Raíz (matemáticas)

Este artículo trata sobre la extracción de raíz . Consulte también Raíz de ecuación y Raíz de polinomio .

La raíz del grado ésimo $norte$ de un número se define [1] como un número tal que Aquí hay un número natural , llamado exponente de la raíz (o grado de la raíz); suele ser mayor o igual a 2 porque el caso no interesa. $a$ $b$ $b^{n}=a.$ $norte$ $n=1$

Notación: El símbolo ( signo raíz ) del lado derecho se llama radical . El número ( expresión radical ) suele ser real o complejo , pero también hay generalizaciones para otros objetos matemáticos , como residuos , matrices y operadores ; consulte #Variaciones y generalizaciones a continuación . $b={\raíz cuadrada[{n}]{a}},$ $a$

Ejemplos de números reales:

Las raíces de segundo grado del número 9 son y ambos números tienen los mismos cuadrados y son iguales a 9 ${\ estilo de visualización +3}$ ${\ estilo de visualización -3,}$
${\raíz cuadrada[{3}]{\ 64}}=4,$ porque $4^{3}=64.$
${\raíz cuadrada[{3}]{\frac{8}{27}}}={\frac{2}{3)),$ porque $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

Como puede ver en el primer ejemplo, una raíz par real puede tener dos valores (positivo y negativo), y esto dificulta el trabajo con tales raíces, lo que no permite su uso en cálculos aritméticos. Para garantizar la inequívoca, se introduce el concepto de raíz aritmética (a partir de un número real no negativo), cuyo valor es siempre no negativo, en el primer ejemplo este número. Además, se adopta un acuerdo según al que el signo de una raíz de grado par de un número real siempre denota una raíz aritmética [2] [3] : Si se requiere tener en cuenta la ambigüedad de la raíz, se coloca un signo más o menos delante de la radicales [2] ; por ejemplo, así se hace en la fórmula para resolver una ecuación cuadrática : $3.$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt [{2}] {9}} = 3.}$ $hacha^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

No existen raíces pares reales de números negativos. Siempre es posible extraer una raíz de cualquier grado de un número complejo, pero el resultado se define de manera ambigua: la raíz compleja de un número distinto de cero tiene valores diferentes (ver #Raíces de números complejos ). $norte$ $norte$

La operación de extracción de raíces y los algoritmos para su implementación aparecieron en la antigüedad en relación con las necesidades prácticas de la geometría y la astronomía, ver #Historia .

Definición y conceptos relacionados

Además de lo anterior, se pueden dar dos definiciones equivalentes de la raíz [4] :

La raíz enésima $norte$ del número es la solución de la ecuación (tenga en cuenta que puede haber varias o ninguna solución). $a$ $X$ $x^n=a$
La raíz del grado th $norte$ del número es la raíz del polinomio , es decir, el valor en el que el polinomio especificado es igual a cero. $a$ $x^{n}-a,$ $X$

La operación de cálculo se llama " sacar la raíz ésima " de un número . Esta es una de las dos operaciones que son inversas a la exponenciación [5] , es decir, encontrar la base del grado a partir de un exponente conocido y el resultado de la exponenciación . La segunda operación inversa, logaritmo , encuentra el exponente dada la base y el resultado conocidos. ${\sqrt[{n}]{a))$ $norte$ $a$ $b$ $norte$ $a=b^{n}$

Las raíces de segundo y tercer grado se usan con especial frecuencia y, por lo tanto, tienen nombres especiales [5] .

Raíz cuadrada : En este caso, se suele omitir el exponente 2, y el término "raíz" sin especificar el grado suele implicar la raíz cuadrada. Geométricamente , se puede interpretar como la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a . ${\ sqrt {a}).$ ${\ sqrt {a}}$ $a$
Raíz cúbica : Geométricamente , es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $a$

Raíces de números reales

En esta sección, en todas partes - un número natural, - números reales. La raíz del grado ésimo de un número real , dependiendo de la paridad y el signo , puede tener de 0 a 2 valores reales. $norte$ $a, b$ $norte$ $a$ $norte$ $a$

Propiedades generales

Una raíz impar de un número positivo es un número positivo determinado de forma única.

${\raíz cuadrada[{n}]{a}}=b$ , donde es impar ${\ estilo de visualización a, b> 0,}$ $norte$

Por ejemplo,

{\raíz cuadrada[{3}]{125}}=5,\ {\raíz cuadrada[{5}]{32}}=2,\ {\raíz cuadrada[{15}]{1}}=1

Una raíz impar de un número negativo es un número negativo que está definido de forma única.

${\raíz cuadrada[{n}]{a}}=b$ , donde es impar ${\ estilo de visualización a, b <0,}$ $norte$

Por ejemplo,

{\raíz cuadrada[{3}]{-8}}=-2,\ {\raíz cuadrada[{5}]{-243}}=-3,\ {\raíz cuadrada[{7}]{-1}}= -una

La raíz de un grado par de un número positivo tiene dos valores con signos opuestos, pero iguales en valor absoluto.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , donde esta aun ${\ estilo de visualización a, b> 0,}$ $norte$

Por ejemplo,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

La raíz de grado par de un número negativo no existe en el campo de los números reales , ya que al elevar cualquier número real a una potencia con exponente par, el resultado será un número no negativo. A continuación, se mostrará cómo extraer dichas raíces en un sistema más amplio: el conjunto de números complejos (entonces, los valores de la raíz serán números complejos). $norte$

${\sqrt[{n}]{a))$ no existe en el campo de los números reales , si -incluso ${\ estilo de visualización a <0,}$ $norte$

La raíz de cualquier potencia natural de cero es cero.

${\ estilo de visualización {\ sqrt [{n}] {0}} = 0}$

Advertencia

Como se dijo anteriormente: "Una raíz de grado par de un número negativo no existe en el campo de los números reales ". Además, tal raíz existe en la región de los números complejos . Por lo tanto, siempre se debe considerar en qué sistema numérico (números reales o complejos) extraemos la raíz.

Ejemplo. En el reino de los números reales, la raíz cuadrada de no existe. $-9$
Ejemplo. En el reino de los números complejos, la raíz cuadrada de es $-9$ ${\ estilo de visualización \ pm 3i.}$

Raíz aritmética

Ya se ha dicho más arriba que las raíces de un grado par se definen, por lo general, de manera ambigua, y este hecho genera inconvenientes a la hora de utilizarlas. Por lo tanto, se introdujo una limitación prácticamente importante de este concepto [6] .

La raíz aritmética del grado th $norte$ de un número real no negativo es un número no negativo cuya raíz aritmética se denota con el signo radical . $a$ $b$ $b^{n}=a.$

Así, la raíz aritmética, a diferencia de la raíz de forma general ( algebraica ), se define sólo para números reales no negativos, y su valor siempre existe, de forma única [7] y no negativa. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número tiene dos valores: y , de los cuales el primero es aritmético. $cuatro$ $2$ $-2$

Propiedades algebraicas

Las fórmulas dadas a continuación son correctas, en primer lugar, para raíces aritméticas de cualquier grado (excepto en casos especiales). También son válidos para raíces de grado impar, que también tienen expresiones radicales negativas [8] .

Cancelación mutua de raíz y grado: [9]
- para impar : , $norte$ ${\sqrt[{n}]{a^{n))}=a$
- incluso para : $norte$ ${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a^{n))))}=|a|$
Si , entonces y $a<b$ ${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a))))<{\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n} ]{\color {negro}{b))))$

La raíz del producto es igual al producto de las raíces de los factores:

${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{ab))))={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n} ]{\color {negro}{a)))){\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{b))))$

Análogamente para la división:

${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{\frac {a}{b))))}={\frac {\color {azul}{\ sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a)))){\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{b }}}}}},\;b\neq 0$

La siguiente igualdad es la definición de elevar a una potencia fraccionaria [10] :

$a^{m/n}={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a^{m))))}=\left({\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a))))\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^ {metro}$

El valor de la raíz no cambiará si su índice y el grado de la expresión radical se dividen por el mismo número (el factor del exponente y el exponente de la expresión radical):

