Formalismo posnewtoniano parametrizado

El formalismo posnewtoniano parametrizado ( formalismo PPN ) es una versión del formalismo posnewtoniano aplicable no solo a la relatividad general , sino también a otras teorías métricas de la gravedad , cuando los movimientos de los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein . En este enfoque, todas las posibles dependencias del campo gravitatorio en la distribución de la materia se escriben explícitamente hasta el orden correspondiente del inverso del cuadrado de la velocidad de la luz (más precisamente, la velocidad de la gravedad, aunque normalmente se limita al primer orden ) y se compila la expresión más general para resolver las ecuaciones del campo gravitatorio y el movimiento de la materia. Al mismo tiempo, diferentes teorías de la gravedad predicen diferentes valores de los coeficientes, los llamados parámetros PLT, en términos generales. Esto conduce a efectos potencialmente observables, cuyas restricciones experimentales en la magnitud conducen a restricciones en los parámetros PNP y, en consecuencia, a restricciones en la teoría de la gravedad que los predice. Se puede decir que los parámetros PPN describen las diferencias entre la newtoniana y la teoría de la gravedad descrita. El formalismo PPN es aplicable cuando los campos gravitatorios son débiles y las velocidades de movimiento de los cuerpos que los forman son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (más precisamente, la velocidad de la gravedad); ejemplos canónicos de aplicación son el movimiento del sistema solar. y sistemas de púlsares dobles . [1] [2] $c^{{-2}}$

Historia

La primera parametrización de la aproximación posnewtoniana pertenece a Eddington (Eddington, 1922 [3] ). Consideró, sin embargo, sólo el campo gravitatorio en el vacío alrededor de un cuerpo estático esféricamente simétrico [4] . Nordtvedt (Nordtvedt, 1968 [5] , 1969 [6] ) extendió el formalismo a 7 parámetros, y Will (1971 [7] ) introdujo en él la descripción de los cuerpos celestes como distribuciones extendidas del tensor de energía-momento [ 4] .

Las versiones más utilizadas del formalismo que se describen a continuación se basan en el trabajo de Ni (Ni, 1972 [8] ), Will y Nordtvedt (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), Misner , Thorn y Wheeler Gravity [ 10] y Will [1] [2] y tienen 10 parámetros.

Notación beta-delta

Diez parámetros post-newtonianos (parámetros PPN) caracterizan completamente el comportamiento de la gran mayoría de las teorías métricas de la gravedad en el límite de un campo débil [11] . El formalismo PPN ha demostrado ser una herramienta valiosa para probar la relatividad general [12] . En la notación de Will (Will, 1971 [7] ), Ni (Ni, 1972 [8] ) y Misner, Thorne y Wheeler (Misner et al., 1973 [10] ), los parámetros PPN tienen el siguiente significado convencional [ 13] :

$\gama$	¿Qué tan fuerte es la curvatura espacial generada por una unidad de masa en reposo? $g_{ij}$
$\beta$	¿Qué tan grande es la no linealidad en la adición de campos gravitatorios? $g_{{00}}$
$\beta_{1}$	¿Cuánta gravedad produce una unidad de energía cinética ? $g_{{00}}$ $\textstyle\frac12\rho_0v^2$
$\beta _{2}$	¿Cuánta gravedad produce una unidad de energía potencial gravitatoria ? $g_{{00}}$ $\rho_0/U$
$\beta_3$	¿Cuánta gravedad produce una unidad de energía interna de un cuerpo ? $g_{{00}}$ $\rho_0\Pi$
$\beta_4$	¿Cuánta gravedad produce una unidad de presión ? $g_{{00}}$ $pags$
$\zeta$	La diferencia entre la manifestación de la energía cinética radial y transversal en la gravedad en $g_{{00}}$
$\eta$	La diferencia entre la manifestación de esfuerzos radiales y transversales en gravedad en $g_{{00}}$
$\Delta_1$	¿Cuánta resistencia en marcos de referencia inerciales produce una unidad de cantidad de movimiento ? $g_{0j}$ $\rho_0v$
$\Delta_2$	La diferencia entre el grado de arrastre de los marcos de referencia inerciales en las direcciones radial y transversal

$g_{\mu\nu}$ es un tensor métrico simétrico de 4 por 4, y los índices espaciales y van de 1 a 3. $i$ $j$

En la teoría de Einstein, estos parámetros corresponden al hecho de que (1) la gravedad newtoniana se restablece para pequeñas velocidades de movimiento de los cuerpos y sus masas, (2) se cumplen las leyes de conservación de la energía, la masa, el momento y el momento angular, y (3) las ecuaciones de la teoría no dependen del marco de referencia. En tal notación, la teoría general de la relatividad tiene los parámetros PPN

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1

y [13] .

{\ estilo de visualización \ zeta = \ eta = 0}

Notación alfa-zeta

Una versión más moderna (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), también utilizada por Will (1981 [2] , 2014 [1] ), utiliza un conjunto equivalente diferente de 10 parámetros PST.

\gamma=\gamma

\beta=\beta

\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4

\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1

\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta

\zeta_1=\zeta

\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1

\zeta_3=\beta_3-1

\zeta_4=\beta_4-\gamma

\xi

se obtiene de .

3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2

El significado de los parámetros y , al mismo tiempo, el grado de manifestación de los efectos del marco de referencia preferido ( éter ) [14] . , , , y medir el grado de violación de las leyes de conservación de la energía, momento y momento angular [15] . $\alpha_{1}$ $\alpha_2$ $\alpha _{3}$ $\zeta_{1}$ $\zeta _{2}$ $\zeta _{3}$ $\zeta _{4}$ $\alpha _{3}$

En estas notaciones PPN, los parámetros GR son

\gamma=\beta=1

y [16] .

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4 }=\xi=0

Tipo de métrica alfa-zeta de la variante:

\begin{matriz}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\ gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1- 2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^ 3) \end{matriz}

g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i - \textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,

g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta_{ij}+O(\varepsilon^{2})\;

donde se asume la suma sobre índices repetidos, se define como el valor máximo del potencial newtoniano en el sistema , el cuadrado de la velocidad de la materia, o cantidades similares (todas tienen el mismo orden de magnitud), es la velocidad de la coordenada el PPN del sistema relativo al marco de reposo seleccionado, es el cuadrado de esta velocidad, y en caso contrario, el símbolo de Kronecker [17] . $\varepsilon^2$ $tu$ $w ^ yo$ $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ $\delta_{ij}=1$ $yo=j$ ${\ estilo de visualización 0}$

Sólo existen diez potenciales métricos simples: , , , , , , , , y [18] , tantos como parámetros PPN, lo que garantiza la unicidad de la solución PNP para cada teoría de la gravedad [17] . La forma de estos potenciales se asemeja al potencial gravitacional de la teoría de Newton: son iguales a ciertas integrales sobre la distribución de la materia, por ejemplo [18] , $tu$ $U_{ij}$ $\Phi_W$ $A$ $\phi _{1}$ $\Phi _{2}$ $\Phi_3$ $\Phi_4$ $V_i$ $Wisconsin$

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

Para obtener una lista completa de definiciones de potenciales métricos, consulte Misner, Thorn, Wheeler (Misner et al., 1973 [19] ), Will (1981 [18] , 2014 [20] ) y otros.

Procedimiento para derivar parámetros PPN a partir de la teoría de la gravedad

Se pueden encontrar ejemplos de análisis en Will, 1981 [2] . El proceso consta de nueve etapas [21] :

Paso 1: Definición de variables: (a) variables gravitatorias dinámicas tales como métrica , escalar gravitatoria , vector y/o campo tensorial , etc.; (b) variables geométricas preferidas tales como métrica de fondo plano , tiempo cosmológico , etc.; (c) variables de campos materiales (no gravitacionales). $g_{\mu\nu}$ $\fi$ $K_ {\mu}$ ${\ Displaystyle B_ {\ mu \ nu}}$ $\eta _{{\mu \nu ))$ $t$

Paso 2: Establecimiento de condiciones cosmológicas de contorno: suponiendo un universo de Friedmann (homogéneo e isotrópico), introducimos coordenadas isotrópicas en el marco de reposo del Universo (no siempre se necesita una solución cosmológica completa para esto). Los campos cosmológicos de fondo obtenidos se denominan , , , . $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ $\phi _{0}$ ${\displaystyle K_{\mu}^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu\nu}^{(0)))$

Paso 3: Introducimos nuevas variables , y si es necesario, también , , . ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)))$ ${\ estilo de visualización \ phi - \ phi _ {0))$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)))$

Paso 4: Sustituimos las expresiones obtenidas y el tensor de energía-momento de la materia (generalmente un fluido ideal) en las ecuaciones del campo gravitacional y descartamos términos de orden demasiado alto para otras variables gravitatorias dinámicas también. ${\ Displaystyle h_ {\ mu \ nu}}$

Paso 5: Resuelve ecuaciones de hasta . Suponiendo que esta cantidad tiende a cero lejos del sistema, obtenemos la forma La métrica newtoniana tiene la forma , , . Pasemos a las unidades en las que la "constante" gravitatoria, medida ahora lejos de la materia gravitante, es igual a uno . ${\ Displaystyle h_{00}}$ ${\ estilo de visualización O (2)}$ $h_{00}=2\alfa U$ $tu$ $\alfa$ $GRAMO$ $g_{00}=-c_{0}+2\alfa U$ ${\ estilo de visualización g_ {0j} = 0}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1))$ $G_{\mbox{hoy}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$

Paso 6: A partir de la versión linealizada de las ecuaciones de campo, obtenemos hasta y hasta . ${\ Displaystyle h_ {ij}}$ ${\ estilo de visualización O (2)}$ ${\ Displaystyle h_ {0j}}$ ${\ estilo de visualización O (3)}$

Paso 7: Encuentra hasta . Esta es la etapa más difícil, ya que las ecuaciones aquí se vuelven no lineales. El tensor de energía-momento también debe expandirse al orden deseado. ${\ Displaystyle h_{00}}$ ${\ estilo de visualización O (4)}$

Paso 8: vaya a la calibración DPL estándar.

Paso 9: Comparando la métrica resultante con la expresión PST conocida, determine los parámetros PST de la teoría. $g_{\mu\nu}$

Comparación de teorías de la gravedad

Una tabla que presenta los parámetros PNP de 23 teorías de la gravedad se encuentra en el artículo " Teorías alternativas de la gravedad ".

La mayoría de las teorías métricas se pueden dividir en varias categorías. Las teorías escalares de la gravedad incluyen teorías conformemente planas y teorías estratificadas con secciones espaciales estrictamente ortogonales a la dirección del tiempo.

En teorías conformemente planas, como las teorías de Nordström , la métrica es igual a y por lo tanto , lo cual es absolutamente incompatible con las observaciones. En las teorías estratificadas, como la teoría de Yilmaz , la métrica es y, por lo tanto, que nuevamente contradice las observaciones. $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta ))$ ${\ estilo de visualización \ gamma = -1}$ $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta ))$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} = -4 (\ gamma +1)}$

Otra clase de teorías son las teorías cuasi lineales del tipo Whitehead . para ellos Dado que las amplitudes relativas de los armónicos de las mareas terrestres dependen de y , sus medidas permiten rechazar todas esas teorías, excluyendo un valor tan grande de . ${\ estilo de visualización \ xi = \ beta}$ $\xi$ $\alpha_2$ $\xi$

Otra clase de teorías son las teorías bimétricas . Para ellos no es igual a 0. Sabemos por los datos de precesión del eje de giro para púlsares de milisegundos que , y esto efectivamente descarta las teorías bimétricas. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Luego vienen las teorías escalares-tensoriales , por ejemplo, la teoría de Brans-Dicke . Para tales teorías en primera aproximación . El límite da un , muy pequeño , que caracteriza el grado de interacción gravitatoria "escalar", ya medida que se refinan los datos experimentales, el límite en todo continúa aumentando, de modo que tales teorías se vuelven cada vez menos probables. $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5))$ $1/\omega$ $\omega$

La última clase de teorías son las teorías de vector-tensor . Para ellos, la "constante" gravitacional cambia con el tiempo y no es igual a 0. El alcance del láser de la Luna limita severamente la variación de la "constante" gravitatoria , por lo que estas teorías tampoco parecen confiables. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Algunas teorías métricas no entran en las categorías anteriores, pero tienen problemas similares.

