Integral de Darboux

La integral de Darboux es una de las formas de generalizar la integral de Riemann a cualquier función limitada en un intervalo. Hay integrales de Darboux superiores e inferiores. Las integrales de Darboux son geométricamente las áreas superior e inferior debajo del gráfico.

Definición

Para definir las integrales de Darboux, primero debemos introducir el concepto auxiliar de las sumas de Darboux.

Deje que una función de una variable real se defina en un segmento . $[a,b]$ $F$

Una partición de un segmento es un conjunto finito de puntos de este segmento, que incluye los puntos y . [1] Para facilitar las entradas posteriores, introduciremos la notación. Denotamos los puntos de partición como , y los numeramos en orden ascendente (comenzando desde cero): $\tau$ $[a,b]$ $a$ $b$ $\tau$ $x_{yo}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

El conjunto de todas las particiones del segmento se denotará por . $[a;b]$ $T$

Un segmento parcial de la partición se llama segmento . $\Delta _{i}$ ${\ estilo de visualización [x_{i-1},x_{i}]}$

{\ estilo de visualización \ Delta _ {i} = [x_ {i-1}, x_ {i}]}

Denotemos la longitud del segmento parcial de la partición como . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

El diámetro de un tabique es la longitud máxima de un segmento parcial del tabique . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

{\displaystyle d=\max \Delta x_{i))

Las caras exactas de la función en los segmentos parciales de la partición se denotarán por y . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Entonces, la suma de Darboux inferior de una función en una partición se llama ${\ estilo de visualización s (f, \ tau)}$ $F$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

La suma de Darboux superior se llama ${\ estilo de visualización S (f, \ tau)}$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[3]

Entonces la integral de Darboux inferior es $YO_*$

I_{*}=\sup_{\tau \in T}s(f,\tau )

La integral superior de Darboux se llama $yo^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[cuatro]

Definiciones alternativas

También hay definiciones alternativas de las integrales de Darboux. Por lo general, se prueban como propiedades.

La integral de Darboux inferior es el límite de las sumas de Darboux inferiores ya que el diámetro de partición tiende a cero, y la superior es el límite de las superiores. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

La integral de Darboux inferior es el límite inferior de las sumas integrales ya que el diámetro de partición tiende a cero, y la superior es el límite superior. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Propiedades

Propiedades de las sumas de Darboux

Para cualquiera de las dos particiones arbitrarias del mismo segmento, la suma de Darboux inferior en una partición no excede la suma de Darboux superior en la otra partición. [7]

{\ estilo de visualización \ para todos \ tau _ {1}, \ tau _ {2} \ en T \ quad s (f, \ tau _ {1}) \ leq S (f, \ tau _ {2})}

Las sumas inferiores de Darboux están acotadas por arriba y las sumas superiores están acotadas por abajo. [cuatro]

Cuando se agregan nuevos puntos a la partición existente, la suma de Darboux inferior no puede disminuir de ninguna manera y la superior no puede aumentar de ninguna manera. [7]

{\begin{alineado}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{alineado} }\quad\tau'

- molienda .

\tau

Además, al cambio en estas sumas se le puede dar la siguiente estimación. Sea d el diámetro , el refinamiento se obtiene sumando en la mayoría de los puntos a y las caras exactas de la función en el segmento . Después

\tau

{\ estilo de visualización \ tau '}

yo

\tau

METRO

metro

F

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Sea la suma integral. Para cualquier partición arbitraria con puntos marcados , la siguiente desigualdad es verdadera: ${\ estilo de visualización \ sigma (f, \ tau, \ xi)}$ ${\ estilo de visualización (\ tau, \ xi)}$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[ocho]

Las sumas de Darboux son caras exactas de sumas integrales en una partición dada. [7] Sea el conjunto de todos los posibles puntos marcados en la partición . Después $\xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

{\ Displaystyle S (f, \ tau) = \ sup _ {\ xi \ en \ Xi} \ sigma (f, \ tau, \ xi)}

Propiedades de las integrales de Darboux

Para cualquier función limitada en un intervalo, las integrales de Darboux existen y son finitas. [9] Para una función ilimitada por arriba, la integral superior es , para una función ilimitada por abajo, la integral inferior es . $+\infty$ $-\infty$
Las siguientes desigualdades se cumplen para sumas e integrales

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Lema principal de Darboux. El límite de las sumas de Darboux inferiores cuando el diámetro de partición tiende a cero existe para cualquier función acotada y es igual a la integral de Darboux inferior. El límite de las sumas superiores de Darboux existe para cualquier función acotada ya que el diámetro de partición tiende a cero y es igual a la integral superior de Darboux. [5]

\existe \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\existe \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

El lema principal de Darboux establece la equivalencia de la primera y la segunda definición de las integrales de Darboux.

Criterio de Darboux. La integrabilidad de Riemann en una función acotada en este intervalo es equivalente a la igualdad de las integrales de Darboux superior e inferior en este intervalo. $[a;b]$ $F$

F

— Riemann integrable [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Variaciones y generalizaciones

Integral múltiple de Darboux

Por analogía con la integral múltiple de Riemann, también se puede definir la integral múltiple de Darboux. Sea un conjunto medible de Jordan y sea su partición por un número finito de conjuntos medibles de Jordan. Denotemos los conjuntos de esta partición como . $GRAMO$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

Denotamos la medida de Jordan por . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

El conjunto de todas las particiones se denotará por . $GRAMO$ $T$

El diámetro de partición se define como el máximo de los diámetros de los conjuntos de partición (el diámetro del conjunto de partición es el límite superior mínimo de las distancias entre sus puntos). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

Las caras exactas de la función en los conjuntos de particiones se indican con y . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Entonces, la suma de Darboux inferior de una función en una partición se llama ${\ estilo de visualización s (f, \ tau)}$ $F$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

La suma de Darboux superior se llama ${\ estilo de visualización S (f, \ tau)}$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[once]

Entonces la integral de Darboux inferior es $YO_*$

I_{*}=\sup_{\tau \in T}s(f,\tau )

La integral superior de Darboux se llama $yo^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Se conservan todas las propiedades anteriores de las sumas de Darboux y las integrales de Darboux, así como las definiciones alternativas. [13]

Notas

↑ Ilyin, 1985 , pág. 330.
↑ Ilyin, 1985 , pág. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 190.
↑ 1 2 Ilyin, 1985 , pág. 337.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , pág. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 208.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , pág. 336.
↑ Ilyin, 1985 , pág. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , pág. 191.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 550.

Literatura

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Análisis matemático. Curso inicial. - 2ª ed., revisada.. - M. : MGU, 1985. - 662 p. Con.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Conferencias sobre análisis matemático: Libro de texto para universidades y ped. universidades - M. : Escuela Superior, 1999. - 695 p. Con. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. En 3 tomos. Tomo 1. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables . - M. : Avutarda, 2003. - 704 p. (Ruso)

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Temas relacionados

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