Área de la figura

El área de una figura plana escaracterística numérica aditiva de una figura que pertenece enteramente a un plano . En el caso más simple, cuando la figura se puede dividir en un conjunto finito de cuadrados unitarios , el área es igual al número de cuadrados.

Acerca de la definición

Se puede encontrar una introducción formal del concepto de área y volumen en el artículo Medida de Jordan , aquí solo damos un resumen de la definición con comentarios.

El área es una función de valor real definida en una cierta clase de figuras en el plano euclidiano y que satisface cuatro condiciones:

Positivo: el área no es negativa;
Normalización: un cuadrado con un lado de la unidad tiene un área de 1;
Congruencia - las figuras congruentes tienen igual área;
Aditividad : el área de la unión de dos figuras sin puntos interiores comunes es igual a la suma de las áreas.

En este caso, una determinada clase debe ser cerrada con respecto a la intersección y la unión, así como con respecto a los movimientos del plano, e incluir todos los polígonos . De estos axiomas se sigue la monotonicidad del área, es decir,

Si una figura pertenece a otra figura, entonces el área de la primera no excede el área de la segunda:

La mayoría de las veces, un conjunto de figuras cuadradas se toma como una "cierta clase" . Se dice que una figura es cuadrable si para alguna existe un par de polígonos y , tal que y , donde denota el área . $F$ $\varepsilon >0$ $PAGS$ $q$ $P\subconjunto F\subconjunto Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $PAGS$

Ejemplos de cuadratura de figuras

polígonos;
cualquier figura limitada por una curva rectificable , en particular un círculo;
una figura delimitada por un copo de nieve de Koch , aunque su límite no es rectificable.

Definiciones relacionadas

Dos figuras se llaman iguales si tienen la misma área.

Comentarios

Existe una forma matemáticamente rigurosa pero ambigua de determinar el área de todos los subconjuntos acotados del plano. Es decir, en el conjunto de todos los subconjuntos acotados del plano, hay varias funciones de área que satisfacen los axiomas anteriores, y el conjunto de figuras cuadradas es el conjunto máximo de figuras sobre las que el área está determinada de forma única.
- Lo mismo se puede hacer para la longitud en una línea recta, pero no para el volumen en el espacio euclidiano , y tampoco para el área en una esfera unitaria en el espacio euclidiano (ver, respectivamente , la paradoja de la bola que se duplica y la paradoja de Hausdorff ).

Fórmulas

Figura	Fórmula	Comentario
triángulo rectángulo	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot}a^{2}$	$a$ es la longitud del lado del triángulo.
Triángulo	${\sqrt {p{\cdot}(pa){\cdot}(pb){\cdot}(pc)))$	Fórmula de Garza . es el semiperímetro , , y son las longitudes de los lados del triángulo. $pags$ $a$ $b$ $C$
Triángulo	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$a$ y son los dos lados del triángulo, y es el ángulo entre ellos. $b$ $\gama$
Triángulo	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ y - el lado del triángulo y la altura trazada a este lado. $h$
Cuadrado	$un ^ 2$	$a$ es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo	$a{\cdot}b$	$a$ y son las longitudes de los lados del rectángulo. $b$
Rombo	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ - lado del rombo, - ángulo interno, - diagonales . $\alfa$ ${\ estilo de visualización b, c}$
Paralelogramo	$b{\cdot}h$	$b$ - la longitud de uno de los lados del paralelogramo, y - la altura trazada a este lado. $h$
Trapecio	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$a$ y son las longitudes de los lados paralelos, y es la distancia entre ellos (altura). $b$ $h$
Cuadrilátero	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$norte$ y son las longitudes de las diagonales, y es el ángulo entre ellas. $metro$ $\fi$
Hexágono regular	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$a$ es la longitud del lado del hexágono.
octágono regular	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$a$ es la longitud del lado del octágono.
polígono regular	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$a$ es la longitud del lado del polígono, y es el número de lados del polígono. $norte$
polígono regular	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$a$ es la apotema (o el radio del círculo inscrito en el polígono), y es el perímetro del polígono. $pags$
polígono arbitrario	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{matrix}}\right\|$	Fórmula del área de Gauss . son las coordenadas de los vértices del -gon, ${\ estilo de visualización (x_ {i}, y_ {i})}$ $norte$ ${\ estilo de visualización (x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})}$
Un circulo	${\displaystyle \pi {\cdot}r^{2))$ o ${\frac {\pi {\cdot}d^{2}}{4}}$	$r$ es el radio del círculo, y es su diámetro. $d$
sector circular	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ y son el radio y el ángulo del sector, respectivamente (en radianes ). $\ theta$
Elipse	$\pi {\cdot}a{\cdot}b$	$a$ y son los semiejes mayor y menor de la elipse. $b$

Véase también

Desaparición celular
medida borel
Jordan medida
Medida de Lebesgue
área orientada
Cuadrado
Área de superficie
Teorema de Bolyai-Gerwin sobre la equiconstituencia de polígonos de áreas iguales
Triángulo sobre las áreas de triángulos
Cuadrángulo sobre áreas de cuadriláteros

Literatura

V. Boltyansky , Sobre los conceptos de área y volumen. Archivado el 5 de mayo de 2017 en Wayback Machine Kvant , No. 5, 1977
B. P. Heidman , Áreas de polígonos Archivado el 10 de junio de 2017 en Wayback Machine , Biblioteca de Educación Matemática , Número 16, (2002).
§§ 244-276 en A. P. Kiselev, Geometría según Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Longitud, área, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Area and Volume Archivado el 11 de abril de 2021 en Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Libro 5, Geometría, editado por P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich y A. Ya. Khinchin.