Lebrun, Claude

claude lebrun
inglés Claude R. LeBrun Jr.
en Oberwolfach en 2012
Fecha de nacimiento	26 de noviembre de 1956( 1956-11-26 ) (65 años)
Lugar de nacimiento	dallas , texas
País	EE.UU
Esfera científica	geometría diferencial
Lugar de trabajo	Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook
alma mater	Universidad de Oxford
consejero científico	roger penrose
Estudiantes	Massimiliano PontecorvoMichael Albanese
Premios y premios	Miembro de la Sociedad Matemática Americana
Archivos multimedia en Wikimedia Commons

Claude LeBrun ( inglés Claude LeBrun , n. 26 de noviembre de 1956 en Dallas , Texas ) es un geómetra norteamericano, especialista en geometría compleja y diferencial , principalmente variedades tetradimensionales, así como en la teoría de la relatividad . Profesor Distinguido de SUNY en la Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook .

Biografía

Graduado en 1977 del Hansen College de la Universidad de Rice [1] , realizó sus estudios de posgrado en Oxford con Penrose , y en 1980 completó su tesis Espacios de geodésicas complejas y estructuras relacionadas [2] , después de lo cual obtuvo un puesto en Stony Brook [3] .

En 1994 fue orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticas en Zúrich , el tema del informe fue la métrica Anti-auto-dual y la geometría de Kähler . En 2012 fue elegido miembro de la American Mathematical Society . En 2016, el 60 cumpleaños de Lebrun se celebró con una conferencia en Montreal. [4] En 2018, Lebrune recibió el Premio de la Fundación Simons , [5] y en 2020 fue nombrado Profesor Distinguido de SUNY en la Universidad de Stony Brook .

Disertación

La disertación de Lebrun profundiza en el trabajo de su gran maestro en el campo de la teoría del twistor . Es decir, considera variedades complejas -dimensionales dotadas de una conexión proyectiva holomorfa ; las geodésicas locales con respecto a dicha conexión se pueden parametrizar mediante una variedad compleja bidimensional. Cada punto de la variedad original define una subvariedad en el espacio de las geodésicas, ya que cada dirección tangente compleja en un punto admite una única geodésica a la que es tangente. Se puede recuperar una conexión proyectiva holomorfa sobre la variedad original a partir de esta cuadrícula de subvariedades en el espacio de las geodésicas, y pequeñas deformaciones de la estructura compleja sobre ella corresponden a pequeñas variaciones de la conexión proyectiva. Para el caso trivial de un plano proyectivo , las geodésicas son líneas proyectivas, y su plano proyectivo dual las parametriza; así, la disertación de Lebrun puede tomarse como una generalización de largo alcance de la dualidad proyectiva . $norte$ ${\ estilo de visualización (2n-2)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{2))$

Lebrun obtuvo un resultado similar para una variedad compleja con una conexión conforme, es decir, una estructura conforme holomorfa (o un campo de conos cuadráticos) junto con un tensor de torsión, y el espacio de las geodésicas isotrópicas locales en él (es decir, geodésicas tangentes a este campo de conos; de lo contrario, se denominan geodésicas de tipo ligero o nulas). En el caso de desaparición del tensor de torsión, como demostró Lebrun, el espacio de las geodésicas isotrópicas admite una estructura de contacto holomorfa y, por el contrario, la presencia de una estructura de contacto holomorfa en el espacio de las geodésicas isotrópicas fuerza la torsión de la estructura conforme en el espacio original para desaparecer. Este resultado se cumple solo cuando la dimensión de la variedad compleja es 4 o mayor; para variedades tridimensionales, Lebrun construyó una incrustación canónica en una variedad tetradimensional con una conexión conforme, cuya curvatura es autodual, bajo la cual la torsión de la estructura original se expresa en términos de la forma de la curvatura externa de esta incrustación.

RC-torcedores de 3 colectores

En 1984 en Trans. Soy. Matemáticas. soc. Se publicó el artículo de Lebrun Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry , en el que extendió la teoría del twistor también a variedades tridimensionales reales con una estructura conforme, es decir, aquellas en las que se puede hablar de la perpendicularidad mutua de los vectores, pero no su longitud absoluta (si imaginas que no hay tiempo, tal es, en esencia, nuestro espacio tridimensional: la unidad de longitud la elegimos de manera bastante arbitraria, y hasta cierto punto, el hecho de que una unidad de longitud en la Tierra y una unidad de longitud en Plutón se pueden comparar significativamente es un acto de fe). Se asocia con una variedad real de cinco dimensiones con una estructura RC , es decir, una distribución de contacto de cuatro dimensiones equipada con un campo de operadores de rotación de 90°, convirtiéndola en una distribución compleja de dos dimensiones y, además, satisfaciendo el condición de integrabilidad, y una familia de curvas racionales holomorfas tangentes a esta distribución compleja. La condición de integrabilidad se reduce al hecho de que, al nivel de la serie de Taylor, la variedad de cinco dimensiones en cada punto se puede realizar como la serie de Taylor de una hipersuperficie real en la que el subespacio de contacto es exactamente un plano bidimensional complejo que se encuentra en el espacio tangente de cinco dimensiones real a la hipersuperficie, y el operador de rotación por 90 ° será exactamente el operador de multiplicación vectorial en por . Por el contrario, dada una variedad RC de cinco dimensiones con una familia de curvas racionales, la variedad tridimensional original con una estructura conforme se restaura de manera única. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ sqrt {-1}}$

