Atractor

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Atractor ( eng.  atraer  - atraer, atraer) - un subconjunto compacto del espacio de fase de un sistema dinámico , todas las trayectorias de algún vecindario del cual tienden a él con el tiempo tendiendo al infinito. Un atractor puede ser un punto fijo atractivo (por ejemplo, en el problema de un péndulo con fricción contra el aire), una trayectoria periódica (por ejemplo, oscilaciones autoexcitadas en un circuito de retroalimentación positiva) o un área limitada con trayectorias inestables en su interior. (como un atractor extraño).

Hay diferentes formalizaciones del concepto de aspiración, lo que conduce a diferentes definiciones del atractor, que definen, respectivamente, conjuntos potencialmente diferentes (a menudo anidados unos en otros). Las definiciones más utilizadas son el atractor máximo (a menudo en su pequeño vecindario, ver más abajo), el atractor de Milnor y el conjunto no errante .

Clasificación

Los atractores se clasifican según:

  1. Formalizaciones de la noción de aspiración: se distingue entre el atractor máximo, el conjunto no errante, el atractor de Milnor, el centro de Birkhoff, el atractor estadístico y el atractor mínimo.
  2. Regularidades del propio atractor: los atractores se dividen en regulares (atrayentes de punto fijo, atrayentes de trayectoria periódica, múltiples ) y extraños (irregulares - a menudo fractales y/o dispuestos en alguna sección como un conjunto de Cantor ; la dinámica sobre ellos suele ser caótica ).
  3. Localidad (" conjunto de atracción ") y globalidad (aquí, el término "mínimo" en el sentido de "indivisible").

Además, hay ejemplos "nombrados" bien conocidos de atractores: Lorentz , Plykin , solenoide de Smale-Williams , atractor heteroclínico ( ejemplo de Bowen ).

Propiedades y definiciones relacionadas

Bajo todas las definiciones, se supone que el atractor es un conjunto cerrado y (completamente) invariante.

El concepto de la medida de Sinai-Ruelle-Bowen también está estrechamente relacionado con el concepto de un atractor : una medida invariable en él, a la que el tiempo promedia de un punto de partida típico (en el sentido de la medida de Lebesgue) o el tiempo promedia de iteraciones de la medida de Lebesgue tienden. Sin embargo, tal medida no siempre existe (lo que ilustra, en particular, el ejemplo de Bowen ).

Tipos de definición de formalización

Dado que todo el espacio de fase se conserva por dinámica en cualquier caso, se puede dar una definición formal de un atractor basada en la filosofía de que "un atractor es el conjunto más pequeño al que todo tiende", en otras palabras, desechando todo lo que puede ser expulsado del espacio de fase.

Máximo atractor

Sea un sistema dinámico dado un área , que se traduce estrictamente en sí mismo por la dinámica:

Entonces el máximo atractor del sistema en la restricción a U es la intersección de todas sus imágenes bajo la acción de la dinámica:

La misma definición se puede aplicar a los flujos: en este caso, es necesario exigir que el campo vectorial que define el flujo en el límite de la región se dirija estrictamente dentro de ella.

Esta definición se usa a menudo para caracterizar un conjunto como un atractor "natural" ("es el máximo atractor de su vecindario"). También se utiliza en ecuaciones diferenciales parciales [1] .

Esta definición tiene dos inconvenientes. Primero, para su aplicación es necesario encontrar una región absorbente. En segundo lugar, si dicha área se eligió sin éxito, por ejemplo, contenía un punto fijo repulsivo con su grupo de repulsión, entonces en el atractor máximo habrá puntos "extra", que de hecho no se pueden ubicar varias veces seguidas, pero el Elección actual del área de este "no se siente".

Atractor de Milnor

Por definición, el atractor de Milnor de un sistema dinámico es el conjunto cerrado más pequeño (por inclusión) que contiene los conjuntos límite ω de casi todos los puntos iniciales con respecto a la medida de Lebesgue. En otras palabras, este es el conjunto más pequeño al que tiende la trayectoria de un punto de partida típico .

Conjunto no errante

Un punto x de un sistema dinámico se llama errante si las iteraciones de algunos de sus vecinos U nunca cruzan este barrio:

En otras palabras, un punto se desvía si tiene una vecindad que cualquier trayectoria puede cruzar solo una vez. El conjunto de todos los puntos que no se desplazan se denomina conjunto que no se desplaza .

Atractor estadístico

Un atractor estadístico se define como el conjunto cerrado de menor inclusión , en cuya vecindad casi todos los puntos pasan casi todo el tiempo: para cualquiera de sus vecindades , para casi cualquier punto (en el sentido de la medida de Lebesgue) , tenemos

Atractor mínimo

El atractor mínimo se define como el conjunto cerrado más pequeño (con respecto a la inclusión) , en cuya vecindad pasa casi todo el tiempo la medida de Lebesgue: para cualquiera de sus vecindades ,

Ejemplos de desajustes

Localidad, minimalidad y globalidad

Atractores regulares y extraños

Atractores regulares

Atractivo punto fijo

(ejemplo: péndulo con fricción)

Ciclo límite

(ejemplo: micrófono+altavoces, oscilador Van der Pol )

Atractores extraños

(ejemplos: atractor de Lorenz , atractor de Rössler , solenoide de Smale-Williams; comentario sobre el efecto mariposa y el caos dinámico ).

