Método del rectángulo

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El método de los rectángulos es un método de integración numérica de una función de una variable, que consiste en sustituir el integrando por un polinomio de grado cero, es decir, una constante, sobre cada segmento elemental. Si consideramos el gráfico del integrando, entonces el método consistirá en un cálculo aproximado del área debajo del gráfico sumando las áreas de un número finito de rectángulos, cuyo ancho estará determinado por la distancia entre la integración vecina correspondiente nodos, y la altura por el valor del integrando en estos nodos. El orden algebraico de precisión es 0. (Para la fórmula de los rectángulos medios, es 1).

Si el segmento es elemental y no sufre más particiones, el valor de la integral se puede encontrar a partir de ${\ estilo de visualización \ izquierda [a, b \ derecha]}$

Fórmula de los rectángulos izquierdos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(a)(ba).$
Fórmula de los rectángulos rectos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(b)(ba).$
Fórmula de rectángulos (medio): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Fórmulas de cuadratura compuesta

En el caso de dividir el segmento de integración en segmentos elementales, las fórmulas anteriores se aplican en cada uno de estos segmentos elementales entre dos nodos vecinos. Como resultado, se obtienen fórmulas de cuadratura compuesta $norte$

Para rectángulos izquierdos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+ 1 }}-x_{i}).$
Para rectángulos rectos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -una}}).$
Para rectángulos medianos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\derecha)(x_{{i+1}}-x_{i})=\sum_{{i=1}}^{n}f\izquierda( {\frac{x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

La fórmula con el cálculo del valor en el punto medio entre dos nodos se puede usar solo cuando el integrando se especifica analíticamente, o de alguna otra manera que permita el cálculo del valor en un punto arbitrario. En las tareas donde la función está dada por una tabla de valores, solo queda calcular el valor promedio entre las integrales calculadas por las fórmulas de los rectángulos izquierdo y derecho, respectivamente, lo que conduce a la fórmula trapezoidal de cuadratura compuesta .

Dado que las fórmulas de cuadratura compuesta no son más que las sumas incluidas en la definición de la integral de Riemann , en ellas convergen al valor exacto de la integral. En consecuencia, con el aumento de la precisión del resultado obtenido por fórmulas aproximadas aumenta. $n\to\infty$ $norte$

Fórmulas compuestas para cuadrículas uniformes

Una cuadrícula uniforme se puede describir mediante el siguiente conjunto de fórmulas:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

¿ Dónde está el paso de la cuadrícula? $h$

Para cuadrículas uniformes, las fórmulas del rectángulo se pueden escribir como las siguientes fórmulas de Cotes :

Fórmula compuesta de rectángulos izquierdos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Fórmula compuesta de rectángulos rectos : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Fórmula compuesta de rectángulos medios : I.e. corresponde a la fórmula trapezoidal. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Error de método

Para fórmulas de rectángulos derecho e izquierdo, el error es

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

Para la fórmula de los rectángulos (medio)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

Para fórmulas compuestas de rectángulos derecho e izquierdo en una cuadrícula uniforme:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) H.

Para la fórmula compuesta de rectángulos:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Ejemplo de implementación

Fórmula de rectángulos medios para una función dada analíticamente, escrita en C

double InFunction ( double x ) { //Función integral devuelve sen ( x ); } doble CalcIntegral ( doble a , doble b , int n ) { doble resultado = 0 , h = ( b - a ) / n ; para ( int yo = 0 ; yo < norte ; yo ++ ) { resultado += EnFunción ( a + h / 2 + i * h ); } resultado *= h ; resultado devuelto ; }

Véase también

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales