Alternativa Fredholm

La alternativa de Fredholm es un conjunto de teoremas de Fredholm sobre la solución de la ecuación integral de Fredholm de segunda especie.

Se dan varias formulaciones de la alternativa. En términos de fuentes, la alternativa de Fredholm se entiende solo como el primer teorema de Fredholm, que establece que una ecuación no homogénea tiene una solución para cualquier término libre, o una ecuación adjunta (unión) tiene una solución no trivial [1] . La alternativa de Fredholm para ecuaciones integrales es una generalización al caso de dimensión infinita de teoremas similares en un espacio de dimensión finita (para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales ). Generalizado por F. Riss a ecuaciones de operadores lineales con operadores completamente continuos en espacios de Banach [2] .

Espacio de dimensión finita

O la ecuación tiene una solución para cualquier lado derecho , o la ecuación adjunta tiene una solución no trivial $\mathcal Az = u$ $tu \ en W$ $\mathcal A^*w=0$

Prueba

Método 1

deja _ Hay dos casos: o , o . La condición es equivalente a la condición , lo que significa que la ecuación tiene una solución para cualquier . Además, dado que , entonces , y por lo tanto, la ecuación no tiene una solución distinta de cero. La condición es equivalente a la condición , que significa la existencia de un vector distinto de cero , es decir, una solución distinta de cero . Además, la ecuación no tiene solución para ningún . $r = \operatorname{rg} \mathcal A, ~m = \operatorname{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $tu \ en W$ $\operatorname{rg} \mathcal A = \operatorname{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operatorname{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $tu \ en W$

Método 2

Deje que el sistema (1), es decir , tenga una solución para cualquier . En este caso , porque de lo contrario para algunos sería menor que el rango de la matriz extendida y el sistema (1) sería inconsistente debido al teorema de Kronecker-Capelli . Dado que , entonces bajo estas condiciones , es decir, es igual al número de incógnitas en el sistema (2) y este sistema tiene solo una solución trivial. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg} A = m$ $B$ $\operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T= \operatorname{rg} A$ $\operatorname{rg} A^T = m$
Ahora dejemos que el sistema sea inconsistente para algunos . Por lo tanto , , significa y , es decir, el rango de la matriz del sistema (2) es menor que el número de incógnitas y este sistema tiene una solución distinta de cero. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatorname{rg}A<m$ $\operatorname{rg}A^T<m$

En la demostración se utilizan las siguientes notaciones: — el rango de la matriz , — la dimensión del espacio , — la imagen del operador , — el defecto del operador , — el núcleo del operador , — la matriz traspuesta . $\operatorname{rg} A$ $A$ $\operatorname{tenue} W$ $W$ $\operatorname{im} \mathcal A$ ${\ matemáticas {A}}$ $\operatorname{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operatorname{ker} \mathcal A$ ${\ matemáticas {A}}$ $A^{T}$

La alternativa de Fredholm para un operador lineal que actúa en un espacio significa que la ecuación básica tiene una solución única para cualquier , o que la ecuación homogénea adjunta tiene una solución no trivial [1] . ${\ matemáticas {A}}$ $V$ $tu \ en V$

Ecuaciones integrales

Formulaciones

La alternativa de Fredholm se formula para la ecuación integral de Fredholm

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

con un núcleo continuo y su ecuación adjunta $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . Una ecuación homogénea es una ecuación con término libre cero f o g.

Enunciado 1. Si la ecuación integral (1) con núcleo continuo es resoluble para cualquier término libre , entonces la ecuación (1') asociada a ella es resoluble para cualquier término libre , y estas soluciones son únicas ( primer teorema de Fredholm ) . $C[0, un]$ $f \in C[0, a]$ $C[0, un]$ $g \in C[0, a]$

Si la ecuación integral (1) es resoluble en C[0, a] no para ningún término libre , entonces: $F$

1) las ecuaciones homogéneas (1) y (1') tienen el mismo número (finito) de soluciones linealmente independientes ( segundo teorema de Fredholm );

2) para que la ecuación (1) sea solucionable, es necesario y suficiente que el término libre sea ortogonal a todas las soluciones de la unión de la ecuación homogénea (1') ( tercer teorema de Fredholm ) [3] . $F$

Formulación 2. Si la ecuación integral homogénea de Fredholm tiene solo una solución trivial, entonces la ecuación no homogénea correspondiente siempre tiene una y solo una solución. Si la ecuación homogénea tiene alguna solución no trivial, entonces la ecuación integral no homogénea no tiene ninguna solución o tiene un número infinito de soluciones dependiendo de la función dada [4] [5] . $f(x)$

Idea de la prueba

Núcleo degenerado

Ecuación integral de Fredholm (1) con un núcleo degenerado de la forma

K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

se puede reescribir en la forma

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

dónde

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

son números desconocidos. Al multiplicar la igualdad resultante por e integrar sobre el intervalo , la ecuación con núcleo degenerado se reduce a un sistema equivalente de ecuaciones algebraicas lineales con respecto a las incógnitas : $g_k(x)$ $[0, un]$ $(c_1, c_2, \puntos, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

dónde

\alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Por lo tanto, la alternativa de Fredholm se deriva directamente del caso de dimensión finita [6] .

Un kernel continuo arbitrario

En el caso general, la demostración de la alternativa de Fredholm para ecuaciones integrales se basa en la representación de un núcleo continuo arbitrario en la forma

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

donde es un kernel degenerado ( polinomio ) y es un kernel continuo pequeño, . Entonces la ecuación (1) toma la forma $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

donde y son operadores integrales con núcleos y, respectivamente. $PAGS$ $q$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Introducimos una función desconocida por la fórmula $\fi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

Para , la función se expresa únicamente en términos de la fórmula $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Fi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

donde es el operador de identidad , es un operador integral con kernel , el resolvente del kernel . Entonces la ecuación original toma la forma $yo$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

dónde

T = P + \lambda PR

es un operador integral con núcleo degenerado

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

analítico en el círculo . De manera similar, la ecuación integral aliada (1') se transforma a la forma $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Así, las ecuaciones (1) y (1') son círculo-equivalentes a ecuaciones con núcleos degenerados, lo que permite derivar la alternativa de Fredholm para el caso general [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Consecuencias

El conjunto de números característicos del núcleo continuo no tiene puntos límite finitos y, por lo tanto, es a lo sumo contable . De hecho, en cada círculo , los números característicos del núcleo coinciden con los números característicos del núcleo degenerado, que son los ceros de la función analítica . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Cada número característico tiene una multiplicidad finita (el número de funciones propias linealmente independientes ). Se sigue del segundo teorema de Fredholm. Los números característicos se pueden numerar en orden ascendente de su módulo :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\puntos,

repitiéndose en esta secuencia tantas veces como su multiplicidad. $\lambda_k$

Si es el número característico del núcleo , entonces es el número característico del núcleo , y tienen la misma multiplicidad. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
Las funciones propias de y núcleos y , correspondientes a los números característicos y respectivamente, y , son ortogonales a : . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Usando estas propiedades, se puede reformular la alternativa de Fredholm en términos de números característicos y funciones propias:

Si , entonces las ecuaciones integrales (1) y (1') tienen solución única para cualquier término libre. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \dots$
Si , entonces las ecuaciones homogéneas $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

tienen el mismo número (finito) de soluciones linealmente independientes : funciones propias del núcleo y funciones propias del núcleo . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \puntos, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \puntos, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Si , entonces para la solución de la ecuación (1) es necesario y suficiente que $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Espacio de Banach

Dadas las ecuaciones

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

donde es un operador completamente continuo que actúa en un espacio de Banach , y es un operador adjunto que actúa en un espacio dual . Entonces cualquiera de las ecuaciones (2) y (2') son resolubles para cualquier lado derecho, en cuyo caso las ecuaciones homogéneas $A$ $mi$ $un^{*}$ $mi^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

tienen solo soluciones cero, o las ecuaciones homogéneas tienen el mismo número de soluciones linealmente independientes

x_1, x_2, \puntos, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;

en este caso, para que la ecuación (2) (respectivamente (2')) tenga solución, es necesario y suficiente que

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n

(respectivamente ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \puntos, norte$

Aplicación a la resolución de problemas de valores en la frontera para ecuaciones elípticas

Método de Neumann para resolver el problema de Dirichlet

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

es que la solución se busca en la forma $tu$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

es decir, en forma de potencial de doble capa . Aquí , es un área plana, es una curva cerrada que la delimita y tiene curvatura continua , es la distancia de un punto a un punto del contorno , es la normal interna al punto . La función debe satisfacer la ecuación integral. $GRAMO$ $C$ $r_{xt}$ $X$ $t$ $S$ $Nuevo Testamento$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

con núcleo continuo

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

De acuerdo con la alternativa de Fredholm, esta ecuación no homogénea tiene una solución para cualquier elección de función continua , o la ecuación homogénea $\ mu (s)$ $g(s)$

\nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

admite una solución distinta de cero . Esto último es imposible, esto se puede demostrar usando el principio máximo para funciones armónicas . Por lo tanto, el problema interno de Dirichlet tiene solución para cualquier valor límite continuo . Se obtuvieron resultados similares para el problema externo de Dirichlet , así como para el problema de Neumann [8] . $\nu(s)$ $g(s)$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Ilyin V. A., Kim G. D. Álgebra lineal y geometría analítica, 1998 , p. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 268.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , p. 221.
↑ Tricomi F. Integral Equations, 1960 , p. 87.
↑ Krasnov M. L. Ecuaciones integrales, 1975 , p. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática, 2004 , Capítulo IV, § 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p.81.

Literatura

Espacio de dimensión finita

Ilyin V. A. , Kim G. D. Álgebra lineal y geometría analítica. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .

Ecuaciones integrales

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática: Libro de texto para universidades. - 2ª ed., estereotipo.. - M. : Fizmatlit, 2004. - 400 p. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Ecuaciones Integrales. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1960.
Krasnov M. L. Ecuaciones integrales. (Introducción a la teoría). - M. : Cap. edición Phys.-Math. iluminado. editorial "Ciencia", 1975.
Petrovski IG Conferencias sobre la teoría de las ecuaciones integrales. — M .: Nauka, 1965. — 128 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. — M .: Mir, 1979. — 592 p.

Espacio de Banach

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional. - Ed. 2º, revisado. — M .: Nauka, 1965. — 520 p.