Ecuación mixta

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Las ecuaciones mixtas (ecuaciones de tipo mixto) son una clase de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que son hiperbólicas en una región del espacio variable y elípticas en otra. Estas áreas están separadas por una línea (en el caso de dos variables independientes) o una superficie (en el caso de tres o más variables independientes), en cuyos puntos la ecuación es parabólica o indefinida. Esta línea (superficie) se denomina línea de cambio de tipo (superficie) o línea de degeneración (superficie) .

En el caso de dos variables independientes, la línea de degeneración es la curva discriminante de la ecuación característica. Una amplia clase de estas ecuaciones se puede representar como: [1] $y{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}z}{\parcial y^{2))}+ a(x,y){\frac {\parcial z}{\parcial x))+b(x,y){\frac {\parcial z}{\parcial y))+c(x,y)z+ d (x,y)=0.$

En comparación con las ecuaciones de tipo hiperbólico, elíptico y parabólico, la teoría de las ecuaciones mixtas tiene una historia relativamente corta. Las ecuaciones mixtas con dos variables independientes fueron investigadas sistemáticamente por primera vez por los matemáticos italianos F. Tricomi y M. Cibrario . En la URSS, muchos matemáticos estudiaron ecuaciones de tipo mixto, en particular, recibieron mucha atención en las escuelas de M. A. Lavrentiev y A. V. Bitsadze . Las ecuaciones de tipo mixto han encontrado numerosas aplicaciones, por ejemplo, en problemas relacionados con la dinámica de gases transónicos.

Ecuación de Tricomi

El ejemplo más simple de una ecuación mixta es la ecuación de Tricomi (a veces también llamada ecuación de Euler-Tricomi ):

${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy))$ ,

relacionado con el tipo hiperbólico en la región y con el tipo elíptico en la región.La línea de cambio del tipo de la ecuación de Tricomi coincide con el eje y , y la ecuación de características coincide con la denominada forma normal de Cibrario . Las características forman una familia de parábolas semicúbicas que se encuentran en una región hiperbólica con puntos de cúspide en la línea de cambio de tipo. $x>0$ ${\ estilo de visualización x <0.}$

Véase también

gaz trikomi

Notas

↑ Trikomi, 1947 , pág. 6.

Literatura

Tricomi F. Sobre ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden de tipo mixto. - M. : OGIZ, 1947. - 191 p.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivada parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), págs. 889-906.
Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, - Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
Lavrentiev M. A., Bitsadze A. V. Sobre el problema de las ecuaciones de tipo mixto, Dokl. AN 70:3 (1950), 373–376.
Bitsadze A. V. Ecuaciones de tipo mixto, - Cualquier edición.
Smirnov M. M. Ecuaciones de tipo mixto, - Cualquier edición.
Kuzmin A. G. Ecuaciones no clásicas de tipo mixto y sus aplicaciones a la dinámica de gases, Izd. Universidad Estatal de Leningrado, 1990.
Tricomi FG. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivate parziali di tipo misto, Univ. Politec. Turín, Rend. Sem. Estera. 12 (1953), 37-52.
C. Ferrari, FG Tricomi. Aerodinámica transónica, Academic Press, Nueva York, 1968.
Ricardo von Mises . Teoría matemática de los flujos de fluidos compresibles, Moscú, 1961.
Lipman Bers . Aspectos matemáticos de la dinámica de gases subsónicos y transónicos, Estudios en Matemáticas Aplicadas. 3. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 pág. (1958).

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