Tenga en cuenta que la existencia de mapas locales genuinos con valores en los twistores de Lebrun implicaría automáticamente la analiticidad de las funciones de regulación (debido a la analiticidad de los mapeos complejamente diferenciables) y, por lo tanto, la presencia de una estructura analítica en el 3-variedad original . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$

Lebrun obtuvo esta estructura mediante una ingeniosa construcción geométrica a partir de la cual era obvia la integrabilidad de esta estructura RC (es decir, considerando vectores en la complejización del haz cotangente que son isotrópicos con respecto a la estructura conforme). Misha Verbitsky dio una descripción mucho más simple de los KR-twistors de Lebrun. Es decir, si fijamos una métrica de Riemann que define una estructura conforme en una variedad tridimensional , entonces los RC-torcedores de Lebrun se pueden identificar con el espacio total mediante un conjunto de vectores tangentes de longitud unitaria. El paquete tangente a se descompone mediante la conexión Levi-Civita en una suma directa ortogonal , donde es el espacio tangente a la unidad de esfera en , y se proyecta isomórficamente en . El plano de contacto en un punto (donde es el vector unitario) se define como el tramo lineal y el subespacio perpendicular , y el operador de rotación de 90° se define como la estructura compleja estándar en la esfera de Riemann verticalmente y como vector multiplicado por horizontalmente (que es, dentro de ; recuérdese que en la dimensión tres, especificar una estructura euclidiana es lo mismo que especificar un producto vectorial). [6] $X$ ${\ estilo de visualización UTX}$ ${\ estilo de visualización UTX}$ $T(UTX)=Ver\oplus Hor$ $Ver_{v,x}=T_{v}(UT_{x})$ ${\ estilo de visualización T_ {x} X}$ $Hor_{v,x}$ ${\ estilo de visualización T_ {x} X}$ ${\ estilo de visualización (v, x)}$ ${\ estilo de visualización v \ en T_ {x}}$ $Ver_{v,x}$ $v^{\perp}\subconjunto T_{x}\cong Hor_{v,x}$ $v$ ${\displaystyle v^{\perp))$

De esto, por ejemplo, se puede derivar una descripción explícita de los twistores de Lebrun para una esfera redonda . Es decir, lo realizamos como una esfera ecuatorial en . El vector unitario tangente al punto puede percibirse como un par de vectores unitarios perpendiculares , donde es la unidad normal al punto . Definen una estructura compleja ortogonal sobre el espacio , definida por la condición . Por el contrario, cualquier estructura compleja ortogonal en define el vector unitario tangente k como la imagen de la unidad normal bajo una rotación de 90°. El paquete sobre , colgando sobre cada punto de la esfera redonda un conjunto de estructuras complejas ortogonales en el espacio tangente a él, estos son twistores clásicos , el espacio de twistor en este caso es biholomórfico , y la proyección sobre es el paquete de Hopf del cuaternión . En consecuencia, los twistores de Lebrun de la esfera circular son la imagen inversa del ecuatorial bajo la fibración de Hopf, y por lo tanto la hipersuperficie real en , el límite de una vecindad tubular del haz normal a la línea proyectiva . $S^{3}$ ${\ estilo de visualización S^{4))$ $e\en T_{x}S^{3}$ $S^{3}$ ${\ estilo de visualización x \ en S ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ {e, n \} \ en T_ {x} S ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización n_ {x}}$ $S^{3}\subconjunto S^{4}$ $X$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ ${\ estilo de visualización I (n) = e}$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $S^{3}$ ${\ estilo de visualización S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}$ ${\ estilo de visualización S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}=\mathbf {P}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{4})\cong \mathbf {P} _ {\mathbb {C} }(\mathbb {H} ^{2})\mapsto \mathbf {P}_{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{2})=\mathbb {H} \mathbf {P} ^{1}\cong S^{4}$ $S^{3}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}\subconjunto \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$

La definición de Verbitsky es buena porque se traslada a otro caso importante cuando hay un campo de productos vectoriales en una variedad riemanniana, a saber, una variedad ; además, permite definir una aplicación gaussiana en la situación abstracta de una superficie que se encuentra en una variedad tridimensional (asociando un punto de la superficie con una unidad normal en ella). Sin embargo, ni la integrabilidad de esta estructura twistor ni siquiera su invariancia conforme son obvias a partir de esta definición. Esto último puede probarse, sin embargo, mediante un cálculo elegante; implica, en particular, que un mapa gaussiano de una superficie en twistores de Lebrun es holomorfo si y solo si esta superficie es completamente umbilical . En particular, se deduce de la invariancia conforme de la estructura RC en los twistores de Lebrun que las transformaciones conformes transforman superficies completamente umbilicales en superficies completamente umbilicales. Dado que solo las esferas y los planos son tales, esto implica el teorema clásico de Liouville sobre aplicaciones conformes . La condición para que el mapa gaussiano sea holomorfo para las superficies umbilicales puede tomarse como la definición de la estructura RC en los twistores de Lebrun. A modo de comparación, si necesitáramos que el mapa gaussiano fuera holomorfo para superficies mínimas , terminaríamos con los twistores de Eales-Salamon , que se diferencian de los twistores de Lebrun en que toman la rotación de 90° en la dirección horizontal con el signo opuesto. Dado que incluso las superficies umbilicales locales son raras en una variedad riemanniana general, mientras que las superficies mínimas son abundantes, hay muchas curvas holomorfas en los twistores de Eales-Salamon; al mismo tiempo, la estructura casi KP en ellos nunca es integrable, lo que significa que ni siquiera hay funciones holomorfas locales, que, por el contrario, son abundantes en los twistores de Lebrun debido a su incrustación holomorfa KP local en . [7] ${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2}}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$

Lempert utilizó los twistores de Lempert para demostrar la integrabilidad formal de una estructura compleja en el espacio del nudo en una variedad de 3 con una estructura conforme. [ocho]

Estructuras complejas ortogonales en ${\ estilo de visualización S^{6}}$

Las dimensiones dos y seis son las únicas en las que la existencia de una estructura casi compleja en la esfera no está prohibida por consideraciones topológicas. En la dimensión dos, esto es solo una estructura compleja en una curva racional; en la dimensión seis, hay una estructura casi compleja obtenida de la multiplicación de vectores por la unidad normal a una esfera circular (sin embargo, la estructura compleja se describe de la misma manera ). Sin embargo, la cuestión de la existencia de una estructura compleja integrable, es decir, localmente biholomorfa a la bola , es muy vaga. En el artículo de 1987 Orthogonal Complex Structures on , Lebrun mostró que tal estructura no puede ser ortogonal en la métrica redonda estándar on . Consideró un mapeo que asocia una estructura compleja en cualquier punto con su propio subespacio con un valor propio , considerado como un subespacio tridimensional en la complejización del espacio ambiental . Si una estructura casi compleja fuera integrable, entonces este mapa sería una incrustación holomorfa en Grassmannian . Esto daría una forma kähleriana debido a que el grassmanniano puede realizarse en un espacio proyectivo; pero , lo que conduce a una contradicción. $S^{6}\subconjunto \mathbb {R} ^{7}$ ${\displaystyle S^{2}\subconjunto \mathbb {R} ^{3))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización S^{6}}$ ${\ estilo de visualización S^{6}}$ ${\ estilo de visualización - {\ sqrt {-1))}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {7}}$ $\mathbb{R} ^{7}$ ${\ estilo de visualización S^{6}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {gr} (3,7)}$ ${\ estilo de visualización S^{6}}$ ${\ estilo de visualización H ^ {2} (S ^ {6}) = 0}$

Otros artículos

Lebrun es autor de alrededor de 100 artículos en varias ramas de la geometría y la física matemática. [9]

Enlaces

Página de inicio del profesor Lebrun
Claude Lebrun en el sitio web " Genealogía matemática "

Notas

↑ Ex profesor de Rice galardonado con el Premio Nobel de Física . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2020. (indefinido)
↑ Espacios de geodésicas complejas y estructuras relacionadas . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 20 de enero de 2021. (indefinido)
↑ Directorio de departamentos | Departamento de Matemáticas y el Instituto de Ciencias Matemáticas . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2020. (indefinido)
↑ Conferencia sobre Geometría Diferencial . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Se anuncian los becarios Simons en Matemáticas y Física Teórica 2018 . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2020. (indefinido)
↑ Un espacio twistor CR de una variedad G2
↑ Conexión Liouville-Arnold para lápices Lefschetz-Kovalev y twistors Eells-Salamon CR . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 3 de octubre de 2021. (indefinido)
↑ Lempert, Lászlo. Espacios de bucle como variedades complejas. J. Geom diferencial. 38 (1993), núm. 3, 519-543.
↑ Artículos de investigación de Claude LeBrun . Consultado el 2 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 13 de mayo de 2021. (indefinido)