Teorema de Kotelnikov

El teorema de Kotelnikov (en la literatura inglesa - el teorema de Nyquist  - Shannon , el teorema de muestreo ) - una declaración fundamental en el campo del procesamiento de señales digitales , conectando señales continuas y discretas y afirmando que "cualquier función que consta de frecuencias de 0 a , puede ser transmitido continuamente con cualquier precisión con números que se suceden en menos de segundos » [1] .

Al probar el teorema, tomamos restricciones en el espectro de frecuencias , donde [2] .

Explicación

Esta interpretación considera el caso ideal cuando la señal comenzó hace un tiempo infinito y nunca termina, y además no tiene puntos de ruptura en la característica de tiempo . Si una señal tiene discontinuidades de cualquier tipo en función de su tiempo, entonces su potencia espectral no se desvanece en ninguna parte. Esto es exactamente lo que significa el concepto de "un espectro limitado desde arriba por una frecuencia finita ".

Por supuesto, las señales reales (por ejemplo, el sonido en un medio digital) no tienen tales propiedades, ya que son finitas en el tiempo y suelen tener discontinuidades en la característica temporal. En consecuencia, el ancho de su espectro es infinito. En este caso, la restauración completa de la señal es imposible, y los siguientes corolarios se derivan del teorema de Kotelnikov [3] [4] :

• cualquier señal analógica puede restaurarse con cualquier precisión a partir de sus muestras discretas, tomadas con una frecuencia , donde  es la frecuencia máxima, que está limitada por el espectro de la señal real;
• si la frecuencia máxima en la señal es igual o superior a la mitad de la frecuencia de muestreo ( aliasing ), entonces no hay forma de restaurar la señal de discreta a analógica sin distorsión [5] .

En términos más generales, el teorema de Kotelnikov establece que una señal continua se puede representar como una serie de interpolación:

donde  está la función sinc . El intervalo de muestreo satisface las restricciones . Los valores instantáneos de esta serie son muestras discretas de la señal .

Historia

Aunque en la literatura occidental el teorema suele denominarse teorema de Nyquist con referencia al trabajo " Ciertos temas en la teoría de la transmisión telegráfica " de 1928 , en este trabajo estamos hablando únicamente del ancho de banda requerido de una línea de comunicación para transmitir una señal pulsada (la repetición debe ser inferior al doble del ancho de banda). Por lo tanto, en el contexto del teorema de muestreo, es justo hablar solo de la frecuencia de Nyquist. Casi al mismo tiempo , Karl Küpfmüller obtuvo el mismo resultado [6] . En estos trabajos no se discute la posibilidad de una reconstrucción completa de la señal original a partir de lecturas discretas. El teorema fue propuesto y probado por Vladimir Kotelnikov en 1933 en su trabajo “Sobre la capacidad de transmisión del éter y el cable en las telecomunicaciones”, en el que, en particular, uno de los teoremas se formuló de la siguiente manera [7] [8] : “ Cualquier función que consta de frecuencias de 0 a , se puede transmitir de forma continua con cualquier precisión utilizando números que se suceden uno tras otro en segundos » . Independientemente de él, este teorema fue demostrado en 1949 (16 años después) por Claude Shannon [9] , razón por la cual en la literatura occidental este teorema se suele denominar teorema de Shannon. En 1999, la Fundación Internacional de Ciencias Eduard Rein (Alemania) reconoció la prioridad de Kotelnikov otorgándole un premio en la nominación "para investigación fundamental" por el primer teorema de muestreo matemáticamente formulado y probado con precisión en el aspecto de las tecnologías de la comunicación [10] . La investigación histórica muestra, sin embargo, que el teorema de muestreo, tanto en términos de afirmar la posibilidad de reconstruir una señal analógica a partir de lecturas discretas, como en términos del método de reconstrucción, fue considerado en términos matemáticos por muchos científicos anteriormente. En particular, la primera parte fue formulada allá por 1897 por Borel [11] .

Variaciones y generalizaciones

Posteriormente, se propusieron un gran número de métodos diferentes para aproximar señales con un espectro limitado, generalizando el teorema de muestreo [12] [13] . Entonces, en lugar de una serie cardinal en funciones sinc , que son copias desplazadas de la respuesta de impulso de un filtro de paso bajo ideal, puede usar series en convoluciones finitas o infinitas de funciones sinc . Por ejemplo, la siguiente generalización de la serie de Kotelnikov de una función continua con un espectro finito es válida en base a las transformadas de Fourier de funciones atómicas [14] :

donde los parámetros y satisfacen la desigualdad , y el intervalo de discretización:

Véase también

• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon
• Frecuencia de Nyquist
• principal canal digital
• Extrapolador de orden cero
• Extrapolador de primer orden
• Cuantización (procesamiento de señales)
• remuestreo
• El teorema de muestreo en el dominio de la frecuencia

Notas

1. ↑ Bikkenin, Chesnókov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. Sobre el rendimiento del éter y el cable en las telecomunicaciones - Comité de Energía de toda la Unión. // Materiales para el 1er Congreso de toda la Unión sobre la reconstrucción técnica de las comunicaciones y el desarrollo de la industria de bajo voltaje, 1933. Reimpresión del artículo en UFN, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Telefonía digital. - Radio y comunicación, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. Fundamentos teóricos de la comunicación multicanal. - M.: Radio y comunicación, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Reconstrucción de señales de sus muestras basadas en el teorema de muestreo de Kotelnikov Copia de archivo del 25 de febrero de 2015 en Wayback Machine . — Instrumentación (Nº 5, 2010). — CDU 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, núm. 11, págs. 459-467, 1928. (Alemán); K. Küpfmüller, Sobre la dinámica de los controladores automáticos de ganancia, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, núm. 11, págs. 459-467. (Traducción en inglés).
7. ↑ Kotelnikov V. A. Sobre el rendimiento del "éter" y el cable en las telecomunicaciones  // Uspekhi fizicheskikh nauk: Journal. - 2006. - Nº 7 . - S. 762-770 . Archivado desde el original el 23 de junio de 2013.
8. ↑ Kharkevich A. A. Espectros y análisis - 4.ª ed. - Moscú: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ CE Shannon. Comunicación en presencia de ruido. proc. Instituto de Ingenieros de Radio. vol. 37. No. 1. págs. 10-21. Ene. 1949.
10. ↑ En el centenario del nacimiento del académico Vladimir Alexandrovich Kotelnikov Copia de archivo fechada el 23 de junio de 2013 en Wayback Machine .
11. ↑ Erik Meijering. Una cronología de la interpolación desde la astronomía antigua hasta el procesamiento moderno de señales e imágenes, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Teorema de muestreo de Jerry A. J. Shannon, sus diversas generalizaciones y aplicaciones. Revisar. - TIIER, Vol. 65, No. 11, 1977, p. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Yakovlev V. P. Progreso en la Unión Soviética en el campo de la teoría de funciones finitas y sus aplicaciones en física y tecnología. - TIIER, 1977, v. 65, N° 7, p. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. Procesamiento de señales digitales basado en el teorema de Whittaker-Kotelnikov-Shannon. - M.: Ingeniería de radio, 2004.

Literatura

• H. Nyquist . Ciertos temas en la teoría de la transmisión telegráfica. Trans. AIEE, vol. 47, págs. 617-644, abril. 1928.
• Kotelnikov V. A. Sobre la capacidad del éter y el cable en las telecomunicaciones - Comité de Energía de toda la Unión. // Materiales para el 1er Congreso de toda la Unión sobre la reconstrucción técnica de las comunicaciones y el desarrollo de la industria de bajo voltaje, 1933. Reimpresión del artículo en UFN, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Teoría de la comunicación eléctrica. - M. : Centro Editorial "Academia", 2010. - 329 p. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Enlaces

• Teorema de Kotelnikov en dsplib.org
• Muestreo de señales analógicas Una presentación interactiva de muestreo de tiempo. Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart