Complejo CW

El complejo CW es un tipo de espacio topológico con estructura adicional (división celular), introducido por Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . En la literatura en ruso, también se utilizan los nombres de espacio celular , división celular y complejo celular . La clase de complejos celulares es más amplia que la clase de complejos simplicios , pero al mismo tiempo conserva la naturaleza combinatoria, lo que permite cálculos eficientes.

Definiciones

Una celda abierta de dimensión n es un espacio topológico homeomorfo a una bola abierta de dimensión n (en particular, una celda de dimensión cero es un espacio singleton ). Un complejo CW es un espacio topológico de Hausdorff X representado como una unión de celdas abiertas de tal manera que para cada celda abierta n -dimensional hay un mapeo continuo f de una bola cerrada n -dimensional a X cuya restricción al interior de la pelota es un homeomorfismo a esta celda ( mapeo característico ). En este caso, se supone que se cumplen dos propiedades:

(C) El límite de cada celda está contenido en la unión de un número finito de celdas de dimensiones más pequeñas;
(W) Un subconjunto de X es cerrado si y solo si su intersección con el cierre de cada celda es cerrada.

Las designaciones C y W provienen de las palabras inglesas closure-finiteness y topología débil . [1] [2]

La dimensión de un complejo celular se define como el límite superior de las dimensiones de sus celdas. La n-ésima columna vertebral de un complejo celular es la unión de todas sus celdas cuya dimensión no exceda de n , la notación estándar para la n-ésima columna vertebral de un complejo celular X es X n o sk n X. Un subconjunto de un complejo celular se denomina subcomplejo si está cerrado y consta de células completas; En particular, cualquier esqueleto de un complejo es su subcomplejo.

Cualquier complejo CW puede construirse inductivamente usando el siguiente procedimiento: [3]

partimos de un conjunto discreto , cuyos puntos se consideran celdas de dimensión cero; $X^{0}$
por inducción formamos el n - ésimo árbol de expansión a partir del ( n − 1)-ésimo pegando celdas n -dimensionales a él por medio de mapeos continuos arbitrarios . $\varphi _{\alfa}:S^{{n-1}}\a X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alfa}$ $x\sim\varphi _{\alpha}(x),$ $x\in \parcial D_{\alpha }.$
Es posible terminar el proceso inductivo en una etapa final ajustando o continuarlo indefinidamente ajustando [4] . La topología del límite directo coincide con la topología débil: un subconjunto es cerrado si y solo si su intersección con cada $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Ejemplos

El espacio es homotópicamente equivalente a un complejo CW (ya que es contráctil ), pero es imposible introducir la estructura de un complejo CW en él (ya que todos los complejos CW son localmente contráctiles ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
El pendiente hawaiano es un ejemplo de un espacio topológico que no es homotópicamente equivalente a ningún complejo CW.
Cualquier poliedro está naturalmente dotado de la estructura de un complejo CW, y un gráfico está dotado de un complejo CW unidimensional.
Una esfera de dimensión n admite una estructura celular con una celda de dimensión cero y una celda de dimensión n (ya que una esfera de dimensión n es homeomorfa al espacio cociente de una bola de dimensión n a lo largo de su límite). Otra partición de celdas explota el hecho de que la incrustación del "ecuador" divide la esfera en dos celdas n -dimensionales (hemisferios superior e inferior). Por inducción, esto permite obtener una partición de celdas de una esfera n -dimensional con dos celdas en cada dimensión de 0 a n , y aplicando la construcción de límite directo permite obtener una partición de celdas de una esfera . $S^{{n-1}}\a S^{n}$ $S^{\infty}$
El espacio proyectivo real admite una estructura celular con una celda en cada dimensión, y con una celda en cada dimensión par. ${\matemáticas {RP}}^{n}$ ${\matemáticas {CP}}^{n}$
El Grassmannian permite una partición en celdas llamadas celdas de Schubert .
Para cualquier variedad suave compacta , se puede construir un complejo CW homotópicamente equivalente (por ejemplo, usando la función de Morse ).

