Integral estocástica

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Una integral estocástica es una integral de la forma , donde es un proceso aleatorio con incrementos normales independientes. Las integrales estocásticas se utilizan ampliamente en ecuaciones diferenciales estocásticas . La integral estocástica no se puede calcular como la integral habitual de Stieltjes [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\en T}$

Integral estocástica de una función determinista

Introduzcamos el espacio de Hilbert de variables aleatorias , con el producto escalar y la norma de la raíz cuadrada media . Aquí - denota el valor esperado. En el marco del espacio de Hilbert, se pueden describir las características más importantes de las variables aleatorias, como las expectativas matemáticas condicionales, las probabilidades condicionales, etc. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\ estilo de visualización (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}) = \ mathbb {E} \ xi _ {1} {\ bar {\ xi _ {2}}}}$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2))$ ${\ matemáticas {E}}$

Sea un segmento finito o infinito de la recta real y sobre sus semiintervalos de la forma se da una función aditiva estocástica con valores ortogonales del espacio de Hilbert de variables aleatorias , que tiene las propiedades: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta)}$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

Para cualquier disjunto , , las cantidades , son ortogonales, es decir, su producto escalar en el espacio de Hilbert es igual a cero: ${\ estilo de visualización \ Delta _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta _ {1})}$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta _ {2})}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (\ eta (\ Delta _ {1}), \ eta (\ Delta _ {2}) \ derecha) = 0}$
Si , son semiintervalos que no se cortan y constituyen un semiintervalo, entonces ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta _ {1})}$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta _ {2})}$ ${\ estilo de visualización \ eta (\ Delta _ {1}) \ taza \ eta (\ Delta _ {2})}$ $\eta (\Delta _{1})\taza \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Aquí , es la norma en el espacio de Hilbert, para . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ | \ derecha \ |}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | \ Delta \ derecha | = ts}$ ${\ estilo de visualización \ Delta = \ izquierda (s, t \ derecha]}$

Sea una función determinista que satisfaga la condición . Considere una secuencia de funciones constantes por tramos que aproximan la función de tal manera que , $\varfi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (t)}$ $\varfi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

La integral estocástica de una función determinista es el límite [3] ${\ estilo de visualización \ int _ {T} \ varphi (t) \ eta (dt)}$ $\varfi (t)$ $\int_{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim_{n\to \infty}\int_{T}\varphi_{n}(t)\eta (dt)$

Integral estocástica de un proceso estocástico

Considere la integral

\int_{0}^{T}\omega(t)d\omega(t),

donde es un proceso de Wiener con un parámetro de dispersión unitario. Dividimos el intervalo por puntos en subintervalos. Usando la definición anterior de una integral para una función determinista, la integral estocástica se puede definir mediante cualquiera de dos expresiones [4] : ${\ omega (t), t \ en T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $norte$

I_{0}=\lim \sum_{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ i})]

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Estas integrales no son iguales porque, según la definición del proceso de Wiener [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

La integral estocástica generalizada se puede definir como una suma de integrales ponderada por parámetros y la siguiente fórmula [5] : $\lambda$ $yo_0$ $yo_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum_{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

en . La integral corresponde a la integral de Itô, y coincide con la integral de Stratonovich. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $yo_0$ $yo_{{0,5}}$

La integral de Stratonovich

La integral de Stratonovich tiene la forma [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Ito integral

La integral de Itô tiene la forma [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Sus principales propiedades [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Aquí , es la función de valor medio y es la función de covarianza . $monte)$ ${\ estilo de visualización r (t)}$

Integral de Viena

Asignemos a cada trayectoria de un proceso de Wiener unidimensional un cierto número . Entonces esta trayectoria se puede describir por medio de una función estocástica . Integral de la forma $\alfa$ $x(t,\alfa )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

se llama integral estocástica de Wiener. Esta integral se calcula por integración por partes , teniendo en cuenta la igualdad [7] : ${\ estilo de visualización x (0, \ alfa) = 0}$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Sus principales propiedades:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limites _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Véase también

Notas

↑ Ostrom, 1973 , pág. 68.
↑ Rozanov, 1982 , pág. 57.
↑ Rozanov, 1982 , pág. 64.
↑ Ostrom, 1973 , pág. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , pág. 71.
↑ Ostrom, 1973 , pág. 72.
↑ Viena, 1961 , pág. veinte.
↑ Viena, 1961 , pág. 21
↑ Viena, 1961 , pág. 24

Literatura

Ostrom, K. Yu. Introducción a la teoría del control estocástico / trad. De inglés. S. A. Anisimov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; edición N. S. Raibman. — M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Problemas no lineales en la teoría de procesos aleatorios. -M.:Editorial de literatura extranjera, 1961.
Yu.A. Rozanov . Introducción a la teoría de los procesos aleatorios. — M .: Nauka, 1982. — 128 p.

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