Lógica modal

Lógica modal (del latín modus - método, medida) - lógica , en la que, además de los conectores, variables y predicados lógicos estándar , existen modalidades (operadores modales, otros nombres: conceptos modales, relaciones modales, características modales, estimaciones).

Una teoría lógica es modal si [1]

contiene al menos tres operadores modales
es una superestructura sobre la lógica de las proposiciones asertóricas
las calificaciones otorgadas por sus modalidades fuertes son incompatibles con las calificaciones otorgadas por sus modalidades débiles
De la simple verdad o falsedad de un enunciado, es imposible concluir qué característica modal particular debe tener la conexión establecida por ese enunciado.
la calificación de una proposición por medio de un concepto modal débil no implica que la proposición sea verdadera o falsa
si se asigna una característica modal débil a un enunciado, entonces su negación debe asignarse de la misma manera

Los operadores modales se utilizan para evaluar la verdad de un juicio (detallado: para evaluar la verdad de los juicios sobre la verdad de una situación o juicio). Se puede decir que la lógica modal es el estudio del comportamiento deductivo de las expresiones “es necesario que”, “es posible que” y similares (en sentido estricto se denomina [2] “la lógica de la necesidad y la posibilidad ”). Sin embargo, el término "lógica modal" también se aplica a otros sistemas que operan con conceptos similares (consulte a continuación las variedades de modalidades). Las lógicas modales son aplicables en informática y especialmente en filosofía, donde los juicios con modalidades se aplican ampliamente y al mismo tiempo de manera intrincada. [3]

Los requisitos anteriores se consideran necesarios para cualquier lógica modal, y el primero de ellos corresponde a la definición misma de lógica modal, mientras que el resto impide que la lógica modal degenere en lógica proposicional ordinaria (que no tiene calificaciones mediante operadores modales). Sin embargo, una de las lógicas modales más simples, la lógica de Kripke propuesta por Saul Kripke, llamada "lógica K" en su honor, contiene solo dos operadores modales (de los obligatorios, solo "necesario", y el segundo es un opcional "tal vez ") y no es [3 ] lo suficientemente fuerte como para tener en cuenta adecuadamente el operador "necesario".

Las lógicas modales se aplican [2] en la filosofía del lenguaje, la epistemología, la metafísica y la semántica formal. Al mismo tiempo, el aparato matemático de la lógica modal resultó ser útil en muchas otras áreas, incluidas [4] la teoría de juegos, la verificación de programas, el diseño web, la teoría de conjuntos [5] y la epistemología social [6].

Comparación con la lógica formal

La lógica formal se puede simplificar a una cadena de verdadero conocimiento → proceso → conclusiones .

¿Dónde obtener el conocimiento verdadero para la lógica formal si solo el conocimiento verdadero único es universal?

La lógica debe responder a situaciones de la vida real, y existen pocas verdades universales .

La lógica modal en un sentido amplio opera :

conocimiento
suposiciones (lo que no sabemos)
preguntas (parcialmente en la lógica del conocimiento )
tareas (qué hacer para obtener conocimiento)[ aclarar ]

Es decir, es una extensión más real/práctica de la lógica proposicional y la lógica de primer orden .

Ejemplos de declaraciones

Por ejemplo, la lógica modal es capaz de manejar afirmaciones como "Moscú siempre ha sido la capital de Rusia" o "San Petersburgo, una vez en el pasado, fue la capital de Rusia", que son imposibles o extremadamente difíciles de expresar en un lenguaje no modal. Además de las modalidades temporales y espaciales, existen otras, como "se sabe que" (la lógica del conocimiento) o "se puede demostrar que" (la lógica de la demostrabilidad ).

Por lo general , el dual también se usa para denotar un operador modal. $\Caja$ para ello : $\traje de diamante$

\diamondsuit A=\neg \Box \neg A.

Esto refleja que decir "Moscú fue una vez la capital de Rusia" es lo mismo que decir "no es cierto que Moscú nunca fue la capital de Rusia".

Modalidades

Las modalidades son de diferentes tipos. La modalidad es una apreciación, una calificación que fija la naturaleza del enunciado. Los enunciados que fijan únicamente el hecho mismo de la presencia o ausencia de una situación se denominan asertóricos. Los enunciados que caracterizan, además de esto, la naturaleza de tal enunciado -es decir, contienen modalidades- se denominan modales. Las modalidades se organizan en fila según la fuerza [7] : la modalidad más fuerte es necesaria; una modalidad más débil es la ausencia de modalidad, es decir, la modalidad de un enunciado asertivo; la modalidad más débil es la modalidad de la posibilidad. La modalidad “Imposible B” se define como “Es necesario que B no sea cierto” (es importante que aunque en ruso coloquial su nombre parezca una negación de una posibilidad, la negación de una posibilidad no aparece en la definición - la lógica modal no requiere el establecimiento de la modalidad "posible" en absoluto).

Los conceptos modales fuera de contexto se definen según el esquema
- operador fuerte positivo (asertivo), a veces indicado como V (fuera de contexto, de modo que la forma de las declaraciones se conserva independientemente del tipo de lógica modal)
- operador fuerte negativo (prohibición), Y
- operador modal débil, W
- operador débil adicional (U) definido por operadores anteriores (obligatorios)

Con esta forma de configuración, los operadores modales juegan el papel de funciones de tres por cuatro valores para evaluar la verdad o el determinismo. Alternativamente [4] , en la semántica de Kripke, la lógica modal se puede especificar a través de 2 operadores modales que juegan un papel similar a los cuantificadores adicionales ("necesario" como "cualquiera" y "quizás" como "existe"). A esto le sigue una enumeración de las modalidades en orden de su fuerza de modalidad (las modalidades aléticas lógicas se pueden considerar como una lista básica; las primeras tres modalidades en cada párrafo son obligatorias, la modalidad "tal vez" no siempre es posible establecer, no siempre se establece y, a diferencia de las tres primeras modalidades, no está en la lista de modalidades requeridas para que la lógica se considere lógica modal y funcione como tal)

Alethic (del otro griego ἀλήθεια - verdad) modalidades: [1]
- Rompecabezas:
  - necesario
  - por casualidad, w
  - imposible, Y
  - talvez tu
- Ontológico (también llamado fáctico, empírico, físico o causal):
  - $\Caja$ - necesario, V
  - $\triángulo$ - por casualidad, W
  - imposible, Y
  - $\Diamante$ - posiblemente tu

Las modalidades aléticas evalúan la verdad de las declaraciones sobre la verdad de las situaciones desde el punto de vista de las leyes de la lógica (modalidades aléticas lógicas) o de hechos conocidos y leyes de la naturaleza (modalidades aléticas ontológicas). De lo contrario, podemos decir que evalúan en qué medida la situación descrita está determinada por un determinado conjunto de leyes y hechos. [7] Por ejemplo, la afirmación “es necesario que todo animal sea mortal” es verdadera si “necesario” se interpreta como una modalidad ontológica (ya que la evidencia científica acumulada apunta a esto) - pero también es falsa si “necesario” es interpretada como una modalidad lógica (porque expresa el enunciado "para cualquier x es cierto que si x tiene la propiedad A, entonces x tiene la propiedad B", lo cual no tiene la forma de un enunciado generalmente válido). [7] Otro ejemplo [7] es la afirmación “es posible que exista una máquina de movimiento perpetuo”. Si la modalidad se interpreta como lógica, entonces el enunciado es verdadero (porque solo expresa que existe una x que tiene alguna propiedad); pero si la modalidad se interpreta como ontológica, entonces el enunciado es falso (porque contradice las leyes conocidas de la física y los hechos sobre cuya base se establecen).

Epistémico [1]
- Acerca del conocimiento [8]
  - Probado (o comprobado)
  - Irresoluble (No verificable)
  - Refutable (o refutado)
- Sobre las creencias (doxásticas)
  - cree (convencido)
  - Dudas
  - Rechazos
  - Te permite

La diferencia entre las evaluaciones de conocimiento y creencias en este caso es que la declaración "A cree que B" fija solo la opinión de A, mientras que la declaración "A sabe que B" fija la siguiente situación: "A cree que B y B en realidad tiene lugar. [7]

Deóntico (regulatorio) [1]
- Obligatorio, V, O
- Indiferente regulatorio, W
- Prohibido, Y, F
- Permitido, U, P

Axiológico ( otro griego ἀξίᾱ - valor) [1] :
- Absoluto
  - Bueno
  - neutral (axiológicamente indiferente)
  - mal
- Comparativo
  - mejor
  - equivalente
  - peor

La lógica axiológica fue desarrollada por el filósofo A. A. Ivin .

Temporal [1] :
- Absoluto
  - siempre
  - solo a veces
  - nunca
- Comparativo
  - antes de
  - simultaneamente
  - más tarde ("y entonces", "entonces")

Además, se pueden introducir otras modalidades [7] : “siempre será” (la situación tendrá lugar en cada momento del futuro), “fue” (la situación tuvo lugar en algún momento del pasado), etc. Por ejemplo [ 3] , puede configurar:

- - siempre he sido g
  - Lavar
  - Siempre lo haré, F.
  - Voluntad, P

Además, las modalidades se dividen según varias otras características. [7]

Por la cantidad de localidad de modalidad (lo mismo que se habla de la localidad de los conectivos proposicionales)

Las modalidades absolutas son modalidades únicas (unarias) que forman una declaración modal a partir de una declaración
Las modalidades relativas son modalidades cuyo terreno es mayor que 1 (por ejemplo, "A es posterior a B", "B es mejor que C", etc.)

Por si la situación se evalúa desde la posición de un determinado sujeto

modalidades personales
Modalidades impersonales

Según qué parte del enunciado caracteriza al operador modal

Modalidades internas (de re, sobre una cosa, sobre un objeto): evalúa las propiedades inherentes de los objetos en una declaración
Modalidades externas (de dicto, sobre lo que se dijo, sobre el habla): evaluar la naturaleza del enunciado en sí

Por ejemplo [7] , modo silogístico (Barbara)

Todo A es un B Cada C es una A Por lo tanto, todo C es un B

Es verdadera si se considera que contiene la modalidad interna "lógicamente necesaria", pero es lógicamente falsa si se considera que contiene la modalidad externa "lógicamente necesaria". Declaración correcta:

Cada A debe ser una B Cada C es una A Por lo tanto, toda C debe ser una B

Declaración falsa:

Es necesario que todo A sea un B Cada C es una A Por tanto, es necesario que todo C sea un B

Hay dos reglas [7] que deben agregarse al silogismo para probar los silogismos de dicto:

la modalidad de la conclusión no puede ser más fuerte que en la premisa más débil en términos de modalidad y
si una de las premisas es problemática, entonces la otra debe ser apodíctica

Apodíctico - "de lo necesario inherente" o "de lo necesario no inherente"; problemático - "sobre posiblemente inherente" o "sobre posiblemente no inherente".

Lógica del conocimiento

Opera con los conceptos de "sabe", "cree".

Lógica deóntica

Opera con conceptos: obligación , permiso , norma .

"Debes hacerlo" ("Tu deber de hacerlo") o "Puedes hacerlo"

Intentaron introducir estos conceptos hace mucho tiempo, pero solo Georg von Wright obtuvo un resultado significativo en Deontic Logic, Mind, New Series, vol. 60, núm. 237. (enero de 1951), págs. 1-15. [9]

Documento de 2007 sobre la implementación de la lógica deóntica. Un lenguaje formal para contratos electrónicos [10] utilizando µ-calculus y la implementación mu-cke de A. Biere [11]

Semántica

En lógica matemática e informática , la más común es la semántica de Kripke , también hay semántica algebraica , semántica topológica y una serie de otras.

Sintaxis

Una fórmula modal se define recursivamente como una palabra en un alfabeto que consta de un conjunto contable de variables proposicionales , conectivas clásicas , paréntesis y un operador modal . Es decir, la fórmula es $ES$ $\a ,\bot$ $($ $)$ $\Caja$

$pags$ para cualquier $p\en PL$
$\bot$ .
$(De la A, a la B)$ , si y son fórmulas. $A$ $B$
$(\Cuadro A)$ , si es una fórmula. $A$

Una lógica modal normal es un conjunto de fórmulas modales que contienen todas las tautologías clásicas , el axioma de normalidad

\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)

y cerrado bajo las reglas Modus ponens , sustitución y la introducción de modalidad . ${\frac {A,A\to B}{B}}$ ${\frac{A(p)}{A(B)))$ ${\frac {A}{\Cuadro A}}$

La lógica modal normal mínima se denota por . $k$

Notas

la teoría de los gemelos proporciona una traducción del lenguaje de la lógica modal cuantificada a una teoría de primer orden (pero no al revés) sin operadores intencionales como "posible" y "necesario" [12]

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 Ivin A. A. "La lógica de las normas". - Editorial de la Universidad Estatal de Moscú. — 1973
↑ 1 2 Sider T. (2010). Lógica para la filosofía. prensa de la Universidad de Oxford
↑ 1 2 3 Lógica modal (Enciclopedia de Filosofía de Stanford) . Consultado el 4 de octubre de 2020. Archivado desde el original el 7 de octubre de 2020. (indefinido)
↑ 12 van Benthem, Johan . Lógica modal para mentes abiertas . — CSLI, 2010. Archivado el 19 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
↑ Hamkins, Joel (2012). "El multiverso conjunto teórico". La revisión de la lógica simbólica . 5 (3): 416-449. arXiv : 1108.4223 . DOI : 10.1017/S1755020311000359 .
↑ Baltag, Alexandru; Christoff, Zoe; Rendsvig, Rasmus; Smets, Sonja (2019). “Lógicas Epistémicas Dinámicas de Difusión y Predicción en Redes Sociales”. Lógica de estudio . 107 (3): 489-531. DOI : 10.1007/s11225-018-9804-x .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bocharov V.A., Markin V.I. “Introducción a la lógica. Curso universitario. - M.: ID "FORO": INFRA-M. — 2008-
↑ Según Ivin A.A. ("Logic of Norms", 1973), la cuarta modalidad, equivalente en estado a "posible", no se establece para el conocimiento; alternativamente, la modalidad "posiblemente P" corresponde a "sólo ocasionalmente ocurre P" (misma fuente)
↑ http://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C
↑ doi : 10.1007/978-3-540-72952-5_11
↑ A. Biere. mu-cke - verificación eficiente del modelo mu-cálculo. En O. Grumberg, editor, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV'97), número 1254 en Lecture Notes in Computer Science, páginas 468-471. Copyright © 1997 Springer-Verlag
↑ Karpenko Alexander Stepanovich en Cuestiones de filosofía 2016 No. 12

Literatura

Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (en inglés)
Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.—Cambridge University Press, 2002.
Kondakov N. I. Libro de referencia del diccionario lógico. - M: Nauka, 1976. - 720s.
Feis R., Modal Logic.- La principal edición de la literatura física y matemática de la editorial “Nauka”, M. 1974.
Shkatov D.P., Lógica modal y fragmentos modales de lógica clásica Instituto de Filosofía RAS, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (ver descripción del libro: en Ozono )

Véase también

lógica del conocimiento

Enlaces

http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/
https://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook Manual de lógica modal por Patrick Blackburn , Johan van Benthem , Frank Wolter

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4074914-9 NKC : ph137160

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