puntos y . $k={\tfrac{PA}{PB}}$ $A$ $B$
Un círculo o una línea perpendicular a , entra en sí mismo. $\Gama$

Nota

En la teoría de los círculos y la inversión, se dice que dos círculos que se cortan en ángulo recto son ortogonales ( perpendiculares ). Los círculos se pueden considerar ortogonales si forman un ángulo recto entre sí. Por lo general, el ángulo entre curvas es el ángulo entre sus tangentes dibujadas en su punto de intersección.
En la teoría de los círculos y de la inversión, una recta es perpendicular a un círculo si pasa por el centro de este último. $\Gama$

Construcción

Puede obtener la imagen P' de un punto P en inversión sobre un círculo dado con centro O de la siguiente manera [1] :

Si la distancia de P a O es mayor que el radio del círculo, dibuje una tangente al círculo desde P , entonces la perpendicular a la línea OP desde el punto de contacto cortará esta línea en el punto deseado P' .
Si la distancia de P a O es menor que el radio del círculo, dibuje a través de P una perpendicular a OP , y a través del punto de su intersección con el círculo, una tangente a él, que intersecará a OP en el punto deseado P' .
Si la distancia de P a O es igual al radio del círculo, entonces la imagen de P coincidirá consigo misma.

Representaciones de coordenadas

Coordenadas cartesianas

La inversión sobre el círculo unitario con centro en el origen está dada por

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\derecho)

Si un punto del plano está dado por una coordenada compleja , entonces esta expresión se puede representar como $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

donde es el número complejo conjugado de . Esta función de variable compleja es antiholomórfica , lo que implica, en particular, que la inversión es conforme. ${\ barz}$ $z$

En el caso general, la inversión respecto de una circunferencia con centro en un punto y radio viene dada por la relación $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\right)

Coordenadas polares

La inversión sobre un círculo de radio con centro en el origen viene dada por $r$

(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^{2}/\rho)

Aplicaciones

La aplicación de la inversión resuelve
- tarea de Apolonio ,
- La identidad de Ptolomeo .

El mecanismo de Lipkin-Posselier se basa en las propiedades de inversión .

Mediante inversión se demuestra el teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que todas las construcciones que se pueden hacer con compás y regla se pueden hacer con un solo compás (se considera que se construye una línea recta si se conocen dos de sus puntos) [ 2] [3]

Existe una demostración de las propiedades del círculo de Apolonio , basada en la propiedad de inversión. [cuatro]

Usando inversión, se prueba el porismo de Steiner : la prueba usa el hecho de que para cualquier círculo que no se interseca hay una inversión que los convierte en círculos concéntricos.

Por inversión se demuestra que dos círculos gemelos de Arquímedes en arbelos son iguales . [2]

Mediante inversión se prueban las propiedades de los círculos en el porismo de Pappus de Alejandría . [2]

Mediante inversión se demuestra el Teorema de la Mariposa . [2]

Variaciones y generalizaciones

Inversión con respecto a una sección cónica

Es posible definir una inversión con respecto a una sección cónica arbitraria no degenerada , con la única diferencia de que la cantidad será la distancia (variable) desde el centro de la curva correspondiente (en el caso de una elipse e hipérbola ) a los puntos de intersección de esa curva con una línea . $R$ $O$ $OP$

En el caso de inversión con respecto a una hipérbola, dependiendo del sector en el que se encuentre el punto entre las asíntotas , el caso es posible cuando la recta no corta a la hipérbola. Luego, para el cálculo, se toma el punto de intersección de esta línea con la hipérbola conjugada (a menos que el punto se encuentre en la asíntota), y se toma el valor correspondiente con un signo menos, es decir, el rayo se dirige en la dirección opuesto al rayo . $PAGS$ $OP$ $R$ $PAGS$ $R^2$ $OP'$ $OP$

Una inversión sobre una parábola es simplemente una reflexión simétrica sobre ella a lo largo de una línea recta paralela al eje de la parábola.

Una definición alternativa es inversión con respecto a la sección cónica como el punto medio de la cuerda cortada por el punto polar con respecto a . Sin embargo, en el caso de que la polar correspondiente no se interseque , para completar la definición es necesario aplicar esta definición parcial en la dirección opuesta (es decir , este es un punto que es el medio de la cuerda cortada por el polar activado ) , lo que no siempre es conveniente. ${\mathcal {K}}$ $PAGS$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $PAGS'$ $PAGS$ $PAGS'$ ${\mathcal {K}}$

Véase también

Geometría Inversa
Inversión de curva

Notas

↑ Pogorelov A.V. Geometría . - M. : Nauka , 1983. - S. 41 -42. — 288 pág.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 "Geometrías" por A. Yu. Davidov .

Enlaces

Anufrienko S. A. Simetría con respecto a un círculo .
Bakelman I. Ya. Inversión . Conferencias populares de matemáticas , vol. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inversión .. - M . : MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. ¿Qué son las matemáticas? . - M. : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, § 4.. - ISBN 5-900916-45-6.