Ars Magna (Cardano)

Ars magna
lat.  Artis magnae, sive de regulis algebraicis
Autor Gerolamo Cardano
Idioma original latín
Original publicado 1545

" Ars Magna " (del  latín  -  "Gran Arte") es un libro en latín sobre álgebra , escrito por el matemático italiano Gerolamo Cardano , el mayor algebrista del siglo XVI [1] . Se publicó por primera vez en 1545 con el título Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( El gran arte o las reglas del álgebra).). Durante la vida de Cardano hubo una segunda edición ampliada, publicada en 1570. En este libro se resolvió (en gran medida) un problema que los mejores matemáticos del mundo no pudieron resolver durante dos milenios: encontrar de forma explícita (algebraica) las raíces de las ecuaciones de tercer y cuarto grado ( la de Cardano ). fórmulas ) [2] .

El valor aplicado de las fórmulas de Cardano no fue demasiado grande, ya que para esa época los matemáticos ya habían desarrollado métodos numéricos para calcular raíces de ecuaciones de cualquier grado con buena precisión. Sin embargo, el libro de Cardano fue el primer trabajo de un matemático de la nueva Europa, que no contenía un resumen de los resultados previamente conocidos, sino el descubrimiento de un nuevo método teórico desconocido tanto para los matemáticos griegos como para los islámicos . Este éxito inspiró a los matemáticos de Europa a nuevos logros, que no tardaron en seguir [3] .

Las fórmulas de Cardano también se convirtieron en la base para la introducción de uno de los objetos matemáticos más importantes : los números complejos [4] . Además, el libro de Cardano inició una larga historia de investigación sobre la solución de ecuaciones en radicales , que llevó a Evariste Galois a la creación de la teoría de grupos tres siglos después . Por lo tanto, Oistin Ore llamó a este trabajo el comienzo del álgebra moderna y uno de los tres libros científicos más importantes del Renacimiento temprano , junto con los tratados " Sobre la rotación de las esferas celestes " de Copérnico y " Sobre la estructura del cuerpo humano ". por Vesalio . Las primeras ediciones de estos tres libros aparecieron en el período 1543-1545 y marcaron el comienzo de la revolución científica en matemáticas , astronomía y medicina , respectivamente [5] [3] .

Historia

En 1535, el matemático italiano Niccolo Tartaglia se hizo famoso por encontrar una forma de resolver explícitamente ecuaciones cúbicas de la forma y donde (entonces los números negativos se consideraban inválidos, por lo que estos dos tipos de ecuaciones se consideraban significativamente diferentes). El primero de estos dos tipos de ecuaciones fue resuelto algo antes por del Ferro , quien mantuvo su método en secreto, pero Tartaglia independientemente hizo un descubrimiento similar y extendió este método a ambos tipos de ecuaciones [6] .

En 1539, el matemático milanés Gerolamo Cardano le pidió a Tartaglia que le revelara su método. Después de cierta resistencia, Tartaglia accedió, pero le pidió a Cardano que no compartiera esta información con nadie hasta que él mismo la publicara. Durante los años siguientes, Cardano trabajó en cómo extender la fórmula de Tartaglia a otros tipos de ecuaciones cúbicas. Además, su alumno Lodovico Ferrari encontró una forma de resolver ecuaciones de cuarto grado . Como Tartaglia no hizo ningún esfuerzo por publicar su método (y, además, se reveló la prioridad de del Ferro), Cardano se consideró libre de obligaciones y publicó su propia obra, atribuyéndose honestamente la autoría de Tartaglia y del Ferro. Sin embargo, históricamente este algoritmo ha sido denominado como la “ fórmula de Cardano ” [7] .

Contenido del trabajo

El libro, dividido en cuarenta capítulos, contiene una descripción detallada del método de solución algebraica de ecuaciones cúbicas , así como, utilizando una ecuación cúbica auxiliar, y de cuarto grado . En el prefacio, Cardano reconoció que Tartaglia fue el autor de la fórmula, y que la misma fórmula fue descubierta por del Ferro . También dijo que su alumno Ferrari [8] descubrió un método para resolver ecuaciones de cuarto grado .

El concepto de raíz múltiple aparece por primera vez en Ars Magna (Capítulo I). Cardano conocía la posibilidad de que una ecuación cúbica tuviera tres raíces reales, y también que la suma de estas raíces es igual (en valor absoluto) al coeficiente de (una de las fórmulas de Vieta ) [9] . Raíces negativas Cardano, en el espíritu de la época, las llama "ficticias" ( fictae ), aunque las tuvo en cuenta al analizar ecuaciones y en ocasiones las utilizó como medio intermedio para obtener un resultado "verdadero" (positivo). Mucho antes que Descartes , formuló la “ regla de los signos ” [10] . También conoce el hecho, luego generalizado y llamado teorema de Bezout : un polinomio es divisible sin resto por un binomio donde es una de las raíces [8] .

Al comienzo del tratado, Cardano explica cómo reducir una ecuación cúbica de forma general: a una forma canónica (sin el término ). Como en ese momento no se reconocían los coeficientes negativos , tuvo que considerar trece tipos diferentes de ecuaciones cúbicas (Capítulos XI-XXIII). En los capítulos siguientes, hasta el capítulo XXXVIII, se dan métodos para la solución numérica aproximada de una ecuación cúbica por el método de la cuerda [8] .

En notación moderna, la fórmula de Cardano para las tres raíces de la ecuación es:

Cardano, como antes Tartaglia, deja abierta la cuestión de qué hacer con la ecuación cúbica, por lo que se obtiene un número negativo bajo el signo de la raíz cuadrada. Por ejemplo, en el capítulo I se da una ecuación para la cual , sin embargo, Cardano nunca aplicó su fórmula en tales casos. Paradójicamente, solo este caso "más complejo" corresponde al conjunto "más real" de raíces de ecuación: las tres raíces resultan ser reales. Pronto el análisis de esta situación (llamada Casus irreducibilis , "caso irreductible") condujo al inicio de la legalización de una nueva clase de números; la aritmética de los números complejos fue revelada por primera vez en Álgebra por Bombelli (1572) y en el tratado de Albert Girard A New Discovery in Algebra (1629) [3] .

Ars Magna contiene la primera aparición en matemáticas de números complejos (capítulo XXXVII), pero aún no se ha asociado con las fórmulas de Cardano. Cardano planteó el siguiente problema [11] : encuentre dos números cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 40. Respuesta: Cardano llamó a esta solución "sofística" porque no vio ningún significado real en ella, pero audazmente escribió "sin embargo, nosotros" ll work" y calculó formalmente que su producto es de hecho 40. Cardano luego dice que esta respuesta es "tan sutil como inútil".

El capítulo XXXIX está dedicado a las ecuaciones de cuarto grado, para las cuales se consideran igualmente 20 variedades con coeficientes positivos.

Texto en Internet

Notas

  1. ↑ Guter, 1980 , pág. 151.
  2. ↑ Gindikin S. G. Historias sobre físicos y matemáticos. - M. : Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", número 14).
  3. ↑ 1 2 3 Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 295-296.
  4. ↑ Gindikin, 2001 , pág. 27-29.
  5. ↑ Traducción al inglés, 1993 , Prefacio.
  6. ↑ Guter, 1980 , pág. 153-156.
  7. ↑ MacTutor .
  8. ↑ 1 2 3 Rybnikov, 1960-1963 , pág. 119-120.
  9. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 80.
  10. ↑ Guter, 1980 , pág. 160, 164-165.
  11. ↑ Nikiforovsky, 1979 , p. 81.

Literatura

Enlaces

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