Lógica proposicional

La lógica proposicional , la lógica proposicional ( lat. propositio - "enunciado" [1] ) o cálculo proposicional [2] , también lógica de orden cero , es una rama de la lógica simbólica que estudia enunciados complejos formados a partir de enunciados simples y sus relaciones. A diferencia de la lógica de predicados , la lógica proposicional no considera la estructura interna de los enunciados simples, solo toma en cuenta por qué conjunciones y en qué orden los enunciados simples se combinan en complejos [3] .

A pesar de su importancia y amplio alcance, la lógica proposicional es la lógica más simple y tiene medios muy limitados para el estudio de los juicios [2] .

El lenguaje de la lógica proposicional

El lenguaje de la lógica proposicional (lenguaje proposicional [4] ) es un lenguaje formalizado diseñado para analizar la estructura lógica de proposiciones complejas [1] .

Sintaxis de la lógica proposicional

Símbolos iniciales, o el alfabeto del lenguaje lógico proposicional [5] :

conjunto de variables proposicionales (letras proposicionales):

Var=\{p,q,r...\}

Conectivos proposicionales (conjunciones lógicas):

Símbolo	Sentido
$\neg$	signo negativo
$\tierra$ o &	Signo de conjunción ("Y lógico")
$\vee$	Signo de disyunción ("O lógico")
$\flecha correcta$	signo de implicación

Caracteres auxiliares: paréntesis izquierdo (, paréntesis derecho). [6]

Fórmulas proposicionales

Una fórmula proposicional es una palabra en el lenguaje de la lógica proposicional [7] , es decir, una secuencia finita de caracteres alfabéticos construidos de acuerdo con las reglas que se exponen a continuación y que forman una expresión completa en el lenguaje de la lógica proposicional [1] .

Definición inductiva del conjunto de fórmulas de lógica proposicional : [4] [1] ${\ estilo de visualización fm}$

Si , entonces (toda variable proposicional es una fórmula); ${\ estilo de visualización p \ en Var}$ ${\ estilo de visualización p \ en Fm}$
si es una fórmula, entonces también es una fórmula; $A$ $\neg A$
si y son fórmulas arbitrarias, entonces , , también son fórmulas. $A$ $B$ $(A\cuña B)$ $(A\vee B)$ $(De la A, a la B)$

No hay otras fórmulas en el lenguaje de la lógica proposicional.

La forma Backus-Naur , que define la sintaxis de la lógica proposicional, tiene la notación:

$A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land A)\;|\;(A\lor A)\;|\;(A\to A )$

Las letras latinas mayúsculas , y otras que se utilizan en la definición de una fórmula, no pertenecen al lenguaje de la lógica proposicional, sino a su metalenguaje, es decir, al lenguaje que se utiliza para describir el lenguaje de la lógica proposicional misma. Las expresiones que contienen letras metálicas y otras no son fórmulas proposicionales, sino esquemas de fórmulas. Por ejemplo, una expresión es un esquema que se ajusta a fórmulas y otras [1] . $A$ $B$ $\neg A$ $(De la A, a la B)$ $(A\cuña B)$ $(p \ cuña q)$ $(p\cuña (r\vee s))$

Con respecto a cualquier secuencia de caracteres alfabéticos del lenguaje de la lógica proposicional, se puede decidir si se trata de una fórmula o no. Si esta secuencia se puede construir de acuerdo con los párrafos. 1-3 definiciones de fórmula, entonces es una fórmula, si no, entonces no es una fórmula [1] .

Convenciones de corchetes

Dado que hay demasiados corchetes en las fórmulas construidas por definición, a veces no son necesarios para una comprensión inequívoca de la fórmula, existe una convención sobre los corchetes , según la cual se pueden omitir algunos de los corchetes. Los registros con paréntesis omitidos se restauran de acuerdo con las siguientes reglas.

Si se omiten los paréntesis exteriores, se restauran.
Si hay dos conjunciones o disyunciones una al lado de la otra (por ejemplo, ), entonces la parte más a la izquierda se encierra primero entre corchetes (es decir, estos conectores son asociativos a la izquierda ). $A\cuña B\cuña C$
Si hay diferentes paquetes cerca, los corchetes se organizan según las prioridades: y (de mayor a menor). $\neg,\cuña,\vee$ $\a$

Cuando se habla de la longitud de una fórmula , se refieren a la longitud de la fórmula implícita (restaurada), y no a la notación abreviada.

Por ejemplo: la entrada significa fórmula y su longitud es 12. $A\vee B\cuña\neg C$ $(A\vee (B\cuña (\neg C)))$

Formalización e interpretación

Como cualquier otro lenguaje formalizado , el lenguaje de la lógica proposicional puede ser considerado como el conjunto de todas las palabras construidas utilizando el alfabeto de este lenguaje [8] . El lenguaje de la lógica proposicional puede verse como un conjunto de todo tipo de fórmulas proposicionales [4] . Las oraciones del lenguaje natural se pueden traducir al lenguaje simbólico de la lógica proposicional, donde serán fórmulas de la lógica proposicional. El proceso de traducir un enunciado en una fórmula en el lenguaje de la lógica proposicional se denomina formalización. El proceso inverso de sustituir proposiciones específicas por variables proposicionales se llama interpretación [9] .