Límites experimentales en parámetros PPN

Valores tomados de la revisión de Will, 2014 [23]

Parámetro	Fronteras	efectos	Experimento
$\gamma-1$	${\ Displaystyle 2.3\ cdot 10^{-5))$	Efecto Shapiro , Desviación gravitacional de la luz	Trayectoria Cassini-Huygens
$\beta-1$	$8\cdot 10^{-5}$	efecto Nordtvedt , desplazamiento del perihelio	Medición láser de la Luna , movimientos planetarios en el sistema solar
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Precesión del eje de rotación	Púlsares de milisegundos
$\alpha_{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Cambio de plano orbital	Telemetría láser de la Luna , púlsar J1738+0333
$\alpha_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Precesión del eje de rotación	Púlsares de milisegundos
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	autoaceleración	Estadísticas de desaceleración Pulsar
$\zeta_{1}$	$0.02$	-	Límite combinado de diferentes experimentos.
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Aceleración de púlsares dobles	REP 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{{-8}}$	tercera ley de newton	aceleración de la luna
$\zeta _{4}$	$0.006$ ‡	-	no es independiente

‡ Basado en Will (1976 [24] , 2014 [1] ). Teóricamente, en algunas teorías de la gravedad, es posible eludir esta limitación, luego se aplicará el límite más débil del artículo de Nee (1972 [8] ). $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ $|\zeta_4|< 0.4$

Notas

↑ 1 2 3 4 Voluntad, 2014 .
↑ 1 2 3 4 5 Voluntad, 1985 .
↑ Eddington, 1934 .
↑ 1 2 MTU, 1977 , Volumen 3, pág. 315.
↑ Nordtvedt, 1968 .
↑ Nordtvedt, 1969 .
↑ 12 Will , 1971 .
↑ 1 2 3 Ni, 1972 .
↑ 1 2 Will y Nordtvedt, 1972 .
↑ 12 MTU , 1977 .
↑ MTU, 1977 , volumen 3, pág. 313.
↑ MTU, 1977 , volumen 3, pág. 314.
↑ 1 2 MTU, 1977 , Volumen 3, pág. 317-318.
↑ Voluntad, 1985 , pág. 90-91.
↑ Voluntad, 1985 , pág. 99-100.
↑ Voluntad, 1985 , 5.2. Teoría general de la relatividad.
↑ 12 Will , 1985 , p. 87.
↑ 1 2 3 Will, 1985 , 4.1. Límite posnewtoniano. D. Potenciales posnewtonianos .
↑ MTU, 1977 , Volumen 3. § 39.8. Coeficientes métricos PPN.
↑ Voluntad, 2014 , pág. 32-33, Recuadro 2.
↑ Voluntad, 1985 , 5.1. Método de cálculo..
↑ Will, 2014 , 3.3 Teorías de la gravedad en competencia.
↑ Voluntad, 2014 , pág. 46.
↑ Voluntad, 1976 .

Literatura

Principal

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Will CM La confrontación entre la relatividad general y el experimento // Living Reviews in Relativity. - 2014. - Vol. 17 , núm. 4 . -doi :/ lrr-2014-4 . — . -arXiv : 1403.7377 ._ Archivado desde el original el 19 de marzo de 2015.

Adicional

Misner, C., Thorn K., Wheeler J. Gravedad. En 3 vols . - M. : Mir, 1977. - Traducido por Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
Eddington A. S. La teoría de la relatividad . - L.-M.: GTTI, 1934. - Traducido por Eddington, AS The Mathematical Theory of Relativity . — Prensa de la Universidad de Cambridge, 1922.
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