${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}nk}]{\color {negro}{a^{mk)))}}={\color {azul}{\sqrt[{\color { negro}n}]{\color {negro}{a^{m))))},\;n,k\en \mathbb {N} .$ Ejemplo: ${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}6}]{\color {negro}{64))))={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}{2 \cdot 3}}]{\color {negro}{4^{3}}}}}={\color {azul}{\sqrt {\color {negro}{4}}}}=2$
${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}k}]{\color {negro}{a)))) ))={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}nk}]{\color {negro}{a)))),\;n,k\en \mathbb {N}$

Para raíces de grado impar, indicamos una propiedad adicional:

${\raíz cuadrada[{n}]{-a}}=-{\raíz cuadrada[{n}]{a}}$

Extrayendo una raíz y elevando a una potencia fraccionaria

La operación de exponenciación se introdujo originalmente como una abreviatura de la operación de multiplicación de números naturales: . El siguiente paso fue definir la exponenciación a un número entero arbitrario, incluida la potencia negativa: $m^{n}={\color {Gray}\underbrace {\color {Black}m\cdot m\cdot \dots \cdot m}_{\color {Black}n))$ $m^{-n}={\frac{1}{m^{n))}.$

La operación de extraer una raíz aritmética permite definir la elevación de un número positivo a cualquier potencia racional (fraccional) [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a^{m))))},

a>0

En este caso, el numerador de una fracción puede tener un signo. Las propiedades de la operación extendida son básicamente las mismas que elevar a una potencia entera. $metro$ ${\frac{m}{n}}$

Esta definición significa que extraer una raíz y su potenciación inversa en realidad se combinan en una sola operación algebraica. En particular:

{\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{a))))=a^{\frac {1}{n))

Los intentos de elevar números negativos a una potencia racional pueden conducir a errores, ya que el valor de la raíz algebraica es ambiguo y el rango de la raíz aritmética está limitado a números no negativos. Un ejemplo de un posible error:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\color {azul}{\sqrt {\color {negro}1))}=1

Función raíz

Gráficas de funciones raíz
Funciones de raíz y funciones de potencia inversas a ellas en un intervalo $[0;\ 1]$
Funciones fundamentales:
- aritmética, potencias pares 2, 4, 6
- potencias comunes e impares 3, 5, 7

Si consideramos la expresión raíz como una variable, obtenemos la función raíz del grado th: . La función raíz pertenece a la categoría de funciones algebraicas . La gráfica de cualquier función raíz pasa por el origen y el punto . $norte$ $y={\raíz cuadrada[{n}]{x}}$ $(once)$

Como se indicó anteriormente, para una raíz par, para garantizar que la función sea única, la raíz debe ser aritmética, de modo que el argumento no sea negativo. La función raíz de un grado impar tiene un solo valor y existe para cualquier valor real del argumento. $X$

Tipo de función raíz	Dominio	Rango de valores	Otras propiedades
incluso grado	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	La función es convexa hacia arriba en todo el dominio de definición .
grado impar	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	la funcion es impar

Para cualquier grado, la función raíz es estrictamente creciente, continua en todas partes dentro de su dominio de definición. Ilimitadamente diferenciable en todas partes excepto en el origen, donde la derivada tiende a infinito [11] [12] . La derivada está determinada por la fórmula [13] :

{\frac {d}{dx}}{\raíz cuadrada[{n}]{x}}={\frac{1}{n{\raíz cuadrada[{n}]{x^{n-1}}}} }

. En particular, .

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

La función es integrable sin restricciones en todo el dominio de definición. La integral indefinida se busca mediante la fórmula:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. En particular, , donde es una constante arbitraria.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Diferenciabilidad e integrabilidad ilimitadas de una función.

La fórmula para encontrar la derivada de orden $k$ [14] de la función : ${\raíz cuadrada[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
dónde $\ k, n \ en \ mathbb {N} , \ x \ neq 0$

La fórmula para encontrar la ésima integral indefinida [15] de la función : $k$ ${\raíz cuadrada[{n}]{x}}$

$\underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
dónde $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=const$

Las partes correctas de las fórmulas son expresiones algebraicas que siempre existen, con natural . De ahí la izquierda también.

k

Proporciones límite

Aquí hay algunos límites útiles que contienen raíces [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ fracción {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\right) ^{n}={\raíz cuadrada {ab}}

Cálculo práctico de raíces

La función de calcular raíces cuadradas y cúbicas se proporciona en muchas calculadoras; por ejemplo, la calculadora de Windows muestra los botones correspondientes en el modo "Ingeniería" (Científico). Si hay una tecla de exponenciación en la calculadora electrónica: entonces para extraer la raíz del número actual, debe presionar las siguientes teclas [17] . $y^{x},$

y^{x}

Obtener el exponente de la raíz presione una tecla

1/x

presione una tecla

=

Para el cálculo manual, puede usar el método convergente rápido descrito en el artículo " Algoritmo para encontrar la raíz del grado n ". Para potencias superiores a la tercera, se puede utilizar la identidad logarítmica :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ norte}}

Para extraer la raíz, necesitas encontrar el logaritmo de la expresión de la raíz, dividir por la potencia de la raíz y encontrar el antilogaritmo del resultado.

Raíces de números complejos

El origen del concepto de número complejo ha estado históricamente asociado al deseo de "legalizar" las raíces cuadradas de los números negativos. Como quedó claro gradualmente, los números complejos tienen ricas propiedades algebraicas y analíticas ; en particular, siempre es posible extraer raíces de ellos, aunque de manera ambigua. Para raíces en un dominio complejo , el signo radical generalmente no se usa o no denota la función raíz, sino el conjunto de todas las raíces; en este último caso, para evitar errores, no se debe utilizar el signo radical en las operaciones aritméticas. Un ejemplo de un posible error:

-1=({\raíz cuadrada {-1}})^{2}={\raíz cuadrada {(-1)^{2}}}={\raíz cuadrada {1}}=1

(que por supuesto no es cierto)

El error surgió porque la raíz cuadrada no aritmética es una función multivaluada y no se puede usar en aritmética.

Maneras de encontrar

Escribamos un número complejo en forma trigonométrica : $z$

z=r\izquierda(\cos {\varphi}+i\sin {\varphi}\derecha)

Entonces las raíces del grado th de están determinadas por la fórmula De Moivre (forma trigonométrica) [18] : $norte$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots , n-1

o en forma exponencial :

z=re^{i\varfi}

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots,n-1

Notación

$z=x+iy,\ z\in \mathbb {C}$ (número complejo), (parte real de un número complejo), (parte imaginaria de un número complejo), - unidad imaginaria , (módulo de un número complejo), (argumento de un número complejo), - base del logaritmo natural .
$x=\nombre del operador {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\nombre del operador {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\color {azul}{\sqrt {\color {negro}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\nombre del operador {arg} z=\nombre del operador {arctg} {\frac {y}{x))$
$mi$

La raíz de la potencia de un número complejo distinto de cero tiene valores (esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra ), y todos son distintos. El valor de la raíz obtenido con a menudo se llama el principal . $norte$ $norte$ $k=0$

Dado que el módulo es el mismo para todos los valores de la raíz (se define como la raíz aritmética del módulo del número complejo original), y solo cambia su argumento , todos los valores de la raíz se ubican en el plano complejo en una circunferencia de radio con centro en el origen. Las raíces dividen este círculo en partes iguales. $norte$ ${\color {azul}{\sqrt[{\color {negro}n}]{\color {negro}{r))))$ $norte$

Ejemplos

vamos a encontrar Ya que según la fórmula obtenemos: ${\ sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\derecha),\;k=0,1

Cuando obtenemos la primera raíz , cuando obtenemos la segunda raíz $k=0$ $2i$ $k=1$ $(-2i).$

Otro ejemplo: encontrar . Representemos la expresión radical en forma trigonométrica: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sen(\pi +2k\pi ))

De acuerdo con la fórmula de Moivre, obtenemos:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sen {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\right)

Como resultado, tenemos cuatro valores raíz [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi }{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Puedes escribir la respuesta resumida como: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Función raíz compleja y superficie de Riemann

Considere la función compleja de la raíz del grado th: De acuerdo con lo dicho anteriormente, esta función es una función multivaluada (más precisamente, valuada), y esto crea inconvenientes en su estudio y aplicación. En el análisis complejo , en lugar de considerar funciones de varios valores en el plano complejo , se tomó una decisión diferente: considerar la función como de un solo valor, pero definida no en el plano, sino en una variedad más compleja , que se llama Riemann . superficie [20] . $norte$ $w={\raíz cuadrada[{n}]{z}}.$ $norte$

Superficie de Riemann para raíz cuadrada compleja
Superficie de Riemann para raíces complejas de cuarto grado

Para una función de raíz compleja de grado th, su superficie de Riemann (ver figuras) consta de ramas ( láminas ) conectadas en forma helicoidal, con la última hoja conectada a la primera. Esta superficie es continua y simplemente conexa . Una de las hojas contiene los principales valores de la raíz obtenidos como continuación analítica de la raíz real a partir del rayo positivo del eje real. $norte$ $norte$

Para simplificar, describimos la función compleja de la raíz cuadrada. Su superficie de Riemann consta de dos láminas. La primera hoja se puede representar como un plano complejo con un rayo positivo del eje real recortado. Los valores de la función raíz en esta hoja tienen la mitad del argumento de , por lo que llenan la parte superior del plano de valores complejos. En el corte, la primera hoja se pega a la segunda, y la función continúa continuamente a través del corte hasta la segunda hoja, donde sus valores llenan la parte inferior del plano de valores complejos. El comienzo libre restante de la primera hoja y el final de la segunda también se pegan, después de lo cual la función resultante en la superficie de Riemann se convierte en un solo valor y continua en todas partes [20] . $w$ $z$

El único cero de la función (de primer orden) se obtiene en . Puntos singulares: y (puntos de ramificación de orden infinito) [20] . El concepto de punto de bifurcación significa que un contorno cerrado en la vecindad de cero contiene inevitablemente una transición de hoja a hoja. $z=0$ $z=0$ $z=\infty$

En virtud de ser simplemente conexa, la superficie de Riemann de la raíz es un recubrimiento universal [21] para el plano complejo sin un punto . ${\ estilo de visualización 0}$

Variaciones y generalizaciones

La raíz enésima de es una solución a la ecuación y, en principio, se puede definir en cualquier lugar donde dicha ecuación tenga sentido. Muy a menudo, tales generalizaciones se consideran en anillos algebraicos . Las raíces cuadradas generalizadas son las mejor estudiadas. $norte$ $a$ $x^n=a$

Si el anillo es un dominio de integridad , entonces puede haber dos o ninguna de las raíces cuadradas de un elemento distinto de cero. De hecho, si hay dos raíces , entonces de dónde: , es decir, debido a la ausencia de divisores de cero , . Más generalmente, cuando el anillo tiene divisores de cero o no es conmutativo , puede haber cualquier número de raíces. $un, b,$ ${\ estilo de visualización a^{2}=b^{2},}$ ${\ estilo de visualización (ab) (a + b) = 0}$ ${\ estilo de visualización a = \ pm b}$

En teoría de números , se considera un anillo finito de residuos de módulo : si la comparación tiene una solución, entonces el número entero se llama residuo de grado n (de lo contrario, no residuo de grado n ). La solución , si existe, es el análogo completo de la raíz enésima de un número entero . Los casos más utilizados son [22] : $metro$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m))$ $a$ $X$ $a$

$n=2$ ( residuos cuadráticos )
$n=3$ (deducciones cúbicas)
$n=4$ (residuos bicuadráticos)

Las raíces de los cuaterniones tienen mucho en común con las complejas, pero también tienen características significativas. La raíz cuadrada del cuaternión generalmente tiene 2 valores, pero si la expresión de la raíz es un número real negativo, entonces hay una cantidad infinita de valores. Por ejemplo, las raíces cuadradas de forman una esfera tridimensional definida por la fórmula [23] : $-una$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

Para el anillo de matrices cuadradas , se prueba que si la matriz es definida positiva , entonces la raíz cuadrada definida positiva de la matriz existe y es única [24] . Para matrices de otros tipos, puede haber cualquier número de raíces (incluso ninguna).

Las raíces cuadradas también se introducen para funciones [25] , operadores [26] y otros objetos matemáticos.

Historia

Desarrollo del concepto

Los primeros problemas relacionados con la extracción de la raíz cuadrada se encontraron en los trabajos de los matemáticos babilónicos (no se sabe nada sobre los logros del antiguo Egipto al respecto). Entre tales tareas [27] :

Aplicación del teorema de Pitágoras para encontrar el lado de un triángulo rectángulo dados los otros dos lados conocidos.
Encontrar el lado de un cuadrado cuya área está dada.
Solución de ecuaciones cuadráticas .

Los matemáticos babilónicos (II milenio antes de Cristo) desarrollaron un método numérico especial para extraer la raíz cuadrada. La aproximación inicial de se calculó con base en el número natural más cercano a la raíz (hacia abajo) . Representando la expresión radical en la forma: , obtenemos: , luego se aplicó un proceso de refinamiento iterativo, correspondiente al método de Newton [28] : ${\ sqrt {a}}$ $norte$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac{r}{2n))$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

Las iteraciones en este método convergen muy rápidamente. Para , por ejemplo, y obtenemos una secuencia de aproximaciones: ${\ sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

En el valor final, todos los dígitos son correctos excepto el último.

Problemas y métodos similares se encuentran en el antiguo chino " Mathematics in Nine Books " [29] . Los antiguos griegos hicieron un descubrimiento importante: - un número irracional . Un estudio detallado de Teeteto de Atenas (siglo IV a. C.) mostró que si la raíz de un número natural no se extrae por completo, entonces su valor es irracional [30] . ${\ sqrt {2}}$

Los griegos formularon el problema de duplicar el cubo , que se reducía a construir una raíz cúbica utilizando un compás y una regla . El problema resultó ser insoluble. Los algoritmos numéricos para extraer la raíz cúbica fueron publicados por Heron (en el tratado " Metric ", siglo I dC) y el matemático indio Aryabhata I (siglo V) [31] .

Los algoritmos para extraer raíces de cualquier grado de un número entero, desarrollados por matemáticos indios e islámicos , se mejoraron en la Europa medieval. Nicolás Orem (siglo XIV) fue el primero en interpretar [32] la raíz del grado ésimo como exponenciación . $norte$ ${\ fracción {1}{n}}$

Tras la aparición de la fórmula de Cardano (siglo XVI), se inició el uso de los números imaginarios en matemáticas , entendidos como raíces cuadradas de números negativos [33] . Los conceptos básicos para trabajar con números complejos fueron desarrollados en el siglo XVI por Rafael Bombelli , quien también propuso un método original para calcular raíces (utilizando fracciones continuas ). El descubrimiento de la fórmula de Moivre (1707) demostró que siempre es posible extraer una raíz de cualquier grado de un número complejo y no conduce a un nuevo tipo de números [34] .

Las raíces complejas de grado arbitrario fueron estudiadas en profundidad por Gauss a principios del siglo XIX , aunque los primeros resultados se deben a Euler [35] . Un descubrimiento extremadamente importante ( Galois ) fue la prueba del hecho de que no todos los números algebraicos (las raíces de los polinomios) pueden obtenerse de los números naturales usando cuatro operaciones aritméticas y extracción de raíces [36] .

La etimología del término y el origen del simbolismo

El término raíz tiene una larga y complicada historia. Los antiguos griegos entendían la extracción de la raíz cuadrada estrictamente geométricamente: como encontrar el lado del cuadrado por su área conocida. Después de ser traducida al sánscrito , la palabra griega para "lado" se convirtió en " mula " (base). La palabra " mula " también tenía el significado de "raíz", por lo que al traducir los siddhantas indios al árabe, se utilizó el término " jizr " (raíz de la planta). Posteriormente, la palabra “ radix ” , de significado similar , se fijó en las traducciones latinas del árabe y, a través de ellas, en la terminología matemática rusa (“raíz”, “radical”) [37] .

Los matemáticos medievales (por ejemplo, Cardano ) denotaron la raíz cuadrada [38] con el símbolo R x , una abreviatura de la palabra "radix". La notación moderna fue utilizada por primera vez por el matemático alemán Christoph Rudolf , de la escuela de los cosistas (es decir, algebristas), en 1525 [39] . Este símbolo proviene de la primera letra estilizada de la misma palabra " radix ". La línea sobre la expresión radical estaba ausente al principio; más tarde fue introducido por Descartes (1637) con un propósito diferente (en lugar de corchetes), y esta característica pronto se fusionó con el signo de la raíz.

El exponente apareció en el signo raíz gracias a la " Aritmética Universal " de Wallis y Newton (siglo XVIII) [40] .

Véase también

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . - ed. 25 - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Historia de las matemáticas, en tres volúmenes / Editado por A. P. Yushkevich . - M. : Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . - 2ª ed. — M .: Nauka, 1970. — 720 p.
Mordkovich A. G. Álgebra y los inicios del análisis. Libro de texto para los grados 10-11, parte 1. - ed. 4to. — M .: Mnemozina, 2003. — 376 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - ed. 6to. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Notas

↑ Root // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Matemáticas elementales, 1976 , p. 49.
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1970 , p. 33.
↑ Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Pág. 1.11. art. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 64.
↑ Raíz aritmética // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 141-143.
↑ Álgebra y el comienzo del análisis. Libro de texto para los grados 10-11, ed. A. N. Kolmogorova. M.: Ilustración, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , pág. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , T. I, S. 233, caso especial para . $\mu ={\frac{1}{n}}.$
↑ No debe confundirse con integrales múltiples . Sus notaciones son bastante similares, pero la integral -th es indefinida , mientras que la integral -fold es definida . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen I, págs. 67, 131-132, 164, 166-167.
↑ Álgebra. Grado 9 Libro de texto para instituciones educativas / Ed. S. A. Teliakovski. - Ed. 18 - M. : Educación, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1970 , p. 36-37.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - tercera edición, estereotipada. - M. : Nauka, 1976. - S. 68. - 591 p.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja, 1967 , p. 96-99, 28-29.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual . - M. : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, número 21).
↑ Vinogradov I. M. Fundamentos de teoría de números . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 p.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Álgebras y los grupos clásicos. Cambridge, 1995, página 60.
↑ Véase, por ejemplo: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moscú: GITTL, 1953, pp. 212-219, o: V. Voevodin, V. Voevodin, Encyclopedia of Linear Algebra. Sistema electrónico LINEAL. SPb.: BHV-Petersburgo, 2006.
↑ Véase, por ejemplo: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Construcción de gráficas de funciones. M .: Educación, 1984, o: Kaplan I. A. Clases prácticas en matemáticas superiores. Jarkov: Editorial de KhSU, 1966.
↑ Véase, por ejemplo: Hutson W., Pim J. Aplicaciones del análisis funcional y teoría de operadores. M.: Mir, 1983, o: Halmosh P. Hilbert espacio en problemas. M.: Mir, 1970.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Volumen I, pp. 42-46.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Tomo I, S. 47.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Volumen I, pp. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Formación de álgebra (de la historia de las ideas matemáticas). - M. : Saber, 1979. - Pág. 23. - (Novedades en la vida, ciencia, tecnología. Matemáticas, cibernética, nº 9).
↑ Abhishek Paraj. Métodos de extracción de raíces de Ariabhata // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Edición. 42.2 . - S. 149-161 . Archivado desde el original el 9 de junio de 2010.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Volumen I, pp. 275-276.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Volumen I, pp. 296-298.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Volumen III, pp. 56-59.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Tomo III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.). Matemáticas del siglo XIX. Lógica matemática, álgebra, teoría de números, teoría de probabilidades. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Historia de las Matemáticas, 1970-1972 , Vol. I, p.185.
↑ Nikiforovsky V. A. De la historia del álgebra de los siglos XVI-XVII. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 p. — (Historia de la ciencia y la tecnología).
↑ Signos matemáticos // Enciclopedia matemática . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Historia de los términos matemáticos, conceptos, notación: Diccionario-libro de referencia, ed. 3ro . - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 págs. - ISBN 978-5-382-00839-4 .