Axiomas y reglas de inferencia de un sistema formal de lógica proposicional

Una posible variante de la axiomatización ( hilbertiana ) de la lógica proposicional es el siguiente sistema de axiomas:

$A_{1}:A\flecha derecha (B\flecha derecha A)$ ;

$A_{2}:(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$ ;

$A_{3}:A\cuña B\rightarrow A$ ;

$A_{4}:A\cuña B\flecha derecha B$ ;

$A_{5}:A\flecha derecha (B\flecha derecha (A\cuña B))$ ;

$A_{6}:A\rightarrow (A\vee B)$ ;

$A_{7}:B\rightarrow (A\vee B)$ ;

$A_{8}:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$ ;

$A_{9}:\neg A\rightarrow (A\rightarrow B)$ ;

$A_{{10}}:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$ ;

$A_{{11}}:A\vee \neg A$ .

junto con la única regla:

${\frac{A\quad (A\rightarrow B)}{B}}$ ( modo ponens )

El teorema de corrección del cálculo proposicional establece que todos los axiomas enumerados anteriormente son tautologías y, utilizando la regla modus ponens , solo se pueden obtener proposiciones verdaderas a partir de proposiciones verdaderas. La demostración de este teorema es trivial y se reduce a una verificación directa. Mucho más interesante es el hecho de que todas las demás tautologías se pueden obtener de los axiomas usando la regla de inferencia: este es el llamado teorema de completitud de la lógica proposicional.

Tablas de verdad de operaciones básicas

La tarea principal de la lógica proposicional es establecer el valor de verdad de una fórmula si se dan los valores de verdad de las variables incluidas en ella. El valor de verdad de la fórmula en este caso se determina inductivamente (con los pasos que se usaron para construir la fórmula) usando tablas de verdad de conectivos [10] .

Sea el conjunto de todos los valores de verdad y sea el conjunto de las variables proposicionales. Entonces la interpretación (o modelo) del lenguaje lógico proposicional se puede representar como un mapeo $\matemáticas {B}$ $\{0,1\}$ ${\ estilo de visualización Var}$

M\dos puntos Var\to \mathbb {B}

que asocia cada variable proposicional con un valor de verdad [10] . $pags$ $M(pag)$

La puntuación de negación viene dada por la tabla: $\negp$

$pags$	$\negp$
${\ estilo de visualización 0}$	$una$
$una$	${\ estilo de visualización 0}$

Los valores de los conectores lógicos dobles (implicación), (disyunción) y (conjunción) se definen de la siguiente manera: $\flecha correcta$ $\vee$ $\cuña$

$pags$	$q$	$p\flecha derecha q$	$p \ cuña q$	$p\veeq$
${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$una$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$
${\ estilo de visualización 0}$	$una$	$una$	${\ estilo de visualización 0}$	$una$
$una$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$una$
$una$	$una$	$una$	$una$	$una$

Fórmulas idénticamente verdaderas (tautologías)

Una fórmula es idénticamente verdadera si es verdadera para cualquier valor de sus variables constituyentes (es decir, para cualquier interpretación) [11] . Los siguientes son algunos ejemplos bien conocidos de fórmulas lógicas proposicionales idénticamente verdaderas:

Leyes de Morgan :

\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\cuña \neg q)

;

\neg (p\cuña q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)

;

ley de la contraposición :

(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)

;

leyes de absorcion :

p\vee (p\cuña q)\leftrightarrow p

;

p\cuña (p\vee q)\leftrightarrow p

;

leyes de distribucion :

p\cuña (q\vee r)\leftrightarrow (p\cuña q)\vee (p\cuña r)

;

p\vee (q\cuña r)\leftrightarrow (p\vee q)\cuña (p\vee r)

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 Chupakhin, Brodsky, 1977 , pág. 203-205.
↑ 1 2 Kondakov, 1971 , artículo "Cálculo proposicional".
↑ ENF, 2010 .
↑ 1 2 3 Gerasimov, 2011 , pág. 13
↑ Voishvillo, Degtyarev, 2001 , pág. 91-94.
↑ Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Lógica matemática. - M. , Nauka , 1979. - pág. 24
↑ Edelman, 1975 , pág. 130.
↑ Edelman, 1975 , pág. 128.
↑ Igoshin, 2008 , pág. 32.
↑ 1 2 Gerasimov, 2011 , pág. 17-19.
↑ Gerasimov, 2011 , pág. 19

Literatura

Kondakov N. I. Diccionario lógico / Gorsky D. P. - M . : Nauka, 1971. - 656 p.
Edelman S. L. Lógica matemática. - M. : Escuela superior, 1975. - 176 p.
Chupakhin I. Ya., Brodsky EN Lógica formal. - Leningrado: Editorial de la Universidad de Leningrado , 1977. - 357 p.
Voishvillo E. K. , Degtyarev M. G. Lógica. - M. : VLADOS-PRESS, 2001. - 528 p. — ISBN 5-305-00001-7 .
Igoshin VI Lógica matemática y teoría de algoritmos. - 2ª ed., estereotipo.. - M. : Centro Editorial "Academia", 2008. - 448 p. - ISBN 978-5-7695-4593-1 .
A. S. Karpenko. Lógica Proposicional // Nueva Enciclopedia Filosófica : en 4 volúmenes / anterior. ed. científica consejo de V. S. Stepin . — 2ª ed., corregida. y adicional - M. : Pensamiento , 2010. - 2816 p.
Gerasimov AS Curso de lógica matemática y teoría de la computabilidad . - San Petersburgo. : Editorial "LEMA", 2011. - 284 p. - ISBN 978-5-98709-292-7 .

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