Daniel integral

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La integral de Daniel es una de las generalizaciones de la integral de Riemann , una alternativa al concepto de integral de Lebesgue .

En comparación con la integral de Lebesgue, la integral de Daniell no requiere el desarrollo preliminar de una teoría de la medida adecuada , por lo que tiene ciertas ventajas, especialmente en el análisis funcional cuando se generaliza a espacios de mayores dimensiones y generalizaciones posteriores (por ejemplo, en el forma de la integral de Stieltjes ). Las construcciones de Lebesgue y Daniel son equivalentes si consideramos las funciones escalonadas como elementales , sin embargo, al generalizar el concepto de integral a objetos más complejos (por ejemplo, funcionales lineales ), surgen importantes dificultades para construir la integral según Lebesgue, mientras que las La integral de Daniel se construye en estos casos de forma relativamente sencilla.

Propuesto por el matemático inglés Percy John Daniel en 1918 [1] .

Definición

La idea principal es generalizar el concepto de integral, partiendo de la idea de ella como funcional. Considere una familia de funciones de valores reales acotadas (llamadas funciones elementales ) definidas en el espacio , que satisfacen los siguientes axiomas: $H$ $X$

Si , entonces . $f_{1}, f_{2} \en H$ $f_{1} + f_{2} \en H$
Si , entonces , donde es un número real . $f \ en H$ $cf \en H$ $C$
Si , entonces y . $f_{1}, f_{2} \en H$ $\max(f_{1}, f_{2}) \en H$ $\min(f_{1}, f_{2}) \inH$

A la clase se le da un funcional que tiene las siguientes propiedades: $H$ $U(f)$

$U(f_{1} + f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})$ .
$U(cf)=cU(f)$ .
Si y , entonces (propiedad de Lebesgue). $f_{1} \geqslant f_{2} \geqslant f_{3} \geqslant ...$ $\lim_{n \to \infty}f_{n}=0$ $\lim_{n \to \infty}U(f_{n})=0$
$U(f) \geqslant 0$ si [2] $f \geqslant 0$

En estos términos se pueden definir conjuntos de medida cero. Un conjunto que es subconjunto de tiene medida cero si para alguno existe una secuencia no decreciente de funciones elementales no negativas tal que y sobre . $Z$ $X$ $\varepsilon >0$ $h_p(x)\en H$ $Ih_p<\varepsilon$ $\sup_p h_p(x)\geqslant 1$ $Z$

Si cierta condición se cumple en todas partes, excepto quizás en un subconjunto de medida cero, entonces se dice que se cumple en casi todas partes . $X$

Considere el conjunto que consta de todas las funciones que son el límite de sucesiones no decrecientes de funciones elementales en casi todas partes, y el conjunto de integrales está acotado. La integral de una función por definición es: $L^+$ $\{h_n\}$ $yo_n$ $f\en L^+$

Si=\lim_{n\a\infty}Ih_n.

Se puede demostrar que esta definición es correcta, es decir, no depende de la elección de la secuencia . $\{h_n\}$

Propiedades

Casi todos los teoremas de la teoría integral de Lebesgue se pueden probar con esta construcción, como el teorema de convergencia dominada de Lebesgue , el teorema de Tonelli-Fubini , el lema de Fatou y el teorema de Rees-Fischer . Sus propiedades son las mismas que las de la integral ordinaria de Lebesgue.

Medidas basadas en la integral de Daniel

Debido a la correspondencia natural entre conjuntos y funciones, es posible construir una teoría de la medida basada en la integral de Daniell. Si tomamos la función característica de algún conjunto, entonces su integral puede tomarse como una medida de este conjunto. Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la definición clásica de medida de Lebesgue . $\chi(x)$

Véase también

Integral de Lebesgue-Stieltjes

Notas

↑ Daniell PJ Una forma general de integral // Annals of Mathematics . - 1918. - T. 19 , N º 4 . — S. 279–294 . — ISSN 0003-486X . — .
↑ Desarrollo del concepto de integral, 1966 , p. 190.

Literatura

Daniell, PJ , 1919, "Integrales en un número infinito de dimensiones", Annals of Mathematics 20 : 281-88.
Daniell, PJ , 1919, "Funciones de variación limitada en un número infinito de dimensiones", Annals of Mathematics 21 : 30-38.
Daniell, PJ , 1920, "Otras propiedades de la integral general", Annals of Mathematics 21 : 203-20.
Daniell, PJ , 1921, "Productos integrales y probabilidad", American Journal of Mathematics 43 : 143-62.
Royden, H.L. , 1988. Real Analysis , 3er. edición Prentice Hall.
Pesin I. N. Desarrollo del concepto de integral. — M .: Nauka, 1966. — 202 p.
Shilov G. E., Gurevich B. L. Integral, medida, derivada. - M. : Nauka, 1967.

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Temas relacionados

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