Homología celular

Las homologías singulares del complejo CW se pueden calcular utilizando las homologías celulares , es decir, las homologías del complejo de cadena celular

\cdots \a {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\a {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\a {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\a \cdots ,

donde se define como el conjunto vacío. $X^{{-1}}$

El grupo es un grupo abeliano libre cuyos generadores pueden identificarse con las celdas n -dimensionales orientadas del complejo CW. Los mapeos de límites se construyen de la siguiente manera. Sea una celda n - dimensional arbitraria , la restricción de su mapa característico al límite, y sea una celda arbitraria ( n - 1) - dimensional. Considere la composición ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alfa}}$ $X,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\parcial e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- una}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta}}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

donde el primer mapeo se identifica con el mapeo - factorización, y el último mapeo se identifica con el uso del mapeo característico de la celda . Entonces el mapa de límites $S^{{n-1}}$ $\parcial e_{n}^{\alfa},$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta}}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\a {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}},X_{{n-2}})

dado por la formula

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\sum_{{\beta}}\deg \left(\chi_{{n}}^{{\ alfa \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

donde es el grado de mapeo y la suma se toma sobre todas las celdas ( n − 1)-dimensionales . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$ $\chi _{{n}}^{{\alfa \beta}}$ $X$

En particular, si no hay dos celdas en el complejo celular cuyas dimensiones difieran en uno, entonces todos los mapeos de límites desaparecen y los grupos de homología quedan libres. Por ejemplo, para par y cero para impar. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $norte$

Propiedades

La categoría de homotopía de los complejos CW, según algunos expertos, es la mejor opción para construir una teoría de homotopía. [5] Una de las "buenas" propiedades de los complejos CW es el teorema de Whitehead ( una equivalencia homotópica débil entre complejos CW es una equivalencia homotópica). Para cualquier espacio topológico, existe un complejo CW débilmente homotópicamente equivalente. [6] Otro resultado útil es que los funtores representables en la categoría de homotopía de los complejos CW tienen una caracterización simple en términos categóricos ( teorema de representabilidad de Brown ). Un cilindro, un cono y una superestructura sobre un complejo CW tienen una estructura celular natural.

Por otro lado, un producto de complejos CW con un mosaico natural en celdas no siempre es un complejo CW: la topología del producto puede no coincidir con la topología débil si ambos complejos no son localmente compactos. Sin embargo, la topología de un producto en la categoría de espacios generados de forma compacta coincide con la topología débil y siempre define un complejo CW [7] . El espacio de funciones Hom ( X , Y ) con la topología compacta-abierta no es, en términos generales, un complejo CW, sin embargo, según el teorema de John Milnor [8] , es una homotopía equivalente a un complejo CW bajo la condición que X es compacto .

Una cubierta de un complejo CW X puede dotarse de la estructura de un complejo CW de tal manera que sus celdas se mapean homeomórficamente en las celdas de X.

Los complejos CW finitos (complejos con un número finito de celdas) son compactos. Cualquier subconjunto compacto de un complejo CW está contenido en un subcomplejo finito.

Notas

↑ Whitehead, 1949 , pág. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , pág. 35.
↑ Hatcher, 2011 , pág. catorce.
↑ Ver artículo límite directo .
↑ Por ejemplo, véase D. O. Baladze . Partición celular - artículo de la Enciclopedia Matemática.
↑ Hatcher, 2011 , pág. 445-446.
↑ Martín Arkowitz. Introducción a la Teoría de la Homotopía . - Springer, 2011. - Pág . 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. En espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW // Trans. amer Matemáticas. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Literatura

JHC Whitehead. homotopía combinatoria. I. // Bol. amer Matemáticas. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—Pág. 213–245.
JHC Whitehead. homotopía combinatoria. II. // Toro. amer Matemáticas. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—Pág. 453–496.
Hatcher, A. Topología algebraica / Per. De inglés. VV Prasolova, ed. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 p. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Curso de topología de homotopía. - M. : Nauka, 1989. - 528 p.