Un atractor extraño es un conjunto de atracción de trayectorias inestables en el espacio de fase de un sistema dinámico disipativo [2] . A diferencia de un atractor, no es una variedad , es decir, no es una curva ni una superficie. La estructura del atractor extraño es fractal . La trayectoria de tal atractor no es periódica (no se cierra) y el modo de operación es inestable (pequeñas desviaciones del modo aumentan). El criterio principal para la aleatoriedad de un atractor es el crecimiento exponencial de pequeñas perturbaciones en el tiempo. La consecuencia de esto es "mezcla" en el sistema, no periodicidad en el tiempo de ninguna de las coordenadas del sistema, un espectro de potencia continuo y una función de autocorrelación decreciente en el tiempo .

La dinámica de los atractores extraños suele ser caótica : predecir una trayectoria que ha caído en un atractor es difícil, ya que una pequeña inexactitud en los datos iniciales después de un tiempo puede conducir a una fuerte discrepancia entre la previsión y la trayectoria real. La imprevisibilidad de la trayectoria en los sistemas dinámicos deterministas se llama caos dinámico , distinguiéndolo del caos estocástico que ocurre en los sistemas dinámicos estocásticos . Este fenómeno también se denomina efecto mariposa , lo que implica la posibilidad de transformar las débiles corrientes de aire turbulentas causadas por el aleteo de una mariposa en un punto del planeta en un poderoso tornado en el otro lado debido a su amplificación múltiple en la atmósfera durante algunos tiempo. Pero, de hecho, el aleteo de una mariposa generalmente no crea un tornado, ya que en la práctica existe tal tendencia que fluctuaciones tan pequeñas en promedio no cambian la dinámica de sistemas tan complejos como la atmósfera del planeta, y el propio Lorentz dijo sobre esto: “Pero en general, yo argumento que a lo largo de los años, los choques menores ni aumentan ni disminuyen la frecuencia de ocurrencia de varios eventos climáticos, como los huracanes. Todo lo que pueden hacer es cambiar el orden en que ocurren estos fenómenos”. Y esto, quizás, es algo importante y sorprendente, sin el cual sería difícil, si no imposible, estudiar la dinámica caótica (dinámica que es sensible a los más mínimos cambios en las condiciones iniciales del sistema).

Entre los atractores extraños están aquellos cuya dimensión de Hausdorff es diferente de la dimensión topológica y es fraccionaria. Uno de los atractores más famosos es el atractor de Lorenz .

Ejemplos nominales

Atractor de Lorentz

El sistema de ecuaciones diferenciales que crean el atractor de Lorentz tiene la forma:

con los siguientes valores de parámetro: , , . El atractor de Lorenz no es clásico. Tampoco es extraño en el sentido de Smale . [3]

Solenoide Smale-Williams

El solenoide de Smale-Williams es un ejemplo de un sistema dinámico  reversible , similar en el comportamiento de las trayectorias al mapeo de duplicación en un círculo. Más precisamente, este sistema dinámico se define en el toro sólido , y en una iteración del mismo se duplica la coordenada angular; de donde surgen automáticamente la divergencia exponencial de las trayectorias y la dinámica caótica. El atractor máximo de este sistema también se llama solenoide (de donde, de hecho, proviene el nombre): está dispuesto como una unión (incontable) de "hilos" enrollados a lo largo de un toro sólido .

Plykin atractor

El atractor de Plykin es un ejemplo de un sistema dinámico en un disco cuyo atractor máximo es hiperbólico . En particular, este ejemplo es estructuralmente estable ya que satisface el axioma A de Smale .

El ejemplo de Bowen, o el atractor heteroclínico

Atractor de Héno

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hipótesis

Conjetura de Palis [4]

  • Existe un subconjunto D métricamente denso del espacio T que el atractor de Milnor de cualquier sistema dinámico del conjunto D solo puede descomponerse en un número finito de componentes transitivas ;
  • Los componentes transitivos del atractor tienen una medida SRB ;
  • Los componentes transitivos del atractor son estocásticamente estables en sus cuencas de atracción;
  • Para un sistema típico de una familia típica de dinámica unidimensional, los componentes atractores representan atraer trayectorias periódicas o tienen una medida invariante absolutamente continua . [5]

Las hipótesis de Ruelle

Véase también

Notas

  1. ↑ Yu. S. Iliashenko. Análisis global del retrato de fase para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, Journal of Dynamics and Differential Equations, vol. 4, núm. 4, 1992
  2. ↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Física no lineal. Estocasticidad y estructuras // Física del siglo XX: desarrollo y perspectivas. - M., Nauka, 1984. - pág. 237
  3. ↑ Atractores extraños. Compendio de artículos. Moscú. 1981 Traducción del inglés, editada por Y. G. SINAI y L. P. SHILNIKOV
  4. ↑ Seminarios: V. A. Kleptsyn, Atractores de sistemas dinámicos . www.mathnet.ru Recuperado: 17 Agosto 2018.
  5. ↑ Saltikov, Petr Sergeevich. Nuevas Propiedades de Atractores y Conjuntos Invariantes de Sistemas Dinámicos . - 2011. Archivado el 17 de agosto de 2018.

Referencias y literatura