Señal telescópica

El signo telescópico ( signo de engrosamiento de Cauchy ) es un signo de convergencia de series numéricas con términos positivos, establecido por Augustin Cauchy en 1821 [1] .

Redacción

Deje que lo siguiente sea válido para los miembros de la serie: $f(n)$

la secuencia es monótonamente decreciente ${\ estilo de visualización \ {f (n) \}}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - los miembros no son negativos

Entonces la serie converge o diverge simultáneamente con la serie . $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})$

Prueba

1. Por las condiciones del teorema, la secuencia de términos es monótonamente decreciente, es decir cualquier miembro de la secuencia no debe ser menor que cada subsiguiente, lo que significa que la suma de los términos, a partir de , no excede de : ${\ estilo de visualización \ {f (n) \}}$ $metro$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Agrupamos los miembros de la serie y, usando esta propiedad de una sucesión decreciente, obtenemos: $\sum _{n=1}^{\infty}f(n)$

{\begin{alineado}\sum _{n=1}^{\infty}f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\soporte {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _ {\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\soporte {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^ {n}).\end{alineado}}

Es decir, si la serie converge, entonces según el criterio de comparación , la serie converge aún más. $\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty}f(n)$

2. Del mismo modo:

{\begin{alineado}\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})&=\soporte {f(1)+f(2)} _ {\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)}_{\leq f(2)+f(2) )+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _ {\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty}f(n).\end{alineado))

Es decir, si la serie diverge, entonces según el criterio de comparación , la serie diverge aún más. $\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty}f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty}f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty}f(n).

■

Generalizaciones

En 1864, Joseph Bertrand demostró que en lugar de una serie en este teorema, se puede utilizar cualquier serie de la forma: [2] $\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty}m^{n}f(m^{n})

, dónde

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

En 1902, Émile Borel amplió aún más este teorema al usar una serie de la forma en lugar de una serie: [3] $\sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty}a^{n}f([a]^{n})

, dónde

a\en \mathbb {R} ,a>1

Aquí está la parte entera de . $[a]$ $a$

Signo de condensación de Schlömilch

En 1873 , Oskar Schlömilch probó otra generalización de la función telescópica [4] :

Deje que lo siguiente sea válido para los miembros de la serie: $f(n)$

la secuencia es monótonamente decreciente ${\ estilo de visualización \ {f (n) \}}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - los miembros no son negativos

Entonces la serie converge o diverge simultáneamente con la serie y . $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty}(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty}2n\cdot f(n^{2})$

Signo de condensación de Knopp

En su libro de 1922, Konrad Knopp formuló la siguiente generalización de la función telescópica.

Dejar:

${\ estilo de visualización \ {f (n) \}}$ es una secuencia monótonamente decreciente (términos de la serie)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - la secuencia es no negativa
${\ estilo de visualización \ {u_ {n} \}}$ es una secuencia estrictamente creciente
$u_{n}\en \mathbb {N}$ (que significa ) $u_{n}>0$ ${\ estilo de visualización \ para todos los n}$
secuencia limitada $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$

Entonces la serie converge o diverge simultáneamente con la serie . $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Este teorema se atribuye a veces a Schlömilch [5] .

Por ejemplo, si consideramos una sucesión que satisface los requisitos del teorema para un fijo arbitrario , entonces según este teorema, la serie converge o diverge simultáneamente con la serie , y dado que la multiplicación de la serie por una constante distinta de cero no afecta su convergencia, la serie original converge o diverge simultáneamente con la serie en cualquier constante elegida . $u_{n}=c^{n}$ $c\en \mathbb {N} \setminus \{1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty}c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty}c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N},\;c\neq 1$

Notas

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. París: Impr. royale Debure frères, 1821. - págs. 135-136. — 576 pág.
↑ Bertrand J. Premiere Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (francés) . - París: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. — 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (francés) . - París: Gauthier-Villars, 1902. - 91 p.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (alemán) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , Teorema 2.4 con demostración.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Cauchy Prueba de condensación (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
D. D. Bonar y M. Khoury, Jr. Técnicas más sofisticadas // Serie Real Infinite . - Washington DC: Asociación Matemática de América, 2006. - pp 43-45 . — 264 págs. — ISBN 0-88385-745-6 .

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich