Ecuaciones de Bargmann-Wigner

Las ecuaciones de Bargmann-Wigner son ecuaciones de espinor multicomponente relativistamente invariantes del movimiento de partículas libres con masa distinta de cero y espín arbitrario . [una]

Recibió el nombre en honor a Valentine Bargman y Eugene Wigner .

Historia

Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928 y luego (1936) la generalizó a partículas con cualquier espín medio entero antes de que Fiertz y Pauli encontraran posteriormente las mismas ecuaciones en 1939 y aproximadamente una década antes que Bargmann y Wigner. [2] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz o grupo de Poincaré . [3] Wigner señala que Ettore Majorana [4] y Dirac utilizaron operadores infinitesimales y clasifican las representaciones como irreducibles, factoriales y unitarias.

En 1948, Valentin Bargman y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica de grupos de ecuaciones de ondas relativistas. [5]

Formulación de las ecuaciones

Para una partícula masiva libre eléctricamente neutra con espín , las ecuaciones BV son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales , cada una de las cuales tiene una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El sistema de ecuaciones tiene la forma [2] [6] [7] [8] [9] $j$ ${\ estilo de visualización 2j}$

{\begin{alineado}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P))_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha_{ 1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\ mu }{\sombrero {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{ 2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\ mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha ' _ {2j}}=0\\\end{alineado}}

y sigue la regla general;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _ {\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j))=0$

( 1 )

para _ ${\ estilo de visualización r = 1,2,... 2j}$

La función de onda de la BV tiene componentes ${\ estilo de visualización \ psi = \ psi (\ mathbf {r}, t)}$

{\ estilo de visualización \ psi _ {\ alfa _ {1} \ alfa _ {2} \ alfa _ {3} \ cdots \ alfa _ {2j}} (\ mathbf {r}, t)}

y es un campo de espinor de 4 componentes de rango 2j. Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, es decir, hay un componente de todo el campo espinor , aunque una función de onda totalmente simétrica reduce el número de componentes independientes a . A continuación, están las matrices de Dirac , y ${\ estilo de visualización 4^{2j))$ $\psi$ ${\ estilo de visualización 2 (2j + 1)}$ $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$

{\sombrero {P}}_{\mu }=i\hbar \parcial _{\mu }

es el operador de cantidad de movimiento de cuatro dimensiones .

El operador que compone cada ecuación es una matriz de dimensión , porque las matrices, y son escalares multiplicadas por la matriz identidad de dimensión (normalmente no se escribe por simplicidad). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices de Dirac : [2] $(-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\parcial _{\mu }+mc)$ $4\veces 4$ $\gamma ^{{\mu ))$ $mc''$ $4\veces 4$

{\begin{alineado}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{ c))-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\ \0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{ 2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\ sombrero {p}}_{z}&{\sombrero {p}}_{x}-i{\sombrero {p}}_{y}\\0&-{\frac {\sombrero {E}}{c ))+mc&{\sombrero {p}}_{x}+i{\sombrero {p}}_{y}&-{\sombrero {p}}_{z}\\-{\sombrero {p} }_{z}&-({\sombrero {p}}_{x}-i{\sombrero {p}}_{y})&{\frac {\sombrero {E}}{c}}+mc&0 \\-({\sombrero {p}}_{x}+i{\sombrero {p}}_{y})&{\sombrero {p}}_{z}&0&{\frac {\sombrero {E }}{c}}+mc\\\end{matrix}}\\\end{alineado}}}

donde es un vector, cada componente del cual es una matriz de Pauli , es un operador de energía, es un operador de cantidad de movimiento tridimensional , denota una matriz identidad de dimensión , los ceros (en la segunda línea) denotan una matriz de bloques de dimensión compuesta por cero matrices _ $\mathbf {\sigma} =(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})=(\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma _ {z})$ $mi$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ ${\ estilo de visualización I_ {2}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$ ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

Las ecuaciones BV tienen algunas propiedades de la ecuación de Dirac:

las ecuaciones BV son covariantes de Lorentz ,
todos los componentes de las soluciones de las ecuaciones BV satisfacen la ecuación de Klein-Gordon y, por lo tanto, satisfacen la relación energía-momento relativista ,

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

las ecuaciones BV admiten una segunda cuantización .

A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede tener en cuenta la acción de un campo electromagnético al incluir un término que describe la interacción electromagnética mínima , el formalismo BV, al tratar de tener en cuenta la interacción electromagnética, contiene contradicciones y dificultades internas. En otras palabras, es imposible hacer un cambio en las ecuaciones BV , donde es la carga eléctrica de la partícula y es el potencial electromagnético . [10] [11] Las 4 corrientes electromagnéticas y las partículas multipoliméricas se utilizan para estudiar las interacciones electromagnéticas en este caso . [12] [13] ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu ))$ $mi$ $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$

Estructura del grupo Lorentz

Representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones BV: [10]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{ (0,1/2)}\derecho]\,.

donde denota una representación irreducible. ${\ Displaystyle D_ {r}}$

Véase también

Ecuaciones de Dirac para dos cuerpos
Generalizaciones de las matrices de Pauli
Matriz D de Wigner
Matrices de Weil-Brauer
Matrices de Dirac de mayores dimensiones
Las ecuaciones de Joos-Weinberg son ecuaciones alternativas que describen partículas libres con cualquier espín.
Teoría de espines superiores

Fuentes

Notas

^ Este artículo usa la convención de suma de Einstein para índices de tensor / espinor y usa el símbolo circunflejo para representar operadores cuánticos .
↑ 123 E.A. _ _ Jeffery (1978). “Minimización de componentes de la función de onda de Bargman-Wigner”. Revista australiana de física . 31 (2): 137. Código Bib : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10.1071/ph780137 .
↑ E. Wigner (1937). "Sobre las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149-204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307/1968551 . JSTOR1968551 . _ Archivado (PDF) desde el original el 4 de octubre de 2015 . Consultado el 12 de septiembre de 2022 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ E. Majorana Teoría relativista de una partícula con un momento angular interno arbitrario // L. Michel, M. Schaaf Simetría en física cuántica. - M., Mir , 1974. - pág. 239-247
↑ Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). “Discusión teórica grupal de las ecuaciones de onda relativistas” . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 34 (5): 211-23. Código Bib : 1948PNAS...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 . Carácter de salto de línea |journal=en la posición #16 ( ayuda )
↑ RK Loide; I.Ots; R. Sarre (2001). “Generalizaciones de la ecuación de Dirac en forma covariante y hamiltoniana”. revista de física a. 34 (10): 2031-2039. Código Bib : 2001JPhA...34.2031L . DOI : 10.1088/0305-4470/34/10/307 .
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↑ Lyakhovsky V. D. , Bolokhov A.A. Grupos de simetría y partículas elementales. - L., Universidad Estatal de Leningrado , 1983. - p. 326 - 327
↑ Novozhilov Yu.V. Introducción a la teoría de las partículas elementales. - M., Nauka , 1972. - pág. 150 - 153
↑ 1 2 T. Jaroszewicz; PD Kurzepa (1992). “Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias”. Anales de Física . 216 (2): 226-267. Código Bib : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ CR Hagen . El método Bargmann-Wigner en la relatividad galileana, págs. 97-108.
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↑ Cédric Lorce (2009). “Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: ¿Parte 2? Momentos naturales y densidades de carga transversal. Examen físico D. 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Bibcode : 2009PhRvD..79k3011L . DOI : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .

Lecturas adicionales

Libros

Weinberg, S, La teoría cuántica de campos, vol II
Weinberg, S, La teoría cuántica de campos, vol III
R. Penrose. El Camino a la Realidad. - Libros antiguos, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .

Artículos seleccionados

ES Lorenz (1941). "Una generalización de las ecuaciones de Dirac" . PNAS . 27 (6): 317-322. Código Bib : 1941PNAS...27..317L . DOI : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
VV Dvoeglazov . El formalismo de Bargmann-Wigner modificado para campos de espín superior y mecánica cuántica relativista.
DN Williams (1965). "El álgebra de Dirac para cualquier giro" (PDF) . Lecciones de Física Teórica . 7A . Prensa de la Universidad de Colorado. páginas. 139-172.
H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). “Operador de proyección y propagador de Feynman para una partícula masiva libre de espín arbitrario” . Comunicaciones en Física Teórica . 41 (3): 405-418. Código Bib : 2004CoTPh..41..405H . DOI : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
V. V. Neznamov (2006). “Sobre la teoría de los campos interactuantes en la representación de Foldy-Wouthuysen”. física Parte. nucle . 37 (2006): 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Código Bib : 2004hep.th...11050N . DOI : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
H. Stumpf . Ecuaciones generalizadas de Broglie-Bargmann-Wigner, una formulación moderna de la teoría de la fusión de De Broglie , página 785.
DGC McKeon y TN Sherry (2004), Las ecuaciones de Bargmann-Wigner en el espacio esférico, archivo iv : hep-th/ 0411090 .
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De las ecuaciones de onda galileanas invariantes a las relativistas , página 884.
DV Ahluwalia (1997). “Reseña del libro: La teoría cuántica de los campos vol. I y II de S. Weinberg”. Fundar. física _ 10 (3): 301-304. arXiv : física/9704002 . Código Bib : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/ bf02764211 . S2CID 189940978 .
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Enlaces externos

Ecuaciones de onda relativistas:

Grupos de Lorentz en física cuántica relativista: