Partícula libre

Una partícula libre es un término usado en física para referirse a partículas que no interactúan con otros cuerpos y tienen solo energía cinética .

La colección de partículas libres forma un gas ideal .

A pesar de la simplicidad de la definición, en física el concepto de partícula libre juega un papel muy importante, ya que la ecuación de movimiento debe ser satisfecha en primer lugar para las partículas libres.

Mecánica clásica

En la física clásica, una partícula libre retiene su velocidad y, en consecuencia, también se conserva el impulso . La energía cinética de una partícula libre viene dada por las fórmulas

$E=T={\frac{mv^{2}}{2}}$ , donde m es la masa de la partícula, en el caso no relativista.
$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , donde c es la velocidad de la luz , en el caso relativista.

Mecánica cuántica no relativista

Las partículas cuánticas se describen mediante la ecuación de Schrödinger

i\hbar {\frac {\parcial \psi }{\parcial t))=-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\Delta \psi

Las soluciones a esta ecuación vienen dadas por la superposición de funciones de onda, que tienen la forma

\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }

dónde

E={\frac {\hbar^{2}k^{2}}{2m}}

$A_{\mathbf{k} }$ cualquier número complejo .

El vector de onda es el único número cuántico para una partícula mecánica cuántica libre . ${\ estilo de visualización \ mathbf {k}}$

Una partícula cuántica libre puede estar en un estado con un vector de onda estrictamente definido. Entonces su cantidad de movimiento también está estrictamente definida y es igual a . En este caso, la energía de la partícula también está definida y es igual a E. Sin embargo, la partícula cuántica también puede estar en un estado mixto , en el que no está definido ni el momento ni la energía. $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

Partícula libre en coordenadas curvilíneas

Hamiltoniano de una partícula libre

H=-{\frac {\hbar^{2}}{2m}}\Delta

es proporcional al operador de Laplace , que en coordenadas curvilíneas, así como en una variedad riemanniana arbitraria, tiene la forma [1]

\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\parcial }{\parcial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ ik}{\frac {\parcial }{\parcial q^{k))}\right)

Así, el hamiltoniano de una partícula libre en coordenadas curvilíneas tiene la forma: [2]

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\parcial }{\parcial q^{i} }}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\parcial }{\parcial q^{k}}}\right)

La función clásica de Hamilton tiene la forma

H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k }

En este caso, surge un problema de ordenamiento no trivial, que solo puede resolverse localmente [3]

H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k }+i\hbar g^{es}(\mathbf {Q} )\Gamma _{es}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)

Partícula cuántica relativista

Las partículas cuánticas relativistas se describen mediante diferentes ecuaciones de movimiento, según el tipo de partículas. Para los electrones y, al mismo tiempo, sus antipartículas , los positrones , es válida la ecuación de Dirac . En un estado con cierto valor de cantidad de movimiento p, la energía de las partículas es igual a

{\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2))))

donde el signo "+" corresponde a un electrón, y el signo "-" corresponde a un positrón. Para un electrón relativista, también aparece un número cuántico adicional: el espín .

Otras partículas se describen mediante sus propias ecuaciones específicas, por ejemplo, una partícula sin espín se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon .

Nota

↑ El operador de Laplace en una variedad riemanniana se llama operador de Laplace-Beltrami .
↑ Flugge, 2008 , pág. 36.
↑ Takhtajyan, 2011 , pág. 146.

Literatura

Flygge Z. Problemas de mecánica cuántica / Traducción del inglés, editado por A.A. Sokolova . - M. : Editorial LKI, 2008. - T. 1. - 344 p.
Takhtadzhyan L.A. Mecánica cuántica para matemáticos / Traducido del inglés por Ph.D. SA Slavnov . - Ed. 2do. — M. -Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica regular y caótica", Instituto de Investigación Informática de Izhevsk, 2011. — 496 p. - ISBN 978-5-93972-900-0 .

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio